付宏睿，董永剛，張建剛

(1.安陽學(xué)院建筑工程學(xué)院，河南 安陽 455000；2.蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

氣象學(xué)家Lorenz于1963年首次發(fā)現(xiàn)了一個(gè)三維自治系統(tǒng)中的混沌吸引子，從此混沌得到很快地發(fā)展，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造出許多新的三維混沌系統(tǒng).[1-3]然而三維自治混沌系統(tǒng)的帶寬比較窄，應(yīng)用在保密通信中效果差，信號(hào)容易被破譯.但是四維超混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為更復(fù)雜，它具有2個(gè)或2個(gè)以上的正Lyapunov指數(shù)，因此更難預(yù)測.將其應(yīng)用在保密通信中將會(huì)大大提高信號(hào)傳輸?shù)谋Ｃ艹潭?

近年來，許多學(xué)者將混沌系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)合在一起，將其表示為網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)，則復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步就成為各個(gè)節(jié)點(diǎn)間的混沌同步問題[4-6].文獻(xiàn)[7]研究了非線性耦合網(wǎng)絡(luò)的時(shí)空混沌同步；文獻(xiàn)[8]研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中具有相同結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)之間的脈沖同步等；文獻(xiàn)[9]研究了復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)單變量之間相互替換耦合的同步；文獻(xiàn)[10]基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，研究了一類分?jǐn)?shù)階復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間混沌同步.已有文獻(xiàn)大部分都是對三維混沌系統(tǒng)的研究，很少將四維混沌系統(tǒng)應(yīng)用到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步中，并且主要都是對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的理論研究，很少有對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步的應(yīng)用.本文在提出一個(gè)新四維混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上將其與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，由于該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性，因此非常有利于應(yīng)用到保密通信中.

目前，許多研究都利用混沌信號(hào)帶寬頻譜的非周期性以及對初值的敏感性和具有非常好的隱蔽性等將其應(yīng)用到保密通中.[11-13]以往都是對信號(hào)只實(shí)施一次加密，而本文提出一種新的混沌保密通信系統(tǒng)，將有用信息經(jīng)過多次加密，可以大大提高信息傳輸?shù)谋Ｃ艹潭?但是在現(xiàn)實(shí)中信息傳輸總會(huì)受到噪聲的干擾，使有用信號(hào)發(fā)生畸變.因此，本文在保密通信的基礎(chǔ)上加入了高斯白噪聲[14-15]，使其對信號(hào)傳輸進(jìn)行干擾，最后用小波變換原理對噪聲進(jìn)行處理[16]，從Matlab數(shù)值仿真來看，有用信號(hào)可以被無失真地恢復(fù)出來.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 模型提出

選取一個(gè)新四維自治混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(1)

其中：x=(x，y，z，u)T∈R4為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a，b，c，m∈R為系統(tǒng)的參數(shù).運(yùn)用Wolf算法可以計(jì)算出該系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)λ1=0.337 1，λ2=0.218 4，λ3=0，λ4=-26.436 1，并且該系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)DKY=3.020 65，則說明系統(tǒng)(1)處于超混沌狀態(tài).

1.2 系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性

特征方程為(λ+5)(λ3+21λ2-680λ+140)=0，則特征根依次為λ1=-5，λ2=-38.68，λ3=0.207，λ4=17.468 5.因此它的平衡點(diǎn)不是穩(wěn)定的鞍點(diǎn)，說明系統(tǒng)(1)存在超混沌現(xiàn)象.

1.3 系統(tǒng)(1)的耗散性與吸引子的存在

1.4 系統(tǒng)(1)吸引子的數(shù)值仿真

圖1 系統(tǒng)在不同空間的吸引子

2 基于系統(tǒng)(1)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步

選取由N個(gè)相同節(jié)點(diǎn)通過耦合而構(gòu)成的全局耦合網(wǎng)絡(luò)，其中第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的n維動(dòng)力系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(2)

將系統(tǒng)(1)表示為網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)，取節(jié)點(diǎn)數(shù)N=4，那么由該系統(tǒng)組成的4個(gè)節(jié)點(diǎn)的全局耦合網(wǎng)絡(luò)模型為：

(3)

(4)

(5)

(6)

運(yùn)用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，由運(yùn)行結(jié)果可以看出：當(dāng)耦合函數(shù)d=2時(shí)，盡管系統(tǒng)的初始狀態(tài)不同，但還是可以較快地達(dá)到同步.圖2為系統(tǒng)(3)—(6)的同步誤差圖，其中：圖2(a)為節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2之間的誤差；圖2(b)為節(jié)點(diǎn)2與節(jié)點(diǎn)3之間的誤差；圖2(c)為節(jié)點(diǎn)3與節(jié)點(diǎn)4之間的誤差；圖2(d)為節(jié)點(diǎn)4與節(jié)點(diǎn)1之間的誤差.

