周琴

【摘要】本文探討了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在線性代數(shù)課程中的應(yīng)用，以逆矩陣為例設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，實(shí)驗(yàn)要求利用MATLAB軟件按照兩種方法計(jì)算逆矩陣，并利用hill密碼原理破譯密文.文中給出了實(shí)驗(yàn)步驟，該實(shí)驗(yàn)有利于學(xué)生更深入地掌握理論方法及理解逆矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】逆矩陣MATLAB；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

【基金項(xiàng)目】2017年湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在地方本科院校非數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)中的應(yīng)用研究”.

一、引言

線性代數(shù)是針對大部分高校專業(yè)學(xué)生開設(shè)的一門數(shù)學(xué)公共類課程，它主要包括行列式、矩陣、線性方程組及相關(guān)運(yùn)算等內(nèi)容.許多學(xué)生認(rèn)為該課程比較抽象，計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)容易出錯.為此，我們考慮將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入線性代數(shù)教學(xué)中，通過學(xué)生自己動手來探索數(shù)學(xué)規(guī)律，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度，有助于學(xué)生更深入地理解和鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)概念和原理.

二、逆矩陣實(shí)驗(yàn)案例

逆矩陣的計(jì)算是線性代數(shù)課程的一個重要內(nèi)容，在求解某些線性方程組時(shí)也可利用逆矩陣進(jìn)行運(yùn)算.但因其計(jì)算步驟復(fù)雜，計(jì)算量大，學(xué)生在筆算時(shí)正確率較低.因此，我們以逆矩陣為例設(shè)計(jì)了相關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，要求學(xué)生在MATLAB軟件下完成該實(shí)驗(yàn)，旨在幫助學(xué)生熟練掌握計(jì)算逆矩陣A-1的兩種基本方法，并理解逆矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用.

實(shí)驗(yàn)要求：設(shè)A=1-32-30111-1，完成以下內(nèi)容：（1）判斷矩陣A是否可逆；（2）利用公式A-1=1|A|A*，求A-1；（3）利用矩陣的初等行變換求A-1；（4）設(shè)A為密鑰矩陣，根據(jù)hill密碼原理將密文gqanhs解密成明文.

關(guān)于矩陣A的可逆性判斷，我們可以用命令det（A）計(jì)算A的行列式，若行列式不為0，則可判斷A可逆.關(guān)于逆矩陣的計(jì)算，MATLAB中可直接用命令inv（A）來實(shí)現(xiàn)，但若用現(xiàn)成的命令來做實(shí)驗(yàn)，其最大作用是輔助學(xué)生判斷筆算結(jié)果是否正確，并不利于學(xué)生掌握理論方法.因此，實(shí)驗(yàn)要求中（2）和（3）要求用理論方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

利用公式A-1=1|A|A*，A*=（Aij）T，Aij=（-1）i+jMij（Mij為A的元素aij的余子式）筆算逆矩陣時(shí)，學(xué)生容易出現(xiàn)幾個誤區(qū)：一是計(jì)算代數(shù)余子式Aij時(shí)忘記乘符號（-1）i+j，二是計(jì)算伴隨矩陣A*時(shí)沒有將Aij轉(zhuǎn)置，三是部分學(xué)生用|A|A*來計(jì)算A-1.如果學(xué)生平時(shí)筆算時(shí)易犯這些錯誤，在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)也會出現(xiàn)相應(yīng)的錯誤.這時(shí)我們可將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與MATLAB自帶的函數(shù)執(zhí)行結(jié)果做對比來發(fā)現(xiàn)錯誤.比如，將實(shí)驗(yàn)過程中產(chǎn)生的A*結(jié)果與執(zhí)行命令det（A）*inv（A）的結(jié)果對比，最后產(chǎn)生的A-1的結(jié)果與執(zhí)行命令inv（A）的結(jié)果對比.通過該實(shí)驗(yàn)?zāi)軓?qiáng)化學(xué)生對計(jì)算步驟中每個細(xì)節(jié)的掌握，從而減少筆算的錯誤.實(shí)現(xiàn)此過程的代碼如下：

