蔡 瑾

(江蘇省蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院 215411)

微分形式的不變性以及微分的中值定理作為現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)微分知識(shí)中最為基礎(chǔ)也是最為關(guān)鍵的一個(gè)定理，其微分中值定理以理論基礎(chǔ)的方式進(jìn)行成為了整個(gè)微分學(xué)的核心理論.因此，此次研究主要從數(shù)學(xué)分析的角度來了解全微分形式不變性以及微分中值定理，并給出了具體的推廣形式.

一、向量函數(shù)及微分中值不等式的相關(guān)概述

1.向量函數(shù)

由于一元函數(shù)主要指的是由一個(gè)定義域到值域的一個(gè)映射，其中的定義域和值域均屬于同一維數(shù)集，但所要研究的向量值函數(shù)卻主要指的是分量關(guān)于同一自變量的一元函數(shù)，也就是n元向量的函數(shù)是x到xn上的映射，在此要進(jìn)行取值的是二維以及三維向量值的函數(shù)，也就是當(dāng)n=2或是n=3時(shí)的情況.例如，當(dāng)平面內(nèi)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的過程中，其質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻 的坐標(biāo)(x,y)可以表述為x=f(t),y=g(t),t∈I,在這種情況下的點(diǎn)(x,y)=(f(t),g(t))所形成的平面曲線C，那么這一點(diǎn)便是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，若是參數(shù)方程來進(jìn)行描述，則是：如果用r(t)表示從以往的質(zhì)點(diǎn)到該質(zhì)點(diǎn)的時(shí)刻t，位置P(f(t),g(t))的向量，那么r(t)=OP=(f(t),g(t))=f(t)i+g(t)j,其定義式為r(t)=(f(t),g(t)，h(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k.

2.微分

微分作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)定義，延伸出與之相關(guān)更多的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，微分在數(shù)學(xué)中的定義主要為：當(dāng)函數(shù)B=f(a)時(shí)，得到了A和B的兩個(gè)數(shù)集，在這過程中A中的dx若是逐漸靠近A，那么該函數(shù)在dx處的極限為函數(shù)在dx處的微分，換句話說，微分的中心思想是無窮分割，作為函數(shù)變量中的重要組成部分，微積分的基本概念之一，并主要如圖1所示.

圖1

早在希臘時(shí)期，人們便已經(jīng)開始討論無窮、極限等相關(guān)的問題，作為微分的中心思想，這些討論在目前看來存在一定的漏洞，但卻是開啟微分理論的第一步，特別希臘時(shí)期的阿基米德已經(jīng)懂得采用無窮分割的方式來正確地計(jì)算一些面積，這一做法與現(xiàn)代積分的觀念具有一定的相似性，由此可見在歷史上的積分的概念要早于微分，其主要定義為每，設(shè)函數(shù)y=f(x)在x的鄰域內(nèi)存在定義，且x以及Δx+x在此區(qū)間內(nèi)，若是函數(shù)增量Δy=f(Δx+x)-f(x)可表示為Δy=AΔx+x.而Δx比x的高階無窮小，那么函數(shù)f(x)在x上是可微的.微分概的存在是為了解決直線與曲線的矛盾中所產(chǎn)生的，并在微小的局部可以采用直線去表示近似代替曲線，這種的直接應(yīng)用方式為函數(shù)的線性化，這說明微分在某種程度上來將是就有雙重含義的，微分表示一個(gè)微小的量，且這種微小的量可以將線性函數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果當(dāng)做本來函數(shù)數(shù)值的近似值，作為近似計(jì)算的基本思想，微分方法對(duì)其完整的呈現(xiàn)出來.

3.微分形式不變性

設(shè)函數(shù)為y=f(u)時(shí)，若是u為自變量，那么函數(shù)y=f(u)的微分形式為dy=f′(u)du,若u為中間變量，那么u=g(x),其函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，也就是說，自變量為x，即y=f(g(x)),復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得y′=f′(u),因此，不論u為自變量還是中間變量，均有dy=f′(u)du，這便稱之為微分形式的不變性.