圖2 系統(tǒng)(3)—(6)的同步誤差圖

3 基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌保密通信

3.1 保密通信方案

圖3 混沌保密通信系統(tǒng)

為了提高網(wǎng)絡(luò)中信息傳輸?shù)陌踩?，提出了一種基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)新的混沌保密通信系統(tǒng)(見圖3).該系統(tǒng)由結(jié)構(gòu)復(fù)雜的四維超混沌系統(tǒng)組成，它的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)行為會(huì)更復(fù)雜，并且具有2個(gè)或2個(gè)以上的正Lyapunov指數(shù).因此它的動(dòng)力學(xué)特性非常有利于混沌保密通信的加密，其混沌信號(hào)對初值極端敏感，并且在接收端有用信號(hào)必須經(jīng)過兩次解調(diào)才能被恢復(fù)出來，所以該系統(tǒng)的保密程度比較高.

3.2 噪聲干擾下信號(hào)的傳輸與小波去噪

為了分析信道中噪聲對信息傳輸?shù)母蓴_以及對信息解密時(shí)的影響，本文將5 dB的高斯白噪聲干擾信號(hào)加入了信息傳輸與加密、解密的整個(gè)過程中(見圖4).

圖5 小波閾值去噪原理

小波閾值去噪原理如圖5所示[17].因?yàn)橛杏眯畔⒈谎谏w在混沌信號(hào)中，而混沌信號(hào)在小波域中的能量譜中相對集中，但噪聲的能量譜卻比較分散，并且混沌信號(hào)在小波域中的分解系數(shù)絕對值比噪聲中的大.因此，可以利用小波變換原理對信號(hào)進(jìn)行多尺度分解，然后選擇適當(dāng)?shù)拈撝?，過濾掉絕對值相對小的小波系數(shù)，從而進(jìn)行分層分尺度去噪，達(dá)到降低噪聲的效果，最后把去噪處理后的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，則可得到原有用信號(hào).

選取如圖3所示的保密通信方法，選用離散信號(hào)h(t)進(jìn)行傳輸，則傳輸?shù)幕旌闲盘?hào)s(t)=h(t)+x22(t)+n(t)，其中n(t)是5 dB的高斯白噪聲信號(hào).

令節(jié)點(diǎn)1為發(fā)射系統(tǒng)，有：

令節(jié)點(diǎn)2為接收系統(tǒng)，有：

圖6為加入高斯白噪聲后含噪信號(hào)的傳輸與小波去噪的Matlab數(shù)值仿真結(jié)果.其中：圖6(a)為x22的時(shí)間序列；圖6(b)為有用信息h(t)；圖6(c)為信道中第一次加密后傳輸?shù)暮胄盘?hào)s(t)；圖6(d)為信道中第二次加密后傳輸?shù)暮胄盘?hào)s′(t)；圖6(e)為第一次恢復(fù)的信號(hào)h′(t)；圖6(f)為第二次恢復(fù)的信號(hào)h″(t)；圖6(g)為采用小波閾值去噪處理后的有用信號(hào)h1(t).

圖6 離散信號(hào)去噪示意圖

從圖6(f)可以看出，在加入高斯白噪聲影響的情況下，盡管有用信息可以被大致恢復(fù)出來，但是由于它在傳輸中受到噪聲干擾而發(fā)生了變化，波形振蕩不夠光滑.而圖6(g)是在選取合適的閾值后，經(jīng)過小波變換處理，使有用信號(hào)可以很好地恢復(fù)出來，去噪效果比較良好.

4 結(jié)論

本文提出了一個(gè)新的四維混沌系統(tǒng)，并驗(yàn)證了其吸引子的存在.研究了基于該系統(tǒng)的全局耦合網(wǎng)絡(luò)的漸近同步問題.在此基礎(chǔ)上將其同步應(yīng)用到保密通信中，研究了2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間進(jìn)行多次加密的新保密通信系統(tǒng)，并且在信息傳輸中加入高斯白噪聲的干擾.最后，在小波變換的作用下，經(jīng)過調(diào)節(jié)閾值對有用信息進(jìn)行去噪處理，最終有用信息能夠很好地?zé)o失真地恢復(fù)出來.