趙夫群

(咸陽師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽 712000)

隨著三維掃描技術(shù)的快速發(fā)展，點(diǎn)云配準(zhǔn)成為一個(gè)研究熱點(diǎn)，目前已在圖像融合、醫(yī)學(xué)研究、文物修復(fù)、顱面復(fù)原等領(lǐng)域[1-6]得到了廣泛應(yīng)用。顱骨配準(zhǔn)是顱面復(fù)原的一個(gè)重要步驟，其配準(zhǔn)精度將直接影響到顱面復(fù)原的正確性。顱骨配準(zhǔn)的基本思路為：對于一個(gè)未知顱骨U，將其與顱骨數(shù)據(jù)庫中已有的多個(gè)顱骨進(jìn)行配準(zhǔn)，以找出一個(gè)或多個(gè)與U最為相似的參考顱骨S，那么參考顱骨S的面貌即可作為未知顱骨U的參考面貌。

通常，掃描儀獲取的三維顱骨點(diǎn)云數(shù)據(jù)量較大，而且不同掃描儀的分辨率差異較大，因此對顱骨配準(zhǔn)的精度要求較高。目前，特征點(diǎn)標(biāo)定法[7-8]是使用較多的顱骨配準(zhǔn)方法，但是配準(zhǔn)結(jié)果并不十分理想。為了提高不同分辨率的顱骨配準(zhǔn)精度，提出一種由粗到細(xì)的層次化顱骨配準(zhǔn)方法。顱骨粗配準(zhǔn)就是將兩個(gè)顱骨通過旋轉(zhuǎn)和平移，變換到同一坐標(biāo)系下的過程，實(shí)現(xiàn)顱骨的初始粗對齊。目前的顱骨粗配準(zhǔn)算法大多采用基于特征的配準(zhǔn)算法，如顱骨的區(qū)域特征、法向和曲率特征以及二維圖像特征等[9-11]。這些基于特征的配準(zhǔn)算法可以將兩個(gè)顱骨基本對齊，為接下來的細(xì)配準(zhǔn)提供良好的初始位置。顱骨細(xì)配準(zhǔn)就是將兩個(gè)經(jīng)過粗配準(zhǔn)后的顱骨進(jìn)行進(jìn)一步精確對齊的過程。目前，采用最為廣泛的顱骨細(xì)配準(zhǔn)算法是迭代最近點(diǎn)(iterative closest point，ICP)算法[12]或其改進(jìn)算法[13-16]。

以上這些算法可以在一定程度上提高顱骨配準(zhǔn)的精度和速度，但對分辨率差異較大情況下的顱骨點(diǎn)云模型配準(zhǔn)效果不佳。為了提高分辨率差異較大顱骨的配準(zhǔn)精度和速度，提出一種先粗配準(zhǔn)再細(xì)配準(zhǔn)的層次化顱骨配準(zhǔn)方法。首先采用基于NN的配準(zhǔn)算法實(shí)現(xiàn)顱骨粗配準(zhǔn)，然后采用添加模擬退火系數(shù)的改進(jìn)ICP算法實(shí)現(xiàn)顱骨細(xì)配準(zhǔn)，以提高顱骨配準(zhǔn)的精度和速度，從而實(shí)現(xiàn)顱骨的最終精確配準(zhǔn)。

1 基于NN的顱骨粗配準(zhǔn)

對于待配準(zhǔn)的顱骨U和S，假設(shè)其對應(yīng)的點(diǎn)云模型的點(diǎn)集分別為X={x1,x2,…,xM}和Y={y1,y2,…,yN}，xi,yj∈Rn，M和N分別為點(diǎn)集X和Y中的點(diǎn)數(shù)，n為點(diǎn)云的維度。對于顱骨U和S，其粗配準(zhǔn)采用基于NN的點(diǎn)云配準(zhǔn)方法來實(shí)現(xiàn)。

基于NN點(diǎn)云配準(zhǔn)算法的步驟如下：

(1) 建立一個(gè)兩層的NN，其激勵(lì)函數(shù)為線性函數(shù)y=x，訓(xùn)練函數(shù)為trainlm函數(shù)，trainlm采用Levenberg-Marquardt優(yōu)化技術(shù)來更新權(quán)值和偏差。

(2) 訓(xùn)練該NN以獲取其連接權(quán)矩陣W和偏差矢量b。

(3) 基于步驟(2)獲取的權(quán)矩陣W和偏差矢量b，計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矢量t。

