唐 帥

(泰州學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

0 引言

文獻(xiàn)[1]針對基本余代數(shù)提出了左歐拉余代數(shù)的概念.基本左歐拉余代數(shù)相對于基本余代數(shù)而言具備一些特殊的性質(zhì).比如：在基本左歐拉余代數(shù)上可以研究類似于基本代數(shù)所具有的歐拉雙線性型、Coxeter變換等內(nèi)容；[1-2]當(dāng)C是基本左歐拉余代數(shù)時(shí)，任意兩個(gè)有限維左C-余?？梢耘涑蓺W拉對[1]；在基本左歐拉余代數(shù)上可以定義并研究所謂的歐拉余模[3]等.目前許多基本余代數(shù)具有基本左歐拉余代數(shù)結(jié)構(gòu).比如：當(dāng)C是基本的有限維余代數(shù)并且整體維數(shù)有限時(shí)，C是左歐拉余代數(shù)[1]；當(dāng)C是右半完全余代數(shù)并且C的每一個(gè)單余模的內(nèi)射維數(shù)有限時(shí)，C也是左歐拉余代數(shù)[1].有關(guān)左歐拉余代數(shù)上的相關(guān)結(jié)果可參見文獻(xiàn)[1-4].

對秩為1的點(diǎn)Hopf代數(shù)的研究已經(jīng)取得了許多結(jié)果.文獻(xiàn)[5]給出了這類Hopf代數(shù)的分類，其分類結(jié)果可以追溯到文獻(xiàn)[6]；文獻(xiàn)[7]將這類Hopf代數(shù)的分類結(jié)果由有限維特征0的情形推廣到無限維任意特征的情形，并研究了這類Hopf代數(shù)的模范疇中一類重要的對象——權(quán)模；文獻(xiàn)[8-9]從Green環(huán)角度研究了這類Hopf代數(shù)的表示范疇的Monoidal結(jié)構(gòu).

本文主要研究一類秩為1的點(diǎn)Hopf代數(shù)H的余表示.利用Hopf代數(shù)H是基本余代數(shù)這一事實(shí)給出了同構(gòu)意義下所有有限維不可分解左H-余模；完全刻畫了任意兩個(gè)不可分解左H-余模之間的余模態(tài)射空間，并據(jù)此回答了何時(shí)Hopf代數(shù)H作為余代數(shù)是左歐拉余代數(shù)；當(dāng)H是左歐拉余代數(shù)時(shí)，給出了H的歐拉雙線性型、歐拉二次型以及對應(yīng)的Coxeter變換等結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

H作為余代數(shù)，余乘△與余單位ε定義為

△(x)=ɡ?x+x?1，△(a)=a?a，ε(x)=0，ε(a)=1，?a∈G.

H的對極S定義為S(x)=-ɡ-1x，S(a)=a-1，?a∈G.

顯然{axi|a∈G，0≤i≤n-1}構(gòu)成H的一組K-基.記Hi=KG?KGx?…?KGxi，0≤i≤n-1，則H0?H1?…?Hn-1為H的余根濾鏈.對k用數(shù)學(xué)歸納法容易證明

(1)

設(shè)M(a，i)=sociEa，其中a∈G，1≤i≤n.因?yàn)镠是單列余代數(shù)[10]，H的任意有限維不可分解左H-余模形如sociEa[11]，其中1≤i≤n，a∈G.因此，集合{M(a，i)|a∈G，1≤i≤n}構(gòu)成同構(gòu)意義下所有有限維不可分解左H-余模.顯然{a，ax，…，axi-1}為M(a，i)的一組K-基，并且不可分解余模M(a，i)由其基座Sa與向量空間維數(shù)i唯一決定.

2 左歐拉余代數(shù)

左H-余模M到N的余模映射的全體記為HomH(M，N).對于任意兩個(gè)不可分解余模M與N，本文刻畫了余模映射空間HomH(M，N)的維數(shù)，利用這一結(jié)果回答了何時(shí)H作為余代數(shù)是左歐拉余代數(shù).

