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        幾何體的外接球問題

        2018-12-28 06:27:20吳清清
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年4期
        關(guān)鍵詞:球心組合體接球

        吳清清

        今年是福建省使用全國卷的第三年,綜合這幾年的全國卷與福建卷的對(duì)比來看,還是有些差異的.其中立體幾何在全國卷中比較穩(wěn)定,基本是“兩小一大”,一道大題基本是考查平行垂直空間角,一般第一步用傳統(tǒng)解法,第二步用空間向量解法.小題一般有關(guān)三視圖、組合體問題等.其中球與其他組合體的接切問題是全國卷與之前福建卷的一大區(qū)別,之前福建卷基本沒有相關(guān)問題,而全國卷側(cè)重考查.為了與高考接軌,在每年福建省九地市的模擬卷的都出現(xiàn)了球的接切問題,這類問題主要考查學(xué)生作圖直觀想象的能力,但是這類題型學(xué)生得分率往往都不高.下面就幾何體的外接球問題進(jìn)行分類歸納,總結(jié)共性,提供通解通法.

        1模型法

        總結(jié) 能夠放在長方體模型中的幾何體比較常見的有:①共頂點(diǎn)的三棱互相垂直及其等價(jià)情況;②面對(duì)角線構(gòu)成的三棱錐,實(shí)際上組合體的頂點(diǎn)只要能夠看成長方體中不在同一平面上的頂點(diǎn)組合,則組合體的外接球問題就可以聯(lián)想長方體模型.

        2直接法

        直接找外接球球心位置在空間多面體作過各面外心的面的垂線上.

        分析 直接分別過面MNCB、面AMN的外心作垂線交點(diǎn)即球心.

        分析 把該三棱錐補(bǔ)成正三棱柱,球心在過正三棱柱底面中心的垂線上,再列方程求解確定.

        總結(jié) 一般多面體的外接球關(guān)鍵在于找球心,球心通過兩條垂線相交確定,或一條垂線再結(jié)合球心的頂點(diǎn)距離相等,利用勾股定理列方程求解.

        3空間向量法

        自從高二學(xué)習(xí)了空間向量法解決立體幾何問題后,大部分學(xué)生該題的得分率明顯提高,從對(duì)直觀想象能力要求高轉(zhuǎn)化為建立空間直角坐標(biāo)系后對(duì)運(yùn)算能力要求高,學(xué)生還是比較擅長后者.對(duì)外接球問題沒有思路時(shí)可以考慮用空間向量法.

        總結(jié)空間直角坐標(biāo)系的出現(xiàn)降低了對(duì)學(xué)生空間想象能力的要求,解開了對(duì)一些學(xué)生來說看著圖形不知所云的局面,對(duì)大部分學(xué)生來說都可以入手,不過對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力的要求大大提高,同時(shí)對(duì)整張?jiān)嚲韥碚f解題速度也要求提高.在運(yùn)算能力不出現(xiàn)錯(cuò)誤和時(shí)間夠的情況下,用向量法解題大大提高了此類題目的得分率.

        立體幾何問題本來就是學(xué)生比較怕的一大問題,而幾何體的外接球問題又涉及到組合體問題,對(duì)直觀想象的能力要求更高.通過用熟悉的長方體模型,提供一般的通解通法給學(xué)生解題思路,結(jié)合空間向量的應(yīng)用彌補(bǔ)直觀想象能力的不足,對(duì)參加2018年高考的考生應(yīng)有所幫助.

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