(4) 應(yīng)用剛體變換參數(shù)R和t將點(diǎn)集X和Y進(jìn)行配準(zhǔn)。

基于NN的點(diǎn)云配準(zhǔn)算法要求|X|=|Y|，即M=N，因此在對顱骨U和S粗配準(zhǔn)前，先要對其采樣，以使點(diǎn)云X和Y具有相同的點(diǎn)數(shù)。該算法的核心問題即根據(jù)輸入點(diǎn)云X和期待的輸出點(diǎn)云Y計(jì)算其最佳剛體變換，即旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矢量t。

該算法的特點(diǎn)是：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以隨機(jī)初始化權(quán)值和偏差，它僅依賴預(yù)定義的訓(xùn)練數(shù)據(jù)來建立剛體變換，因此輸入的矢量點(diǎn)和輸出的矢量點(diǎn)是一一對應(yīng)的，并且這種一一對應(yīng)關(guān)系保持不變。因此，基于NN的點(diǎn)云配準(zhǔn)算法的相應(yīng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的精度越高，配準(zhǔn)性能也就越好。

2 基于改進(jìn)ICP的顱骨細(xì)配準(zhǔn)

2.1 ICP算法

對于兩個(gè)待配準(zhǔn)的顱骨U和S，假設(shè)其點(diǎn)云模型對應(yīng)的點(diǎn)集分別為X和Y。采用ICP算法將X和Y進(jìn)行配準(zhǔn)的步驟如下：

(1) 對于任意一點(diǎn)yj，yj∈Y，j=1,2,…,N，在X中尋找其歐幾里德最近點(diǎn)xi，得到相關(guān)點(diǎn)集NY(X)={xi|d(yj,xi)=argminx∈Xd(yj,x)}。

(2) 對于點(diǎn)集NY(X)和Y，采用主成分分析法(PCA)計(jì)算其旋轉(zhuǎn)矩陣Rk和平移矢量tk，并應(yīng)用變換(Rk,tk)來更新點(diǎn)集Y，從而得到剛體變換參數(shù)R和t，其計(jì)算式為

Y=Rk·Y+tk，R=Rk·R，t=Rk·t+tk

(1)

重復(fù)步驟(1)和(2)，直到滿足算法的終止迭代條件為止。

ICP算法是一種精度較高的點(diǎn)云配準(zhǔn)算法，但它要求兩個(gè)點(diǎn)集之間存在包含關(guān)系，并且對大數(shù)據(jù)量點(diǎn)云的配準(zhǔn)速度較慢，而且沒有考慮不同尺度點(diǎn)云的配準(zhǔn)問題。鑒于此，在顱骨U和S的細(xì)配準(zhǔn)過程中，采用一種添加尺度因子和模擬退火系數(shù)的改進(jìn)ICP算法來實(shí)現(xiàn)顱骨的細(xì)配準(zhǔn)。

2.2 改進(jìn)ICP算法

2.2.1 求解剛體變換

(2)

式中，s為尺度因子。

假設(shè)X={x1,x2,…,xM}和Y={y1,y2,…,yN}含相同數(shù)目的點(diǎn)，于是式(2)可簡化為

(3)

對式(3)求解關(guān)于t的偏導(dǎo)數(shù)，并使其為0，則可以計(jì)算出平移矢量t的值為

(4)

于是，式(3)可進(jìn)一步表示為

(5)

采用矩陣的跡，目標(biāo)函數(shù)可進(jìn)一步寫為

(6)

(7)

R=U·C·VT

(8)

式中，C=d(1，1，…，1，det(U·VT))。

下面對式(7)求解關(guān)于s的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，則尺度因子s的值為

(9)

由此得到剛體變換的旋轉(zhuǎn)矩陣R、平移矢量t和尺度因子s。

2.2.2 改進(jìn)ICP算法的步驟

改進(jìn)ICP算法將模擬退火的思想加入ICP算法中，可以大大提高顱骨點(diǎn)云模型的配準(zhǔn)精度和速度。首先定義一個(gè)溫度參數(shù)α，它表示子集的數(shù)目。在ICP算法的每次迭代過程中，α都要進(jìn)行加1操作。

