李興

摘? ?要：由于對(duì)電磁感應(yīng)中安培力做功的本質(zhì)不太了解，學(xué)生很容易生搬硬套Q=|W|的二次結(jié)論。文章從功能關(guān)系、對(duì)比“摩擦生熱”、微觀角度分析多種場景下焦耳熱與安培力做功的關(guān)系，從而得出Q=|W|的適用條件。

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng);安培力做功;焦耳熱

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1003-6148（2019）10-0055-3

1? ? 問題來源

在學(xué)習(xí)電磁感應(yīng)規(guī)律的過程中，經(jīng)常遇到有關(guān)克服安培力做功和回路中焦耳熱的問題。

案例1 如圖1所示，兩根固定的光滑平行導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間的寬度為L，電阻不計(jì)。導(dǎo)軌左側(cè)接有一阻值為R的電阻。一導(dǎo)體棒垂直于導(dǎo)軌，長度為L，電阻為r，垂直導(dǎo)軌放置，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中?，F(xiàn)在一外力F的作用下，導(dǎo)體棒以速度v沿光滑導(dǎo)軌勻速移動(dòng)。

2? ? 對(duì)于電磁感應(yīng)中二次結(jié)論Q=|W| 的幾點(diǎn)疑問

疑問1：該結(jié)論適用于感生電動(dòng)勢的情況嗎？

感應(yīng)電動(dòng)勢的產(chǎn)生有兩種形式，一種是導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢叫做動(dòng)生電動(dòng)勢，另一種是由于磁場變化而產(chǎn)生的電動(dòng)勢叫做感生電動(dòng)勢。案例1屬于前一種情況，那么對(duì)于產(chǎn)生感生電動(dòng)勢的情境，Q=|W| 的二次結(jié)論還能適用嗎[1]？

案例2 如圖2a所示，一個(gè)矩形的導(dǎo)體框固定在一個(gè)勻強(qiáng)磁場中，線框平面與磁場垂直，線框的面積為S，電阻為R，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化的規(guī)律為B=kt（k>0且為常數(shù)），求：0～t0時(shí)間內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱？

分析 當(dāng)磁場隨時(shí)間逐漸增大時(shí)，導(dǎo)體框中會(huì)產(chǎn)生逆時(shí)針方向的感應(yīng)電流，因此0～t0時(shí)間內(nèi)，導(dǎo)體框中產(chǎn)生的焦耳熱Q一定不等于零，而導(dǎo)體框的各邊雖然也會(huì)受到垂直方向的安培力F（圖2b），但由于導(dǎo)體框并沒有移動(dòng)，因此安培力做的功W=0 。

案例3 導(dǎo)軌平面水平且光滑，其左側(cè)接入一個(gè)內(nèi)阻為R電動(dòng)機(jī)M，勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面，電阻為r的導(dǎo)體棒AB在恒定的外力作用下，向右以速度v勻速切割磁感線（圖3），能使電動(dòng)機(jī)正常工作，則在t時(shí)間內(nèi)，電路中產(chǎn)生的焦耳熱Q與|W|是否相等？

分析 根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律可得，外力做的功WF 等于回路中的焦耳熱與電動(dòng)機(jī)對(duì)外提供的機(jī)械能，即WF =Q +E，根據(jù)動(dòng)能定理，WF+W =△Ek ，又因?yàn)椤鱁k=0 ，可得W= -WF = -（ Q + E）， 即|W|> Q 。

結(jié)論：Q=|W|只能適用于純電阻電路。

疑問3：W指的是安培力對(duì)單個(gè)導(dǎo)體棒做的功嗎？

案例4 （兩根導(dǎo)體棒切割的情形）導(dǎo)軌平面水平，兩個(gè)質(zhì)量均為m、電阻均為R、長度均為L的導(dǎo)體棒ab、cd靜放于光滑的導(dǎo)軌上，勻強(qiáng)磁場與導(dǎo)軌平面垂直，給導(dǎo)體棒ab一個(gè)初速度v0（圖4），試分析兩棒從開始到穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)過程中，回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q與安培力做功的情況。

