董建勛 劉君

“數缺形時少知覺，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休.”這是著名數學家華羅庚先生對數形結合的重要性和必要性的形象概括.相對于其他學科而言，數學教學模式始終都是較為單一、枯燥的.面對具有難度的數學題，學生更是覺得難以理解，以至于失去對數學的興趣.善于運用數形結合的數學思想就可以彌補數學教學中這一短板，尤其是在解題上，將問題化抽象為具體，將復雜問題簡單化.

一、學生學習“行程問題”的現狀

在初中數學的學習過程中，普遍學生對于用方程思想解決實際應用問題——行程問題總是困惑不解，無論是在一元一次方程，還是在二元一次方程板塊中，學生往往題設讀了好多遍，都不知道從什么地方入手，或者平時背下來的行程問題方面的公式不清楚該怎么用或者用哪一個.教師講習題時能夠聽得懂，但是一旦拿過來新的練習題又不知道該怎么做.對于剛剛升入初中的七年級學生而言，一到行程問題就特別頭疼，甚至放棄，以至于學習二元一次方程時，仍然覺得行程問題是個難點.

面對這樣的現象，注重培養(yǎng)學生數形結合的數學思想，巧妙地把文字表述轉換成圖形描述，讓學生直觀具體地感受題目就尤為重要了.

二、數形結合思想在行程問題中的應用分析

數形結合中的“數”是指抽象的數或式，“形”是指具體的圖形或圖像.針對初中階段學生的學習特點和心理特點，在具體的教學中，我們應該首先引導學生學會觀察、分析問題，體會將抽象問題具體化的過程，從而內化為學生較強的分析、解決問題的能力.接下來我將以一元一次方程為例去闡述數學結合思想在行程問題中的應用分析.

我們先從最基礎的行程問題去引導學生如何操作.

例1A，B兩地相距480 km，一列慢車從A地開出，每小時行駛60 km，一列快車從B地開出，每小時行駛65 km，兩車同時開出.

（1）若相向而行，x小時后相遇，則可列方程為;

（2）若相背而行，x小時后兩車相距640 km，則可列方程為;

（3）同向而行，快車在慢車后，x小時后快車追上慢車，則可列方程為;

（4）同向而行，慢車在快車后，x小時后兩車相距640 km，則可列方程為.

第（1）問中，我們應重在引導學生如何邊讀題，邊把題設中的已知條件轉化到圖形中去，如下圖.我們都知道中學方程這一板塊中，重在分析題設中的等量關系，引導學生觀察所畫的圖形，在圖形中去分析等量關系.根據圖形可以清楚地判斷出慢車和快車的行駛路程，而這兩部分的和正好是A，B兩地相距的480 km，即S慢+S快=480 km.（1）問中已經幫我們設好了未知數x，這樣我們就可以列出方程：60x+65x=480.

第（2）問中，我們可以先讓學生自己試著運用數形結合的思想去解決問題，然后再演示操作的過程，加深學生的印象.相比第（3）問，運動方向發(fā)生了改變，這也是在行程問題中圖形化時需要注意的地方.如圖所示，可以分析出等量關系是慢車行駛的路程、快車行駛的路程和A，B兩地距離組成最后相距640 km，即S慢+480 km+S快=640 km.x h后兩車相距640 km，則可列方程為：60x+65x+480=640.

第（3）問中，在我們把A，B兩地相距480 km，慢車和快車出發(fā)時位置以及速度圖形畫出之后，開始引導學生分析運動方向，可以通過設置問題讓學生主動思考，由學生回答出根據題設中的同向而行，快車在慢車后可以得出兩車向左邊行駛.確定好運動方向之后，可以小組討論找出等量關系并列出方程.討論之后，我們可以按步驟帶領學生再在黑板上演示一遍這道題目，共同找等量關系S慢+480 km=S快，列出方程60x+480=65x.

第（4）問，可以由學生自己獨立完成，同時讓3～4名同學到黑板前演示.

接下來我們可以設置一些類似于例1的題目由學生完成，鞏固數形結合思想在行程問題中的運用，體會這種數學思想中的等價轉換、數形互補.

三、重視方法，提高應用能力

數形結合的精髓就在于“以數解形”“以形助數”，從而由抽象思維轉化為形象思維，通過直觀地分析獲得對數學本質的認識與理解.我們在數學教學過程中，應注重對學生方法的培養(yǎng)，也就是我們通常所說的“數學思想”，只有掌握了方法，才能真正做到以不變應萬變.學習掌握和靈活運用這些數學思想對學生的解題能力和潛力有重大意義.我們還要在有效的訓練中培養(yǎng)學生數中思形的意識，能夠準確地構造出圖形，找到數與形的契合點.反過來，我們也要培養(yǎng)學生學會形中覓數，善于觀察圖形，獲得圖中蘊含的代數關系.

在解決實際應用問題中，如果能夠幫助學生初步建立起數形結合的思維，對今后初、高中學習函數圖像，函數性質以及優(yōu)化問題都有很大的幫助.

授人以魚不如授人以漁，數學的巧妙在于解決問題方法的巧妙.最終使學生通過數學學習，既提高了解決數學問題的能力，也在思維上得到了發(fā)展.