呂瓊華

【教學內容】

浙教版五年級上冊第66、67頁。

【教學過程】

一、情境引入

師：仔細觀察下圖，你能得到哪些數(shù)學信息？

生：我看到許多平面圖形：公園是三角形，足球場是長方形，競技場是四邊形，小廣場是平行四邊形。

（教師依次畫出抽象圖形）

師：如果和面積單元結合起來，你能計算哪幾個圖形的面積？

生：我能求出長方形和平行四邊形的面積，不過需要知道圖形的底和高的數(shù)據(jù)。

教師依次在抽象出的圖形上標出數(shù)據(jù)——

師：長方形面積怎么求？平行四邊形呢？

生：長方形面積=長×寬，足球場的面積是：200×150=30000（平方米）。

生：平行四邊形面積=底×高，小廣場的面積是：200×150=30000（平方米）。

師：大家還記得我們是怎樣研究平行四邊形面積的嗎？

生：沿平行四邊形的高線切割，平移再拼成長方形。

師：為什么要把平行四邊形轉化成長方形？

生：長方形的面積已經(jīng)學過。

師：原來研究時是把未學習的新圖形轉化成已經(jīng)研究過的圖形。（板書：轉化）那轉化成的這個長方形和原來的平行四邊形有什么關系呢？

生：同底、同高、面積也相同。

（根據(jù)學生回答板書：面積相同、同底同高）

師：非常好，我們研究新圖形的時候經(jīng)常是通過將新圖形轉化成已知圖形，尋找新舊圖形間的關系，來推導出新圖形的面積計算方法。

師：現(xiàn)在還剩三角形和四邊形，你建議先研究誰呢？為什么？

生：先研究三角形，因為四邊形可以分割成兩個三角形。

師：看來研究了三角形面積，就可以計算出這個四邊形的面積了，你們的想法很不錯。

二、研究直角三角形

1.研究三角形面積。

師：你會求平面圖中這個三角形的面積嗎？

生：這個三角形的面積很好求，就是足球場面積的一半。

師：這是一個——

生：直角三角形。

師：如果我們先研究直角三角形，你們可以自己獨立研究嗎？老師為大家準備了一幅圖，圖中每個小正方形的邊長為1，請研究圖中直角三角形的面積。請你寫一寫、畫一畫，說明你的想法。

（學生獨立活動，教師巡回、收取典型作品）

2.交流研究方法。

（1）倍拼法。

師：大家能看懂這位同學的方法嗎？

師：你能從這三方面（板書：轉化 關系 面積）來說一說他是怎么研究的嗎？轉化成什么圖形？轉化前后的圖形面積、底、高之間有怎樣的關系？所以這個三角形的面積可以怎樣計算？

（2）等拼法。

師：誰能從三方面來說一說這個研究方法？

師：看這里有一份方案，你們有什么想說的嗎？

生：其實他倆想法差不多，都是轉化成長方形。

生：不同的是一個是取了高的一半，所以算法是底×（高÷2），另外一個是取了底的一半，算法就是（底÷2）×高。

相同：都轉化成了長方形的面積；

不同：高÷2（半高）

底÷2（半底）。

師：黑板上有三種不同的方法，你能來分分類嗎？為什么？

生：我建議分兩類：一類是轉化成面積是2倍的長方形，一類是轉化成面積一樣的長方形。

生：我也覺得分兩類：一類是拼上一個完全一樣的三角形；另一類是取自己底或高的一半割下來補成長方形。

教師引導學生定名：倍拼法、等拼法。

3.回顧小結。

師：這些方法有什么相同的地方嗎？

生：無論是哪種方法，都是將直角三角形轉化成了我們學過的長方形來研究面積的計算方法。

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了直角三角形的面積是怎樣計算呢？

生：底×高÷2。

師：這個公園的面積是？

生：200×150÷2=15000（平方米），公園也挺大的。

師：下一步我們來研究什么？在研究前你有什么猜測？

生：是不是三角形的面積都等于底×高÷2？

生：是不是三角形的面積都可以用倍拼法和等拼法來研究？

三、研究銳角三角形和鈍角三角形的面積

1.明確研究要求。

研究形式：同桌兩人一組合作研究。

研究內容：選擇一種三角形進行研究。

研究材料：練習紙中的方格紙和信封中的三角形（為了研究方便，每一種三角形都多打印了幾份，只需要選擇其中的一種進行研究就可以了）。

研究過程：按照練習中的提示研究，做好觀察、思考和記錄。

2.分組研究。

3.交流反饋。

（1）銳角三角形。

組1：倍拼法。

生：把兩個完全一樣的銳角三角形拼成一個平行四邊形。平行四邊形的面積就是三角形面積的2倍，平行四邊形的底就是銳角三角形的底，平行四邊形的高就是銳角三角形的高。

轉化后圖形的面積=底×高

↓

三角形的面積=底×高÷2

師：有問題嗎？除以2是什么意思？

生：“除以2”是因為先前算的“底×高”是一個平行四邊形的面積，這個平行四邊形的面積是三角形的2倍，所以要“除以2”。

師：解釋的非常清楚。組1的這一段推理也環(huán)環(huán)相扣，非常精彩。還有不同的方法嗎？

↓

轉化成學過的圖形——面積倍拼

組2：等拼法。

生：我們找到高的一半，畫底邊的平行線，然后把上面的三角形旋轉下來，拼成一個與原三角形面積相等的平行四邊形。平行四邊形的底就是銳角三角形的底，平行四邊形的高是銳角三角形高的一半。

