王淑鳳

【摘要】含參數(shù)的方程、不等式的問(wèn)題是歷年高考?？嫉念}型，由于含有參數(shù)對(duì)很多同學(xué)來(lái)說(shuō)感到困難重重，一重困難是選擇什么樣的解題方法（如2012年山東卷第12題），二重困難是含參數(shù)問(wèn)題涉及的分類討論（如2017年全國(guó)卷Ⅰ第21題），根據(jù)我多年的研究發(fā)現(xiàn)，（1）這類題目解題方法有規(guī)可循，基本方法有：分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，不分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，半分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，總之，如何構(gòu)建函數(shù)是解題的關(guān)鍵.（2）很多求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，其實(shí)有時(shí)可以避開(kāi)分類討論這個(gè)陷阱.本文就結(jié)合實(shí)例談?wù)勥@類問(wèn)題的求解策略.

【關(guān)鍵詞】含參數(shù)的方程;不等式;解題策略

一、分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)

若方程或不等式中的參數(shù)容易分離出來(lái)，即參數(shù)分離在方程或不等式的一邊，另一邊是關(guān)于自變量的函數(shù)，分離后的函數(shù)不復(fù)雜，容易求出導(dǎo)函數(shù)，容易研究函數(shù)的性質(zhì)，就選擇分離參數(shù)法構(gòu)建函數(shù).

例1（2017年全國(guó)Ⅰ第21題）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

分析f（x）=ae2x+（a-2）ex-x有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程ae2x+（a-2）ex-x=0有兩個(gè)根.

先分離參數(shù)a=2ex+xe2x+ex，令g（x）=2ex+xe2x+ex，g′（x）=（-ex+1-x）（2ex+1）ex（ex+1）2.設(shè)h（x）=-ex-x+1，則h（x）遞減，h（0）=0，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)h（x）>0，∴g′（x）>0，∴g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）<0，∴g′（x）<0，∴g（x）單調(diào)遞減，所以當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→0，當(dāng)x→-∞時(shí)，g（x）→-∞，

如圖所示，∴0<a<1.

評(píng)析查閱高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，看出對(duì)參數(shù)a>0共分了三種情況討論：a=1，a>1，0<a<1，其中0<a<1時(shí)，要用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，找區(qū)間端點(diǎn)時(shí)非常困難，絕大多數(shù)學(xué)生完成不了.但用分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)的方法可避免了分類討論，通過(guò)研究函數(shù)g（x）=2ex+xe2x+ex的單調(diào)性、最值，畫(huà)出y=g（x）的圖像，數(shù)形結(jié)合的思想方法研究參數(shù)a的取值范圍，化難為易，是一個(gè)拍手稱快的好方法.

二、不分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)

若方程或不等式中參數(shù)不容易分離出來(lái)，但方程或不等式左右兩邊的函數(shù)容易求出導(dǎo)函數(shù)，容易研究函數(shù)的性質(zhì)，此時(shí)方程或不等式兩邊的函數(shù)作差構(gòu)建函數(shù)，這就是不分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù).

例2（2015年山東理21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

分析f′（x）=1x+1+a（2x-1）=2ax2+ax+1-ax+1（x>0）.

設(shè)g（x）=2ax2+ax+1-a（x>0）.因?yàn)閤+1>1，所以由f′（x）≥0恒成立得g（x）=2ax2+ax+1-a≥0恒成立，當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=1≥0恒成立，當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閥=g（x）的對(duì)稱軸x=-14，所以g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù).

只需滿足g（0）=1-a≥0，所以0<a≤1.當(dāng)0≤a≤1時(shí)g（x）≥0，即f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，由f（0）=0，所以f（x）>f（0）=0（x>0）.

當(dāng)a>1時(shí)，f′（0）=1-a<0，所以x∈（0，x0），使f′（x）<0，所以f（x）在（0，x0）上為減函數(shù)，所以f（x0）<f（0）=0與f（x）≥0恒成立矛盾.

若a<0時(shí)，f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）<x+ax2-ax=axx-a-1a.因?yàn)閍x<0，所以當(dāng)x>a-1a時(shí)，axx-a-1a<0，所以f（x）<0與f（x）≥0恒成立矛盾，綜上陳述，0≤a≤1.

評(píng)析因?yàn)閤>0，x2-x>0不恒成立，x2-x<0不恒成立，所以從f（x）≥0不等式中分離出a很煩瑣，因此，不宜選擇分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，但f（x）的導(dǎo)函數(shù)容易求出來(lái)，所以用不分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)法.但必須分類討論，作業(yè)批改發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生只能做到a≤1，對(duì)于a<0時(shí)，要么由于二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)，忽略它的討論;要么由于運(yùn)算變換的能力達(dá)不到要求的水平，只好望而卻步.

含參數(shù)的方程、不等式問(wèn)題解題策略大致有三個(gè)方向;第一，分離參數(shù)后，研究不含參數(shù)的函數(shù)的性質(zhì);第二，方程或不等式兩邊的函數(shù)作差構(gòu)建函數(shù)來(lái)研究;第三，先方程或不等式兩邊變形，使方程或不等式的一邊不含參數(shù)另一邊含參數(shù)，再方程或不等式兩邊的函數(shù)作差構(gòu)建函數(shù)來(lái)研究，或研究方程、不等式兩邊的函數(shù)的性質(zhì)（如本文中例3），無(wú)論哪種方向，其核心思想還是等價(jià)變換，抓住了這一點(diǎn)，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變.當(dāng)然這需要我們?nèi)ヮI(lǐng)悟、體會(huì)、總結(jié).

【參考文獻(xiàn)】

[1]張啟凡.含參不等式的解題策略與方法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊：中教版，2000（3）：43-44.