A=[1-3 2；-3 0 1；1 1-1]；

fori=1：3

for j=1：3

C=A；

C（：，[i]）=[]；%刪除i行

C（[j]，：）=[]；%刪除j列

A1（i，j）=（-1）^（i+j）*det（C）；

end

end

Astar=A1′%A*

invA=Astar′/det（A）%逆

初等行變換方法利用（A|E）→（E|A-1）計(jì)算逆矩陣.在生成矩陣AE=（A|E）后，直接用命令rref（AE）可得到（E|A-1）的形式，從而求出逆.為了強(qiáng)化學(xué)生對計(jì)算步驟的掌握，實(shí)驗(yàn)過程要求學(xué)生按筆算步驟編程.以下代碼的作用是將矩陣AE中元素按AE21，AE31，AE32，AE12，AE13，AE23的順序逐一化0，再將AE22，AE33元素化1，從而將AE化為（E|A-1）的形式，最后取其4至6列即A-1.實(shí)現(xiàn)此過程的代碼如下：

A=[1-3 2；-3 0 1；1 1-1]；

E=eye（3，3）；

AE（：，1：3）=A；

AE（：，4：6）=E；

EA=rref（AE）

AE（2，：）=AE（2，：）-AE（1，：）*AE（2，1）/AE（1，1）；

AE（3，：）=AE（3，：）-AE（1，：）*AE（3，1）/AE（1，1）；

AE（3，：）=AE（3，：）-AE（2，：）*AE（3，2）/AE（2，2）；

AE（1，：）=AE（1，：）-AE（2，：）*AE（1，2）/AE（2，2）；

AE（1，：）=AE（1，：）-AE（3，：）*AE（1，3）/AE（3，3）；

AE（2，：）=AE（2，：）-AE（3，：）*AE（2，3）/AE（3，3）；

AE（2，：）=AE（2，：）/AE（2，2）；

AE（3，：）=AE（3，：）/AE（3，3）；

invA=AE（：，4：6）

若去除代碼中每行結(jié)尾分號再運(yùn)行即可在MATLAB命令行窗口顯示每步的結(jié)果.

該結(jié)果也可與命令rref（AE）的結(jié)果對比判斷正確與否.此代碼便于學(xué)生判斷筆算時(shí)每一步是否正確，若需計(jì)算四階及四階以上矩陣的逆可仿此進(jìn)行.以上兩段代碼執(zhí)行后在MATLAB命令行窗口將得到結(jié)果A-1=113237349.

實(shí)驗(yàn)要求（4）中，希爾密碼的基本思想是：將英文字母a—z用模26的數(shù)字1—26代替，26即0，對于密鑰矩陣An×n，將英文明文對應(yīng)數(shù)字構(gòu)造相應(yīng)的行數(shù)為n的矩陣X，令Y=AX，將Y中數(shù)字轉(zhuǎn)變?yōu)樽帜?，即相?yīng)的密文.若已知密文求明文，利用X=A-1Y即可.已知密鑰矩陣為3階方陣，即n=3，密文gqanhs，對應(yīng)為矩陣即Y=714178119，利用MATLAB語句Y=[7 14；17 8；1 19]；X=inv（A）*Y即可輸出X=27729879185245，再利用語句mod（X，26）將X的元素在模26下轉(zhuǎn)化為0—26之間的數(shù)字即X=120201311，再將數(shù)字對應(yīng)字母得到明文attack.該實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的設(shè)置將抽象的知識點(diǎn)與實(shí)際問題聯(lián)系起來，有利于學(xué)生了解逆矩陣在實(shí)際中的應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

綜上所述，借助MATLAB軟件我們完成了逆矩陣相關(guān)的實(shí)驗(yàn)，包括逆矩陣的兩種計(jì)算方法及其在密碼學(xué)中的應(yīng)用.線性代數(shù)課程的其他知識點(diǎn)也可設(shè)計(jì)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)案例，幫助學(xué)生更深入地理解和掌握理論方法，在實(shí)驗(yàn)的過程中動手動腦能力也能得到提升.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李建平，全志勇.線性代數(shù)（修訂版）[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2009.

[2]劉衛(wèi)國.MATLAB程序設(shè)計(jì)教程：第2版[M].北京：中國水利水電出版社，2010.