二、微分中值定理

微分中值定理作為一系列中值定理的總稱，是一種研究函數(shù)的重要工具，其主要內(nèi)容是依據(jù)拉格朗日定理為主，更是拉格朗日定理的特殊情況下的推廣，微分中值定理在這過程中更好地反映出導(dǎo)數(shù)的局部性和函數(shù)整體性之間的關(guān)系，并得到了較為廣泛的應(yīng)用.設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，并在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)，上述公式在向量函數(shù)中處于不可導(dǎo)的情況，但卻可以證明微分中值不等式在向量函數(shù)中的成立，通過相關(guān)定理可以得出以下結(jié)論：設(shè)向量函數(shù)r(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，并在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得r(b)-r(a)=r(ξ)(b-a).

證明：設(shè)a=r(b)-r(a),g(x)=a·r(x),x∈(a,b)，由上述公式中可知，實(shí)值函數(shù)g(x)可以滿足上述的條件，且存在ξ∈(a,b)，從而得出：g(b)-g(a)=g(ξ)(b-a)=[a·r(ξ)](b-a),又因?yàn)間(b)-g(a)=a·r(b)-a·r(a)=a·[r(b)-r(a)]=a2,通過上述兩個(gè)公式中可以推導(dǎo)，a2=[a·r(b)](b-a)≤a·r(ξ)(b-a),也就說明r(b)-r(a)=r(ξ)(b-a)=a2=[a·r(b)](b-a)≤a·r(ξ)(b-a)，證畢.

三、向量函數(shù)全微分形式不變性

假設(shè)定理A，D∈Rn為凸開集，f為D→Rn，若f可微，則任意兩點(diǎn)a,b∈D,所以，存在點(diǎn)ξ=a+θ(b-a),0<θ<1,令‖f(b)-f(a)‖≤‖f(ξ)‖‖b-a‖.本文證明了基于向量函數(shù)的微分中值不等式：

定理：假設(shè)函數(shù)f(z)在凸區(qū)域D解析，z1,z2∈D，那么，一定存在ξ=z1+θ(z2-z1),0<θ<1,令‖f(z2)-f(z1)‖≤‖f(ξ)‖‖z2-z1‖.

定理證明：

令f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z1=a+ib,z2=a+h+i(b+k),以上數(shù)字均為實(shí)數(shù)，那么，φ(x,y)為實(shí)值函數(shù)，D內(nèi)可微，根據(jù)函數(shù)微分中值定理，令根據(jù)Schwarz有

φx(a+θh,b+θk)h+θy(a+θh,b+θk)k≤[φx(a+θh,b+θk)]2+[φy(a+θh,b+θk)]2·h2+k2.

經(jīng)運(yùn)算，[φx(a+θh,b+θk)]2+[φy(a+θh,b+θk)]2.

基于Ceuchy-Riemann條件，ξ=aθh+i(b+θk)=z1+θ(z2-z1),

另一方面，φ(a+h,b+k)-φ(a,b)=[u(a+h,b+k)-u(a,b)]2+[v(a+h,b+k)-v(a,b)]2,

于是，|f(z2)-f(z1)|2=|f(z2)-f(z1)|·|f(ξ)|·|h2+k2|,

即：|f(z2)-f(z1)|≤|f(ξ)||z2-z1|.

綜上所述，微分形式的不變性以及微分的中值定理作為現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)微分知識(shí)中最為基礎(chǔ)也是最為關(guān)鍵的一個(gè)定理，其微分中值定理以理論基礎(chǔ)的方式進(jìn)行成為了整個(gè)微分學(xué)的核心理論.與此同時(shí)，向量函數(shù)及相關(guān)的分析性質(zhì)更是進(jìn)行幾何學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)和前提，主要是因?yàn)橄蛄亢瘮?shù)的分析性以及空間幾何解析幾何之間的重要關(guān)系，特別是近年來隨著科技的發(fā)展和時(shí)代的進(jìn)步，微分幾何這種古老但卻具有一定先進(jìn)性和引導(dǎo)性的學(xué)科更是逐漸顯露出其生命力以及重要的理論研究價(jià)值.