摘要：文章以一道正方形為背景的幾何證明題為例，嘗試探究如何挖掘正方形的基本條件來(lái)解決問(wèn)題，以達(dá)到拓寬學(xué)生解題思路的目的。

關(guān)鍵詞：90°角;正方形;一題多解;證明思路

正方形是特殊的平行四邊形，它兼顧了矩形和菱形的性質(zhì)。正是由于它本身有很多特殊的性質(zhì)，不少幾何題目都將正方形作為題目背景。要想順利解決此類(lèi)問(wèn)題，就必須要把握好正方形的已有性質(zhì)和題目關(guān)鍵條件兩個(gè)方面。下面，筆者就從一道90°角結(jié)合正方形的題目出發(fā)，探究此類(lèi)題目的常規(guī)解題思路。

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，在正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，現(xiàn)有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，直角頂點(diǎn)P在射線AC上移動(dòng)，另一邊交DC于點(diǎn)Q。當(dāng)點(diǎn)Q在DC邊上時(shí)，猜想并寫(xiě)出 PB與PQ所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明。

此題是一道以正方形為背景的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，不難猜想肯定滿(mǎn)足PB= PQ。既然始終是在正方形這個(gè)模型下，就需要從正方形人手找出其中一些有用的條件，也就是所謂的動(dòng)中取靜。動(dòng)態(tài)問(wèn)題中不變的條件起到關(guān)鍵作用，這往往也是問(wèn)題解決的突破口。

二、解法分析

此題中直角頂點(diǎn)的擺放位置不是隨意的，始終在正方形對(duì)角線AC所在的直線上，因此利用好AC的性質(zhì)就是此題的突破口。

1.既是對(duì)角線，又是角平分線

AC既是正方形的對(duì)角線，又是∠DAB和∠DCB兩個(gè)直角的角平分線。既然是角平分線，學(xué)生馬上就會(huì)聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)P構(gòu)造兩條垂線段進(jìn)行證明。

從另外一個(gè)視角看這個(gè)動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的不變量，雖然∠QPB的位置在不斷變化，但是角度始終為90°。這也是變化中的重要不變量，根據(jù)這個(gè)重要條件可以得到新的解法。

2.構(gòu)造旋轉(zhuǎn)、全等解決問(wèn)題

3.四點(diǎn)共圓解決問(wèn)題

三、回顧反思

解答完此題后，我們有必要思考并總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)。

首先，這是一道動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題不變結(jié)論的證明問(wèn)題。要想解決此類(lèi)問(wèn)題，往往要從動(dòng)態(tài)變化中的不變量人手，不同的角度產(chǎn)生了不同的證明思路。證法1的角度是點(diǎn)P始終在角平分線上，證法2的角度是點(diǎn)P始終在對(duì)稱(chēng)軸上。另外，此題以正方形為背景，也是提供了這樣不變量的基礎(chǔ)，即AC既是角平分線，又是對(duì)稱(chēng)軸，出現(xiàn)了45°和90°這樣的特殊角。

其次，在解決初中幾何問(wèn)題時(shí)，模型思想也非常重要，以上多個(gè)變式其實(shí)都有一個(gè)基本模型——四點(diǎn)共圓模型，往往一個(gè)模型的解題方法都是可以借鑒的。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉思武.當(dāng)45°角邂逅正方形：從一道小題到母題的探尋過(guò)程[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2017 （12）.