■江蘇省鹽城市高級(jí)實(shí)驗(yàn)中學(xué)

我們知道,常用邏輯用語是一種數(shù)學(xué)語言,它與我們平時(shí)的生活實(shí)際用詞之間存在一定的聯(lián)系,但也有很大的區(qū)別,如果我們忽視這些區(qū)別,就會(huì)在學(xué)習(xí)常用邏輯用語時(shí)犯錯(cuò)。那么在用常用邏輯用語解題時(shí),哪些誤區(qū)我們必須要加以提防呢?

誤區(qū)一:書寫四種命題時(shí)分不清條件與結(jié)論

例1寫出下列命題的逆命題:

(1)對(duì)頂角相等;

剖析:在(1)中,錯(cuò)解沒有分清命題的條件與結(jié)論,只是把前后兩個(gè)詞語交換了位置。應(yīng)該把命題“對(duì)頂角相等”先改寫成“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角,那么它們相等”,然后再寫逆命題。在(2)中,“ab＞0”是大前提,在書寫其他三種命題時(shí),不需作任何改寫,依然在原來的位置。

正解:(1)若兩個(gè)角相等,則它們是對(duì)頂角。

友情提示:在書寫四種命題時(shí),經(jīng)常會(huì)碰到原命題是一句話的情況,書寫前必須先分清條件和結(jié)論。存在大前提的命題,不需作任何改寫,切不可把它作為條件或結(jié)論。

誤區(qū)二:混淆“否命題”與“命題的否定”

例2寫出命題“正方形是矩形”的否命題。

錯(cuò)解:否命題為:正方形不是矩形。

剖析:錯(cuò)解求的是原命題的“否定”,只否定了命題的結(jié)論。而題目要求寫的是原命題的否命題,既要否定其條件,又要否定其結(jié)論。

正解:否命題為:如果一個(gè)四邊形不是正方形,那么它不是矩形。

友情提示:命題的否命題與命題的否定是改寫命題的兩種不同形式,不可混為一談。若p表示命題,￢p是命題的否定,命題的否定只否定結(jié)論不否定條件。若原命題是“若p,則q”,那么命題的否定為“若p,則￢q”;而否命題為“若￢p,則￢q”,既否定結(jié)論,又否定條件。

誤區(qū)三:忽視對(duì)關(guān)鍵詞的否定

例3命題“正方形與菱形都是平行四邊形”的否定是 。

錯(cuò)解:原命題的否定是:正方形與菱形都不是平行四邊形。

剖析:原命題的關(guān)鍵詞為“都是”,這個(gè)詞的否定不是“都不是”,而是“不都是”。

正解:

其否定是:正方形與菱形不都是平行四邊形或者在正方形與菱形中,至少有一個(gè)不是平行四邊形。

友情提示:在改寫命題的否定和命題的否命題時(shí),必須要注意一些關(guān)鍵詞語的否定。如“任意的”的否定是“存在一個(gè)”,“有些”的否定是“全部”,“一定”的否定是“不一定”,“至多有1個(gè)”的否定是“至少有2個(gè)”,等等。

誤區(qū)四:在寫否命題或命題的否定時(shí)忽視對(duì)“或”與“且”的否定

例4寫出命題“若(x-2)(x+3)=0,則x=2或x=-3”的否命題。

錯(cuò)解:否命題為“若(x-2)(x+3)≠0,則x≠2或x≠-3”。

剖析:上面解法對(duì)條件與結(jié)論進(jìn)行否定時(shí),忽視了對(duì)關(guān)鍵詞“或”的否定。

正解:否命題為“(x-2)(x+3)≠0,則x≠2且x≠-3”。

友情提示:在對(duì)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”的命題進(jìn)行否定時(shí),一定要注意 “或”的否定為“且”,“且”的否定為“或”,即它們的否定是相互的。

誤區(qū)五:忽視對(duì)量詞的否定

例5命題p:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,方程x2+ax-1=0有解,則￢p為 。

錯(cuò)解:￢p:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,方程x2+ax-1=0無解。

剖析:命題的否定雖然只需否定結(jié)論,但對(duì)于全稱命題與特稱命題時(shí),對(duì)量詞也要否定。“任意(?)”的否定為“存在(?)”,而“存在(?)”的否定為“任意(?)”。

正解:￢p:存在實(shí)數(shù)a0,方程x2+a0x-1=0無解。

友情提示:對(duì)全稱命題與特稱命題進(jìn)行否定,一般需對(duì)原命題改寫兩處:一是對(duì)全稱量詞與特稱量詞進(jìn)行否定;二是對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行否定。