黃 晶 邱為鋼

(1杭州學(xué)軍中學(xué), 浙江 杭州 310012； 2湖州師范學(xué)院求真學(xué)院公共教研部，浙江 湖州 313000)

在中學(xué)物理競(jìng)賽訓(xùn)練題和大學(xué)物理力學(xué)題目中，有一類輕繩連接體問題，求繩上連接體速度和加速度關(guān)系。最典型的是繩拉小船問題[1-3]，人以恒定速率拉小船，那么小船的速度和加速度是多少？還有1類題目是多個(gè)物體通過滑輪和繩子相連，運(yùn)動(dòng)過程中輕繩始終保持繃緊，那么這些連接體的速度以及加速度有什么關(guān)系?[4-6]。一個(gè)常見的結(jié)論是，如果只有兩個(gè)物體，那么這兩個(gè)物體在繩子方向上的速度分量大小相等，但加速度分量大小不一定相等[4]，不可能同時(shí)為零[5]。對(duì)于多個(gè)物體, 繩子兩端速度差在繩子方向上的投影(分量)之和為零, 加速度也如此,前提條件是繩子方向不變[6]。解決這類連接體速度和加速度問題, 中學(xué)物理競(jìng)賽輔導(dǎo)讀物上主要是應(yīng)用加速度分解法和投影法，但這種二級(jí)結(jié)論需要前提條件，即兩物體的距離不變。我們發(fā)現(xiàn)，簡(jiǎn)單利用力學(xué)定義概念和求導(dǎo)計(jì)算，就能得到一般的結(jié)論，且能簡(jiǎn)化并推廣一些所謂的物理難題。本文主旨并不是要求中學(xué)生記住文中公式并用來解題，而是給出處理這種難題的另一種思路，開闊他們的視野。

1 引理

首先證明一個(gè)結(jié)論，取合適的坐標(biāo)系，設(shè)物體都是小環(huán), 在繩上能自由移動(dòng)。第i個(gè)物體的坐標(biāo)是ri(t)，離它最近的靜滑輪(可能有兩個(gè)，所以有兩個(gè)下標(biāo))坐標(biāo)是qij, 如圖1所示。

圖1 多個(gè)物體(小環(huán))通過滑輪和繩子連接

運(yùn)動(dòng)過程中繩子始終保持繃緊，繩子總長(zhǎng)度是時(shí)間的函數(shù)

(1)

這個(gè)約束條件對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)一次和兩次，就能得到各個(gè)連接體速度和加速度關(guān)系式。利用以下結(jié)論

(2)

定義物體相對(duì)最近靜滑輪單位方向?yàn)?/p>

(3)

式(1)兩邊對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，計(jì)算化簡(jiǎn)得到

(4)

式(4)意味著各個(gè)連接體速度沿相對(duì)最近靜滑輪方向分量之和為繩子總長(zhǎng)伸縮的速度。如果只有兩個(gè)物體，且繩子總長(zhǎng)度不變，那么兩個(gè)物體在繩子方向上的速度分量大小相等。式(4)兩邊繼續(xù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，計(jì)算化簡(jiǎn)得到

(5)

(1-2)2+(a1-a2)·(r1-r2)=0

(6)

式(6)就是不少物理競(jìng)賽輔導(dǎo)讀物上的所謂加速度投影法，前提條件是兩點(diǎn)之間的距離不變。如果只有一個(gè)物體通過一個(gè)不可伸長(zhǎng)的繩子聯(lián)系，式(5)化為

(7)

