甘志國

(北京市豐臺(tái)二中 100071)

一、判定定理

眾所周知，滿足“邊邊角”條件(有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等)的兩個(gè)三角形不一定全等，但有以下結(jié)論成立：

定理 有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等，且這兩邊中另一邊的對(duì)角之和不為平角的兩個(gè)三角形全等(簡記為“SSA，B+B′≠180°”).

已知：如圖1所示，在△ABC與△A′B′C′中，AB=A′B′,BC=B′C′,∠C=∠C′,∠A+∠A′≠180°.

求證：△ABC≌△A′B′C′.

證明 由正弦定理，可得

再由題設(shè)，可得sinA=sinA′，所以∠A=∠A′或∠A+∠A′=180°.

再由題設(shè)∠A+∠A′≠180°，可得∠A=∠A′.

進(jìn)而可得△ABC≌△A′B′C′(AAS).

推論 有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不全等的充要條件是這兩邊中另一邊的對(duì)角之和為平角且另一邊的對(duì)角不全為直角.

推論的意義即：如圖1所示，在△ABC與△A′B′C′中，若AB=A′B′,BC=B′C′,∠C=∠C′，則△ABC與△A′B′C′不全等的充要條件是∠A+∠A′=180°且∠A≠90°.

二、判定定理的應(yīng)用

題1 求證：等腰三角形的判定定理(等角對(duì)等邊).

已知：在△ABC中，∠B=∠C.求證：AB=AC.

證法1 如圖2所示，作∠BAC的平分線AD交BC于D.

可得△ABD≌△ACD，所以AB=AC.

證法2 如圖2所示，作AD⊥BC于D，可得△ABD≌△ACD，所以AB=AC.

證法3 如圖2所示，設(shè)邊BC的中點(diǎn)是D，連結(jié)AD.

由定理可得△ABD≌△ACD，所以AB=AC.

證法4 如圖2所示，作AD⊥BC于D，由∠B=∠C,得∠BAD=∠CAD.可得△ABC≌△ACB(ASA)，所以AB=AC.

題2 已知：如圖3所示，AD是△ABC的角平分線也是中線. 求證：AB=AC.

證明 由∠B+∠C<180°及定理，可得△ABD≌△ACD，所以AB=AC.

注 可證“兩線合一推等腰”，但較難的是題2的結(jié)論.

題3 已知：如圖4所示，點(diǎn)D,E均在△ABC的邊BC上，AB=AC,AD=AE.求證：BD=CE.

證明 在△ABC中，由AB=AC，可得∠B=∠C.

由∠1+∠2<180°，可得∠3+∠4>180°.

再由定理可得△ABD≌△ACE，所以BD=CE.

題4 已知：如圖5所示，AB=AC，△ABC的兩條中線BD,CE交于點(diǎn)O.求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.

證明 可得△ABD≌△ACE，所以∠1=∠2.

又由∠BOC<180°，可得∠AOB+∠AOC=360°-∠BOC>180°.

再由定理可得△AOB≌△AOC，進(jìn)而可得點(diǎn)O在∠BAC的平分線上.

三、一道反例的構(gòu)造

題5 求作一個(gè)凸四邊形，使其有一組對(duì)邊相等且有一組對(duì)角相等，但這個(gè)凸四邊形不是平行四邊形.

分析 如圖6所示，要求凸四邊形ABCD不是平行四邊形，就是要求滿足“邊邊角”的兩個(gè)三角形(△ABD與△CDB)不全等.

由推論可得，其充要條件是∠1+∠2=180°且(∠1<90°或∠2<90°).

可不妨設(shè)∠1<90°,∠2>90°.在△CDB中，可得DC>DB，所以AB>DB.

又由∠ABC=∠2+∠3=180°-∠1+∠3<180°，可得∠1>∠3,AB>AD.

所以AB是△ABD的最大邊，進(jìn)而可得△ABD是銳角三角形.

從而可得如下：

作法1 (1)如圖6所示，作銳角△ABD，且AB>DB,AB>AD.

(2)在△ABD外作∠DBE=180°-∠ADB.

(3)以點(diǎn)D為圓心，AB為半徑作弧交射線BE于點(diǎn)C(因?yàn)榭勺C得DC>DB，所以點(diǎn)C是唯一存在的).

(4)連結(jié)DC.

四邊形ABCD就是凸四邊形ABCD.

證明 只需證明∠ABC<180°,∠ADC<180°,∠A=∠BCD.

由AB>AD，可得∠1>∠3，即180°-∠2>∠3，所以∠ABC=∠2+∠3<180°.

由∠2>90°，可得∠2>∠4，即180°-∠1>∠4，所以∠ADC=∠1+∠4<180°.

由正弦定理，可得

sinA=sin∠BCD.

又由∠A,∠BCD都是銳角，可得∠A=∠BCD.