摘要：文章以一元一次方程的判斷為例，結(jié)合整個(gè)中學(xué)教材體系、方程概念，以及方程產(chǎn)生的歷史背景和現(xiàn)實(shí)意義，詳細(xì)闡述方程判斷不需要化簡(jiǎn)。

關(guān)鍵詞：一元一次方程：方程判斷;化簡(jiǎn)方程

一、問(wèn)題背景

在一次教師研討會(huì)上，一位教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師提出了一個(gè)讓大家都疑惑的問(wèn)題。

問(wèn)題：試判斷下面三個(gè)方程是否為一元一次方程。

（1） 2x+y=x+y+3;

（2） x2+2x+3 =X2+X;

（3） x+1/x=2x+1/x+3。

問(wèn)題一拋出，立刻引起了廣泛討論，經(jīng)過(guò)激烈的爭(zhēng)辯，大家最終沒(méi)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，主要呈現(xiàn)以下幾種答案。

第一種答案：這三個(gè)方程是一元一次方程，理由是經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，上面三個(gè)方程都是只含有一個(gè)未知數(shù)x的一元一次方程。

第二種答案：上面三個(gè)方程都不是一元一次方程，理由是不符合一元一次方程的定義。

第三種答案：第（1）個(gè)方程和第（3）個(gè)方程不是一元一次方程，第（2）個(gè)方程是一元一次方程。理由是：第（1）個(gè)方程有二元，第（3）個(gè)方程有分式，而一元一次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式。第（2）個(gè)方程是一元一次方程，因?yàn)橛蟹N題型，若（a-1）x2+x+3=0是一元一次方程，求a的值？而第（2）個(gè)方程正好同此題，所以可以判斷第（2）個(gè)方程是一元一次方程。

其實(shí)，此問(wèn)題的最終困境就是判斷一元一次方程到底要不要化成最簡(jiǎn)形式？筆者翻閱各種版本的教材，都沒(méi)有明確說(shuō)明判斷一元一次方程要不要化簡(jiǎn)。

二、判斷一元一次方程的思考

1.從一元一次方程概念思考

從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）來(lái)看，以前已經(jīng)有關(guān)于簡(jiǎn)單方程的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)對(duì)方程有了初步的認(rèn)識(shí)，會(huì)用方程表示簡(jiǎn)單情境中的數(shù)量關(guān)系，會(huì)解簡(jiǎn)單的方程，實(shí)際問(wèn)題是引入方程概念的有力工具，一元一次方程的定義引出亦然。

定義1：方程中只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程。

從定義中無(wú)法知曉、判斷一個(gè)方程是否需要化成最簡(jiǎn)形式，各種版本的教材和《標(biāo)準(zhǔn)》都沒(méi)有給出明確的答案，若教材對(duì)定義沒(méi)有給出其他解釋補(bǔ)充或沒(méi)有給出相關(guān)例題來(lái)闡述，筆者認(rèn)為從定義上去分析解題是可行的。既然教材沒(méi)有說(shuō)明，筆者認(rèn)為就不能通過(guò)化簡(jiǎn)方程來(lái)判斷一個(gè)方程是否是一元一次方程。

2.從一元一次方程產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)意義思考

在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)其中的未知數(shù)不是孤立的，它們與一些已知數(shù)之間有確定的聯(lián)系，此種聯(lián)系常常表現(xiàn)為一定的相等關(guān)系，把此種關(guān)系用數(shù)學(xué)形式寫(xiě)出來(lái)就是含有未知數(shù)的等式。下面，筆者以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題來(lái)說(shuō)清楚未知數(shù)不是孤立的。

例1 一艘大輪船沿江以最大航速順流航行2小時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，一艘小輪船沿江以最大航速順流航行2小時(shí)后距離終點(diǎn)4 km，求小船在靜水中最大速度與大船在靜水中最大速度的關(guān)系？

設(shè)大輪船在靜水中的最大航速為x km/h，小輪船在靜水的最大航速為y km/h，水的流速為z km/h。則大輪船航行2小時(shí)的距離為2（x+z） km，小輪船航行2小時(shí)的距離為2（y+z） km，根據(jù)題意，建立等式2（x+z）=2（y+z）+4。①

式子①是一個(gè)三元一次方程，其中每個(gè)未知數(shù)都有它具體表達(dá)的實(shí)際意義。x表示大輪船在靜水中的最大航速，y表示小輪船在靜水中的最大航速，z表示水流的速度，每個(gè)未知數(shù)都不是多余的。但是，化簡(jiǎn)后判斷這個(gè)方程，就變成2x= 2y+4。②或者最簡(jiǎn)形式：x=y+2。③

三個(gè)式子中①式和②③式不是同一個(gè)式子，雖然它們最終結(jié)果都一樣，但是這三個(gè)式子表達(dá)的意思不同。對(duì)方程有關(guān)概念的討論，是建立在運(yùn)用方程解決此種數(shù)學(xué)建模的大背景之下進(jìn)行的，切勿隨意化簡(jiǎn)方程來(lái)討論或定義方程類(lèi)型，此種做法脫離了方程中“元”表示的實(shí)際意義。通過(guò)化簡(jiǎn)去判斷且認(rèn)定一元一次方程的方式不妥當(dāng)，應(yīng)該保持方程的原汁原味來(lái)判斷。

3.從相關(guān)概念類(lèi)比思考

筆者想通過(guò)分式與根式的概念進(jìn)行類(lèi)比，說(shuō)明方程判斷問(wèn)題。教材對(duì)分式的定義如下。

定義2：一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

分式的此種定義方式是從式子形式出發(fā)的，分式定義的含義來(lái)源于生活實(shí)際背景的問(wèn)題，它不是脫離實(shí)際產(chǎn)生的，而是反映現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的一種模型。

例2 判斷（x2-9）/（x+3）是不是分式？

這里大家都能判斷出上式是分式，筆者之所以將這個(gè)問(wèn)題安排在此處，不難發(fā)現(xiàn)題中的分式是可以通過(guò)約分化簡(jiǎn)的，即（x2-9）/（x+3）=（x+3）（x-3）/（x+3）=x-3如果我們化簡(jiǎn)后去判斷原式是否是分式，答案就不一樣了，顯然x-3是一個(gè)整式。但是，根據(jù)分式的定義，它確實(shí)是一個(gè)分式，即便（x2-9）/（x+3）可以經(jīng)過(guò)約分化簡(jiǎn)成x-3，但是如果獨(dú)立看這兩個(gè)式子，x的定義域明顯不同，因此不能通過(guò)化簡(jiǎn)去判斷一個(gè)式子是否是分式。

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)惠.五種版本數(shù)學(xué)教材中一元一次方程內(nèi)容的比較[D].上海：華東師范大學(xué)，2007.