對于顱骨U和S對應(yīng)的點(diǎn)集X和Y，改進(jìn)ICP算法對其配準(zhǔn)的步驟描述如下：

(1) 設(shè)置參數(shù)的初值，即尺度因子s0=1，旋轉(zhuǎn)矩陣R0=I，平移矢量t0=0，模擬退火因子α=1。

(2) 基于ICP算法的點(diǎn)的相關(guān)性求解方法，建立子集Xα和Yα的相關(guān)性。

(3) 采用式(4)、式(8)和式(9)求解剛體變換參數(shù)R、t和s。

(4) 應(yīng)用剛體變換參數(shù)R、t和s到點(diǎn)集Y上。

重復(fù)步驟(1)—(4)，直到達(dá)到算法終止條件為止。

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

試驗(yàn)采用西北大學(xué)可視化技術(shù)研究所提供的顱骨點(diǎn)云數(shù)據(jù)模型進(jìn)行顱骨配準(zhǔn)測試。對于圖1(a)所示的未知顱骨U，將其與顱骨庫中300個(gè)完整的顱骨進(jìn)行配準(zhǔn)。未知顱骨U與某一參考顱骨S的配準(zhǔn)過程為：首先對顱骨U和S進(jìn)行去噪、簡化和歸一化等預(yù)處理[17]，并使它們有相同數(shù)量的采樣點(diǎn)；然后采用基于NN的點(diǎn)云配準(zhǔn)算法實(shí)現(xiàn)兩個(gè)顱骨的粗配準(zhǔn)；最后采用改進(jìn)的ICP算法實(shí)現(xiàn)顱骨U和S的細(xì)配準(zhǔn)。

通過將未知顱骨U與300個(gè)顱骨進(jìn)行配準(zhǔn)，找到了U的一個(gè)最為相似的參考顱骨S1，如圖1(b)所示，部分不能正確配準(zhǔn)的顱骨如圖1(c)—(e)所示。從圖1可見，顯然顱骨S1比S2、S3、S4具有更高的分辨率，而且顱骨S4的尺度更小。未知顱骨U與顱骨S1—S4的配準(zhǔn)結(jié)果如圖2所示。

圖1 未知顱骨U及部分參考顱骨S1—S4

圖2 U和S1—S4的配準(zhǔn)結(jié)果

從圖2的配準(zhǔn)結(jié)果來看，未知顱骨U和顱骨S1可以正確配準(zhǔn)，和顱骨S2、S3、S4不能正確配準(zhǔn)。因此，顱骨S1就可以作為未知顱骨U的參考顱骨，即參考顱骨S1的面貌即可作為未知顱骨U的復(fù)原參考面貌。為了進(jìn)一步驗(yàn)證該改進(jìn)ICP算法在配準(zhǔn)精度和速度方面的性能，基于前面粗配準(zhǔn)的結(jié)果，再分別采用ICP算法、ICP-DAF算法[18]和WICP算法[14]進(jìn)行顱骨細(xì)配準(zhǔn)。4種細(xì)配準(zhǔn)算法的配準(zhǔn)結(jié)果見表1。

表1 細(xì)配準(zhǔn)算法的配準(zhǔn)結(jié)果

4 結(jié) 論

顱骨配準(zhǔn)是顱面復(fù)原的一個(gè)重要步驟，其配準(zhǔn)精度將直接影響到顱面復(fù)原的正確性。為了提高顱骨配準(zhǔn)的精度和速度，本文提出一種先粗配準(zhǔn)再細(xì)配準(zhǔn)的層次化顱骨點(diǎn)云配準(zhǔn)方法。首先采用基于NN的點(diǎn)云配準(zhǔn)算法實(shí)現(xiàn)顱骨粗配準(zhǔn)，然后采用添加了模擬退火系數(shù)的改進(jìn)ICP算法實(shí)現(xiàn)顱骨的細(xì)配準(zhǔn)。與ICP算法相比，該改進(jìn)ICP算法具有更高的配準(zhǔn)精度和速度，可以實(shí)現(xiàn)顱骨的最終精確配準(zhǔn)。因此可以認(rèn)為該由粗到細(xì)點(diǎn)云配準(zhǔn)方法是一種有效的顱骨配準(zhǔn)方法。但是由于該方法沒有考慮噪聲和外點(diǎn)對配準(zhǔn)的影響，因此對噪聲含量較大的顱骨配準(zhǔn)效果不佳。在今后的研究中，需要進(jìn)一步考慮噪聲、外點(diǎn)、存在顱骨缺損等多種因素對顱骨配準(zhǔn)結(jié)果的影響，提出更加快速、高精度、穩(wěn)健性強(qiáng)的顱骨配準(zhǔn)方法，并將其應(yīng)用于顱骨面貌復(fù)原研究中。