式(7)就是物理教材上物體做圓周運(yùn)動(dòng)徑向加速度和向心加速度的關(guān)系式。

2 應(yīng)用

第1節(jié)的式(4)和式(5)可以用來求解繩連接物體速度，加速度和繩中張力問題。先取定一個(gè)直角坐標(biāo)系，把各個(gè)物體的速度和加速度，以矢量的分量形式表示出來，然后代入式(4)和式(5)，利用已知條件，求未知量。下文中的3個(gè)例子,都是中學(xué)物理競(jìng)賽輔導(dǎo)讀物中的經(jīng)典例子, 為了討論方便, 拉繩速度和桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度都是勻速的, 沒有進(jìn)一步去考慮加速度和角加速度。我們作了推廣,考慮到這兩個(gè)因素, 給出主要推導(dǎo)過程，不過沒有給出各個(gè)物體速度和加速度的最終表達(dá)式。如果把一些幾何和物理量取特殊值或者容易計(jì)算的值，就能改變?yōu)橹袑W(xué)生物理競(jìng)賽模擬題。

2.1 轉(zhuǎn)動(dòng)桿連線模型

第一個(gè)是文獻(xiàn)[4]中的問題，桿的長(zhǎng)度是L，桿是變速轉(zhuǎn)動(dòng)的。如圖2所示(來自文獻(xiàn)[4])物體C和物體A(桿的端點(diǎn))，通過一個(gè)繩子和靜滑輪聯(lián)系起來。設(shè)B處滑輪為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，垂直向上的方向是y軸。此時(shí)角速度是ω，角加速度是χ。物體C的速度是C=(0,v)，加速度是aC=(0,a),相對(duì)最近定滑輪的單位方向是nC=(0,-1)。物體A的速度是A=ωL(cosα,-sinα),加速度是切向加速度和法向加速度的矢量和aA=χL(cosα,-sinα)-ω2L(sinα,cosα),相對(duì)最近定滑輪的單位方向是nA=(sinθ,-cosθ)。把這些速度和加速度的表達(dá)式代入到式(4)和式(5)，再利用△ABO邊長(zhǎng)和角度關(guān)系，計(jì)算得到物體C的加速度大小是

(8)

圖2 轉(zhuǎn)動(dòng)桿連線問題

2.2 兩物體一滑輪模型

圖3 兩物體一滑輪問題

第二個(gè)例子來自文獻(xiàn)[7],在豎直墻上同一高度釘兩個(gè)釘子，左邊釘子上系一根不可伸長(zhǎng)的輕線，線上內(nèi)套一個(gè)有質(zhì)量的小環(huán)，線的另一端跨過右邊釘子，在線的自由端上掛一個(gè)物體，如圖3所示。在開始位置，兩個(gè)釘子之間線呈水平，小環(huán)處于線上任意位置，小環(huán)和物體初速度為零。求小環(huán)經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的加速度。這個(gè)問題中，右邊釘子看作靜滑輪。文獻(xiàn)[7]中的原題是經(jīng)過平衡位置，但平衡位置是否能到達(dá)，與初始條件有關(guān)，另文探討。

設(shè)小環(huán)質(zhì)量為m1，物體質(zhì)量為m2。兩個(gè)釘子間的距離是l。小環(huán)豎直方向上下降距離h, 達(dá)到最低點(diǎn)時(shí)，左邊繩子長(zhǎng)度是l1，與水平方向夾角是α，右邊繩子長(zhǎng)度是l2，與水平方向的夾角為β。以水平方向?yàn)閤軸，垂直向上的方向是y軸。當(dāng)小環(huán)滑到最低點(diǎn)時(shí)，小環(huán)的速度為1=(v,0)，加速度為a1=(a1x,a1y)，相對(duì)最近兩個(gè)滑輪的單位方向分別為n11=(cosα,-sinα)，n12=(-cosβ,-sinβ)。物體的速度為2=(0,u)，加速度為a2=(0,a2y)，相對(duì)最近滑輪的單位方向?yàn)閚2=(0,-1)。代入連接體的速度關(guān)系式(4)，計(jì)算得到

u=v(cosα-cosβ)

(9)

還需要一個(gè)條件來確定兩個(gè)物體速度的值，這個(gè)條件就是機(jī)械能守恒：

(10)

