■河南省濮陽市第一高級中學(xué)

離心率是圓錐曲線的一個重要性質(zhì),是刻畫圓錐曲線形態(tài)特征的基本量,因此,求圓錐曲線離心率的取值范圍問題是歷年高考和模擬考試的熱點(diǎn)問題之一。解決此類問題的基本思路是構(gòu)造關(guān)于a,c,e的不等式。下面結(jié)合高考題,介紹求圓錐曲線的離心率的幾種常用方法,以便同學(xué)們能更好地理解和掌握此類題的技巧和規(guī)律,提高大家分析問題和解決問題的能力。

一、直接利用條件尋找a,c的關(guān)系求解

小結(jié):通過對題目已知條件的分析,盡可能直接建立離心率的不等關(guān)系來求解。

解析:設(shè)直線l的方程為y=k(x-c)。

令x=0,得y=-ck,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-ck)。

小結(jié):解答本題的關(guān)鍵是如何建立k與e之間的關(guān)系,然后再利用k的取值范圍來求解e的取值范圍,同時要注意橢圓離心率e隱含的范圍為e∈(0,1)。

二、利用圓錐曲線的第一定義或第二定義求解

小結(jié):圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離或到準(zhǔn)線的距離,通常要用它們的第一定義或第二定義來建立聯(lián)系。

三、利用圓錐曲線的范圍(或焦半徑的有界性)求解

四、利用數(shù)形結(jié)合求解

解析:要使橢圓與圓有四個不同的交點(diǎn),只需滿足b＜+c＜a。

小結(jié):將數(shù)用形來體現(xiàn),直接得到a,b,c的關(guān)系,這無疑是解決數(shù)學(xué)問題較好的一種方法,也是重要的解題途徑。

從以上四種求圓錐曲線離心率范圍的策略來看,我們要明確求離心率范圍的關(guān)鍵是建立a,b,c的不等關(guān)系,然后利用橢圓與雙曲線中a2,b2,c2的默認(rèn)關(guān)系以及離心率的限制范圍,最終求出離心率的范圍。