轉化后圖形的面積

=底×（高÷2）

↓

三角形的面積=底×高÷2

師：大家覺得怎么樣？

生：都是轉化成平行四邊形，這種轉化方法使平行四邊形面積與三角形面積相等。

師：那為什么還要除以2？

生：因為現(xiàn)在的高是原來的一半，其實是高除以2。

生：那我想到也可以底來除以2。我可以上來畫一下嗎？

師：大家能明白嗎？

轉化后圖形的面積

=（底÷2）×高

↓

三角形的面積=底×高÷2

師：通過研究發(fā)現(xiàn)，銳角三角形的面積怎樣計算？

生：銳角三角形的面積=底×高÷2。

（2）鈍角三角形。

師：那鈍角三角形的研究結果如何？（課件呈現(xiàn)收集到的典型方法）同學們看看你們屬于哪一種？或者現(xiàn)在你看懂了哪幾種？

重點講評：這里有一種不一樣的方法——

兩個直角三角形面積相減

↓

轉化成學過的圖形

4.歸納三角形的面積公式。

師：仔細觀察直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的研究過程和結果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：三角形面積=底×高÷2。

生：轉化時，都用到了倍拼或者等拼的方法。

生：三角形的面積是和它等底、等高的平行四邊形面積的一半（長方形是特殊的平行四邊形），所以平行四邊形面積是底×高，三角形面積是底×高÷2。

生：不同的轉化方法，公式一樣，其實含義不太一樣，“÷2”可能是面積除以2，也可能是底或高除以2。

師：同樣的結論有不同的解釋。剛剛大家從知識的角度做了分析，那大家看看我們研究的過程，有沒有什么值得分享的？

生：我覺得我們從直角三角形開始研究很明智，因為直角三角形一看就是與它等底等高的長方形的一半，面積好算，而且直角三角形研究出來了，銳角三角形和鈍角三角形都可以仿照它來研究。

師：就是說遇到困難時，可以給圖形分分類，從比較特殊的、容易研究的開始。

四、總結

師：今天我們從比較特殊的直角三角形開始，研究了各類三角形的面積算法，不僅知道了三角形的面積計算方法，而且知道了為什么是底×高÷2。

生：我們還得到了一些研究的方法——倍拼法、等拼法。

生：研究圖形可以從特殊圖形開始。

【編輯點評】

呂瓊華老師的這一篇設計，較為突出的特點是能夠通過前后有邏輯聯(lián)系的學習任務，層層遞進地支持學生自主探索、掌握三角形的面積計算方法，為學生增加了學習和表現(xiàn)的機會。

顧泠沅等人指出中國教師常常在教學過程中使用過程性變式，以推動學生有效地找到解決問題的方法。呂老師這節(jié)課例的四個任務即可理解為一組過程性變式。

首先，呂老師創(chuàng)設了一個計算社區(qū)活動場所面積的問題情境，情境中的平面圖形經(jīng)過精心設計，圖形和圖形之間有著特殊的聯(lián)系，一方面可用以復習本節(jié)課的基礎知識，包括面積的概念、長方形、平行四邊形的面積計算、轉化的思想等等；另一方面，引出了三角形面積計算的問題，特別是突出了直角三角形的面積計算。其次，基于對學生認知基礎的了解（前測表明，學生普遍容易將直角三角形和相應的長方形面積相聯(lián)系），并輔以情境圖的直觀支持，教師大膽下放直角三角形的面積探索任務。在反饋時，注意了兩個層面的要求：從知識上，概括出直角三角形面積=底×高÷2，為進一步概括三角形面積公式指示方向；從方法上，整理、分類得到倍拼法和等拼法，為進一步探索銳角三角形和鈍角三角形的面積做引導。在此基礎上，引發(fā)更大范圍和更深程度的學生有效參與，學生在銳角三角形和鈍角三角形的探索活動中，深入體驗和反思三角形的面積推導方法、邏輯表達及算法意義，優(yōu)秀的學生還可以進一步創(chuàng)新方法，聯(lián)通比較，形成更高程度的對知識和方法的概括。整個教學設計環(huán)環(huán)相扣，行云流水、質樸扎實，可以看做有指導的探索活動的一種范式。