俞潔文

日常教學中很多問題被膚淺地一帶而過，靜下來思考往往會有意想不到的收獲.人教版六下P91頁練習十八第18題是一道星號題，“用一根長24厘米的鐵絲圍一個長方體（或正方體）框架.在這個長方體的表面糊一層紙，怎樣圍用紙最多？”.翻閱教師教學用書關于此題有如下分析：讓學生通過嘗試驗證，發(fā)現(xiàn)長方體棱長總和一定的情況下，長、寬、高越接近，即越接近正方體，它的體積越大，表面積越大.當長、寬、高分別為2 cm，2 cm，2 cm，圍成正方體時，表面積最大.教學建議：可讓學生假設具體值并計算，比較，體會這一規(guī)律.

一、嘗試列表比較，體會規(guī)律

分析題中條件，求出長方體的一組長、寬、高之和：24÷4=6（cm）.按照教師用書要求，假設具體值列表解決應該不是難事.

如上表，觀察數(shù)據(jù)猜測得出結(jié)論，當長、寬、高分別為2 cm，2 cm，2 cm，圍成正方體時，表面積最大.根據(jù)上述數(shù)據(jù)的某種屬性，推理得出結(jié)論，至此，這個問題是圓滿地解決了嗎？伴隨這個問題的深入研究會產(chǎn)生哪些有意義的思考？

二、化“立體”為“平面”數(shù)形結(jié)合

（一）化“立體”為“平面”

將長方體展開為6個長方形的面，6個面中相對的面相等，假設長、寬、高分別用字母a，b，h表示，只要確保三個面ab+ah+bh之和最大即可.知道長寬高的總和，怎樣確保三個面之和最大？回到問題原點，已知長方形長與寬的和，長和寬分別是多少時面積最大？這是三年級討論過的問題.

假設一長方形周長12厘米，長寬之和12÷2=6（厘米）如下表：

通過上表得出結(jié)論，長方形長與寬的和一定，當長和寬相等時，長方形面積最大.這一結(jié)論將在“解決三個面ab+ah+bh之和最大值問題”中奠定基石.

（二）數(shù)形結(jié)合顯神通

將問題轉(zhuǎn)化成“求三個面ab+ah+bh之和最大”，始終確保三個面中a與b相等形成正方形，然后調(diào)整h的大小，尋找最大表面積.

已知一組長、寬、高之和為6，確定h是1，則a與b的和是5，根據(jù)上述結(jié)論當a=b=2.5時，長方體的上、下面為正方形，面積最大，此時表面積為22.5.如①號圖形所示.

以上，首先將長方體轉(zhuǎn)化為展開的六個長方形平面，再將問題轉(zhuǎn)化為探究相交于同一頂點的三個面大小.始終固定三個面中一個面為正方形，調(diào)整高度，通過數(shù)形結(jié)合得出了結(jié)論.即：長方體棱長總和一定的情況下，長、寬、高越接近，即越接近正方體，它的體積越大，表面積越大.

比起讓學生列舉長、寬、高具體數(shù)值，求出表面積加以比較，化“立體”為“平面”，圍繞著某個需探討的主題，通過數(shù)形結(jié)合對特例分析和解釋，揭示一般性規(guī)律，從中得出一個普遍性的結(jié)論，數(shù)形結(jié)合充實和完善結(jié)論，在思維程度上做了一定的拓展，培養(yǎng)了學生的思維能力.

三、數(shù)形結(jié)合“調(diào)整逼近”，尋找最大表面積

給出幾個具體的、特殊的數(shù)、式或圖形，要求找出其中的變化規(guī)律，從而猜想出一般性的結(jié)論，解題的思路是特殊向一般的轉(zhuǎn)化.除了上面的列表，化“立體”為“平面”，不計算能找到最大表面積嗎？采用調(diào)整中的調(diào)整逼近會怎么樣呢？

觀察上表：通過調(diào)整，長寬高越來越接近，表面積越來越大.可以想象，繼續(xù)調(diào)整下去，當長寬高相等時，不能再調(diào)整，此時表面積最大.結(jié)論：長方體的棱長總和一定，當長寬高相等時，圍成的正方體的表面積最大.數(shù)形結(jié)合“調(diào)整逼近”將計算遠遠拋于身后，同樣尋找最大表面積.

原本看似普通的問題，可以假設數(shù)值列表解決，長寬高三個數(shù)據(jù)均發(fā)生變化，比較重探究問題，可以轉(zhuǎn)化為三個面，確定其中一個面為正方形，即長等于寬，調(diào)整高獲得結(jié)論;可以調(diào)整逼近不計算解決問題.在這三個層次的活動中，緊緊抓住長寬高總和一定、抓住“長方形長與寬的和一定，當長和寬相等時，長方形面積最大”這兩個核心要素.三種不同的思路反映不斷提升的思維方式.

善于深入思考，挖掘普通問題的深刻內(nèi)涵，讓普通變得不普通，用心與孩子們一同學習小學數(shù)學總是會有美妙的享受.