引理1對于任意a∈G，1≤k≤j，有商余模同構(gòu)M(a，j)/M(a，k)?M(aɡ，j-k).

soc(M(a，j)/M(a，k))=M(a，k+1)/M(a，k)?Saɡk.

比較維數(shù)有M(a，j)/M(a，k)?M(aɡk，j-k).

命題1(1) 對于任意a，b∈G，1≤i≤j≤n，有

(2) 對于任意a，b∈G，1≤j≤i≤n，有

證明(1) 設(shè)α為M(a，i)到M(b，j)的非零左H-余模映射，則kerα為M(a，i)的子余模.注意到M(a，i)是單列余模，M(a，i)的所有真子余模在包含關(guān)系下形成子余模的序列0?M(a，1)?…?M(a，i-1).因而kerα∈{0，M(a，1)，…，M(a，i-1)}.由引理1知，商余模M(a，i)/kerα在同構(gòu)意義下具有如下形式：

M(a，i)/kerα∈{M(a，i)，M(aɡ，i-1)，…，M(aɡi-1，1)}.

(2)

然而M(a，i)/kerα?Imα?M(b，j)，因此Sb=socM(b，j)=socImα=soc(M(a，i)/kerα).此時(shí)結(jié)合(2)式可得Sb∈{Sa，Saɡ，…，Saɡi-1}，這就證得b∈{a，aɡ，…，aɡi-1}.為了證明當(dāng)b∈{a，aɡ，…，aɡi-1}時(shí)，有向量空間同構(gòu)HomH(M(a，i)，M(b，j))?K，假設(shè)b=aɡk，其中0≤k≤i-1.注意到存在如下的從M(a，i)到M(aɡk，j)的余模映射φ：

其中：π為典范投射，ι為包含映射，中間的同構(gòu)為相差一個(gè)非零常數(shù)的恒等映射(這是因?yàn)閷τ谌我獠豢煞纸庥嗄，EndH(M)?K).設(shè)β為M(a，i)到M(aɡk，j)的任意非零余模映射.類似于映射α的分析，有M(a，i)/kerβ?M(aɡk，i-k)，因而kerβ=M(a，k).此時(shí)映射β有如下分解：

這就證明了β與φ僅僅相差一個(gè)非零常數(shù)，從而HomH(M(a，i)，M(b，j))?K.

(2) 設(shè)α為從M(a，i)到M(b，j)的非零余模映射，因?yàn)?/p>

M(a，i)/kerα?Imα∈{M(b，1)，M(b，2)，…，M(b，j)}，

故dimK(kerα)∈{i-1，i-2，…，i-j}.注意到soc(kerα)=socM(a，i)=Sa，因而

kerα∈{M(a，i-1)，M(a，i-2)，…，M(a，i-j)}.

(3)

由(3)式推出

M(a，i)/kerα∈{M(aɡi-1，1)，M(aɡi-2，2)，…，M(aɡi-j，j)}.

(4)

而Sb=socM(b，j)=socImα=soc(M(a，i)/kerα)，故(4)式表明b∈{aɡi-1，aɡi-2，…，aɡi-j}.若b=aɡi-k，其中1≤k≤j，類似于結(jié)論(1)的分析，余模映射空間HomH(M(a，i)，M(aɡi-k，j))為映射

M(a，i)→M(a，i)/M(a，i-k)?M(aɡi-k，k)?M(aɡi-k，j)

生成的向量空間，因而HomH(M(a，i)，M(aɡi-k，j))?K.

推論1對于任意a，b∈G，有：

證明將函子HomH(Sa，-)作用于短正合列

0→Sb→Eb→Eb/Sb→0，

(5)

可得正合列

結(jié)合命題1可知

(2) 證明與上面類似，將短正合列(5)換為短正合列0→M(b，n-1)→Eb→Eb/M(b，n-1)→0即可.