分析 根據(jù)動(dòng)量守恒定律有 mv0=2mv，v=。

根據(jù)能量守恒定律，回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的損失量，即：

Q=-△Ek =mv-2mv2=mv

對(duì)ab棒，根據(jù)動(dòng)能定理得

W= mv2-mv=-mv

對(duì)cd棒，根據(jù)動(dòng)能定理得

W= mv2=mv

對(duì)系統(tǒng)， 一對(duì)安培力做的功為

W+W= -mv+mv=-mv

據(jù)上可得：Q =| W+W|

結(jié)論：根據(jù)案例4可知，回路中放出的焦耳熱Q對(duì)應(yīng)的是系統(tǒng)的一對(duì)安培力所做的凈功。當(dāng)回路中只有一個(gè)切割的導(dǎo)體棒，而且是靜磁場，W也等于安培力對(duì)單個(gè)導(dǎo)體棒做的功。

3? ? 與“摩擦生熱”的功能關(guān)系類比

不同形式能量之間的轉(zhuǎn)化是通過做功實(shí)現(xiàn)的。以上電磁感應(yīng)現(xiàn)象的案例中，是機(jī)械能→電能→內(nèi)能之間的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化過程是通過安培力做功來實(shí)現(xiàn)的。這與力學(xué)中的“摩擦生熱”情形是類似的（如表1）[1]。

4? ? 電磁感應(yīng)中安培力做功與焦耳熱的微觀解釋

4.1? ? 產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢的微觀本質(zhì)

如圖5a所示，金屬桿AB向右以速度v1切割磁感線時(shí)，金屬桿內(nèi)的自由電子受到洛倫茲力f1的作用，且f1=ev1B 方向沿桿向下（圖5b），因此金屬桿A端帶正電，B端帶負(fù)電。這就是金屬桿上動(dòng)生電動(dòng)勢產(chǎn)生的本質(zhì)，其中f1為產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢的非靜電力。

4.2? ? 安培力的微觀本質(zhì)

由于電子沿金屬桿方向上有定向移動(dòng)（圖5c），因此電子還受到另一個(gè)方向的洛倫茲力f2的作用，若電子沿桿方向的速度大小為v2，則f2=ev2B，金屬桿內(nèi)所有自由電子受到的f2的合力即為金屬桿受到的安培力F。

4.3? ? 安培力做功與焦耳熱

因?yàn)樽杂呻娮邮艿降穆鍌惼澚Σ蛔龉?，因此Wf1+Wf2=0 。設(shè)金屬桿的橫截面積為S，單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為n ，則t時(shí)間內(nèi)：

W=N W=nSL W=-nSL W=-nSL evBvt

根據(jù)電流強(qiáng)度的微觀表達(dá)式I=neSv2 和切割產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢E=BLv1，對(duì)于純電阻電路：

|W|=|-IEt|=E=Q

若回路中的磁場也同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，產(chǎn)生感生電動(dòng)勢，電源中的非靜電力除了洛倫茲力f1之外，還有渦旋電場力，此時(shí)回路中總的電能：

E ≠|(zhì)W|[2]

5? ? 總結(jié)與反思

根據(jù)前面幾個(gè)案例的研究可知，使用二次結(jié)論Q=|W|時(shí)，應(yīng)注意以下情形[2]：

①只適用于僅有動(dòng)生電動(dòng)勢的情形;

②只適用于電能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的電路（即純電阻電路）;

③磁場中有兩個(gè)切割導(dǎo)體，W應(yīng)該是一對(duì)安培力做的功。

對(duì)于二次結(jié)論，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從宏觀與微觀、運(yùn)動(dòng)規(guī)律、功能關(guān)系等不同的角度理清該結(jié)論的來龍去脈，從而得出比較準(zhǔn)確的適用范圍，這樣可以讓學(xué)生的科學(xué)思維水平得到訓(xùn)練和提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]譚子虎.克服安培力做多少功，就有多少電能產(chǎn)生嗎？[J].物理教師，2015，36（2）：54-55.

[2]陸球.電磁感應(yīng)中關(guān)于安培力做功與電阻發(fā)熱量關(guān)系的討論[J].物理教師，2018，39（11）：55-56.

（欄目編輯? ? 羅琬華）