由式(9),式(10)可以求出小環(huán)達(dá)到最低點(diǎn)時(shí)兩個(gè)物體的速度。把以上的速度和加速度表達(dá)式代入式(5)，得到

(11)

式(11)中有3個(gè)未知量，小環(huán)的兩個(gè)加速度分量和物體的豎直方向的加速度，還需要找到另外兩個(gè)方程。看起來找不到，不過考慮到繩子中張力，兩個(gè)物體貢獻(xiàn)3個(gè)牛頓第二定律方程，小環(huán)水平和豎直方向和物體豎直方向。這樣4個(gè)未知量，4個(gè)方程，就能解出來了。設(shè)小環(huán)達(dá)到最低點(diǎn)時(shí)，繩子中的張力為T, 那么由牛頓第二定律，可以得到以下3個(gè)方程：

聯(lián)列求解式(11)～(14)，就能得到繩子中的張力T和物體的加速度。

2.3 繩拉物體模型

圖4 一物體一滑輪問題

第三個(gè)例子來自文獻(xiàn)[8]，如圖4所示。有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)B，一端通過長(zhǎng)度不變的繩子系在A點(diǎn)，另一端通過長(zhǎng)度變化的繩子繞過C點(diǎn)的滑輪。A、C位于同一水平線上。某人握住繩的自由端，以隨時(shí)間變化的速率v(t)收繩，當(dāng)繩收至如圖位置時(shí)，質(zhì)點(diǎn)B兩邊的繩子與水平線的夾角分別為α和β，求這時(shí)人收繩的力。

AB之間的繩子長(zhǎng)度不變，BC之間繩子長(zhǎng)度在變化，這樣式(4)和式(5)要各用兩次。設(shè)物體B的速度是=(v1,v2)，加速度是a=(a1,a2)，相對(duì)A點(diǎn)的單位方向是nA=(cosα,-sinα)，相對(duì)C點(diǎn)的單位方向是nC=(-cosβ,-sinβ)。代入到連接體的速度關(guān)系式(4)，計(jì)算得到

(15)

代入連接體的加速度關(guān)系式(5)，計(jì)算得到

由式(16)～(17)，可以求得物體B的加速度。設(shè)AB和BC兩個(gè)繩子上的張力分別為T1和T2，那么由牛頓第三定律，得到

由式(18)～式(19)，可以求得兩個(gè)繩子中的張力。

3 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于輕繩連接體的速度和加速度, 中學(xué)物理和大學(xué)物理的處理方式不一樣。中學(xué)主要是利用一些二級(jí)結(jié)論, 對(duì)各個(gè)問題作具體分析, 需要很強(qiáng)的技巧性, 譬如區(qū)分相對(duì)那個(gè)物體的切向和徑向(加)速度, 然后疊加起來。不過有些二級(jí)結(jié)論是有前提條件的, 不分析清楚就用,會(huì)出現(xiàn)問題的。大學(xué)物理則是假設(shè)物體的速度和加速度存在(一般在直角坐標(biāo)系中), 然后代入到約束關(guān)系以及它的后續(xù)關(guān)系中, 再計(jì)算得到這些(加)速度的值, 基本不需要技巧性。不過本文第2節(jié)中3個(gè)例子, 都是討論特定位置或者特定時(shí)刻物體的(加)速度和繩中的張力, 如果要討論整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中這些物理量隨時(shí)間的變化關(guān)系, 即從特殊情形到一般情形, 就要用分析力學(xué)中的一些知識(shí)。以本文3個(gè)模型為例, 寫出體系動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式, 體系的拉氏量就是動(dòng)能減去勢(shì)能。幾何約束關(guān)系乘以一個(gè)拉氏因子(物理意義是繩中張力), 加入到拉氏量中去。由拉氏量得到拉氏方程, 加上初始條件，數(shù)值求解這些微分方程,就能得到整個(gè)過程中物體(加)速度和繩子張力隨時(shí)間變化的表達(dá)式。限于篇幅，不再詳述。