定理1若群G的中心元ɡ是無限階的，則H作為余代數(shù)是左歐拉余代數(shù)，即H滿足左歐拉余代數(shù)的如下定義條件：

(1) 對于任意a，b∈G，HomH(Ea，Eb)總是有限維的；

(2) 任意單H-余模Sb具有內(nèi)射分解

使得該內(nèi)射分解中每一個(gè)內(nèi)射余模都是基座有限的，并且對于任意不可分解內(nèi)射余模Ea，總存在某個(gè)與Ea相關(guān)的正整數(shù)k使得

HomH(Ebɡjn，Ea)=HomH(Ebɡjn+1，Ea)=0，?j≥k；

證明結(jié)論(1)可由命題1得到.

(2) 根據(jù)引理1，有如下短正合列：

0→Sb→Eb→M(bɡ，n-1)→0，

0→M(bɡ，n-1)→Ebɡ→Sbɡn→0，

?

0→Sbɡkn→Ebɡkn→M(bɡkn+1，n-1)→0，

0→M(bɡkn+1，n-1)→Ebɡkn+1→Sbɡ(k+1)n→0，

?

這就得到Sb的內(nèi)射分解

(6)

顯然，對于任意內(nèi)射余模Ea，由命題1知存在某一k使得對于所有j≥k，

HomH(Ebɡjn，Ea)=HomH(Ebɡjn+1，Ea)=0.

(3) 對于Sb的內(nèi)射分解(6)，由同調(diào)代數(shù)基本結(jié)論可知

并且

因?yàn)楱赖碾A無限，對于任意a，b∈G，由推論1知最多存在一個(gè)k1使得

同時(shí)最多存在一個(gè)k2使得

注1(1) 如果ɡ的階有限，則ɡ的階能夠被n整除[7].此時(shí)H不是左歐拉余代數(shù)，這是因?yàn)樵赟b的內(nèi)射分解(6)中，內(nèi)射余模都是周期呈現(xiàn)的，此時(shí)定理1中的結(jié)論(2)與結(jié)論(3)不再成立.

(2)Sb的第m-次余合沖定義為ΩmSb=Imdm-1，其中dm-1為Sb的內(nèi)射分解(6)中的態(tài)射.對于任意k≥0，容易推出Ω2kSb=Imd2k-1=Sbɡkn，Ω2k+1Sb=Imd2k=M(bɡkn+1，n-1).

3 歐拉雙線性型

類似于基本代數(shù)Cartan矩陣的定義，Hopf代數(shù)H作為余代數(shù)其Cartan矩陣定義為無限階矩陣C=(cij)i，j∈Z，其中cij=dimKHomH(Ei，Ej)，即Sj在合成列Ei中的重?cái)?shù)[1].由命題1可知，當(dāng)j∈{i，i+1，…，i+n-1}時(shí)，cij=dimKHomH(Ei，Ej)=1；否則cij=0.因此Cartan矩陣C為無限階上三角矩陣：

(7)

由文獻(xiàn)[1]可知，H作為基本左歐拉余代數(shù)其Cartan矩陣C是左可逆的，即存在矩陣C-1使得C-1C=E，其中E為單位矩陣.且矩陣C-1可以寫成如下形式：

(8)

注意到向量乘積

因此，矩陣C-1也是Cartan矩陣C的右可逆矩陣，即CC-1=E.

證明(1) 注意到Hopf代數(shù)H的歐拉雙線性型定義為Z-雙線性型

b：ZZ×ZZ→Z，b(x，y)=x(C-1)TyT，

其中x，y∈ZZ.根據(jù)(8)式中矩陣C-1的表示形式，有

(2) 注意到Hopf代數(shù)H的歐拉二次型定義為

q：ZZ→Z，q(x)=b(x，x)，

其中x∈ZZ.由結(jié)論(1)可得結(jié)論成立.

因此，當(dāng)i=j-n+1時(shí)，矩陣Φ=-(C-1)TC中的(i，j)-元為-1；否則為0.因而矩陣Φ可以寫成如下形式：

即Φ((xi)i∈Z)=(-xi-n+1)i∈Z.