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(1.淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000；2.宿州學(xué)院,安徽 宿州 234000)

0 引 言

在給定的線性空間中，引進(jìn)了一個(gè)正錐來規(guī)定一種序關(guān)系。在文中第一節(jié)將給出一些定義,第二節(jié)證明線性序域(F,<)上的一給定正錐和對(duì)于一切屬于F的正錐有F中元素的平方和的集合都屬于正錐及在正錐P下定義證明F上的一個(gè)二元關(guān)系為線性序的一關(guān)系等。

1 準(zhǔn)備工作

定義1[1]稱(F,<)為線性序域,假如

1)F為域;

2)″<″是F上的一個(gè)線性序;

3)a

定義2[1]稱P?F是域F上的一個(gè)正錐，假如

1)0?P,-1?P;

2)x,y∈P→x+y∈P,xy∈P;

3)?x(x∈P∨-x∈P).

定義3[1]稱域F是可序化的,如果存在F的一個(gè)線性序<使得(F,<)為線性序域.

定義4[1]如果F的子集P滿足正錐條件的一部分:-1?P,且對(duì)于一切x,y∈P,有x+y∈P,x·y∈P,則P稱作F的一個(gè)準(zhǔn)正錐.

定義5[2]域F中元素之間的一個(gè)二元關(guān)系稱作F的一個(gè)序，如果下列條件成立：

(1)對(duì)于任意a∈F,aa；

(2)若ab且ba，則a=b；

(3)若ab且bc，則ac；

(4)對(duì)于任意a,b∈F,ab或者ba；

(5)若ab，則對(duì)與任意c∈F,a+cb+c；

2 主要結(jié)果的證明

定理1 假如(F,<)為線性序域,則P={x∈F:x≥0}為一正錐.

證明由P={x∈F：x≥0},即P?F.

1)0∈P,-1?P.

2)任意P中的元素都在F中,現(xiàn)在只需證明P在加法和乘法的運(yùn)算下是封閉的.

設(shè)a,b∈P,a,b≥0

(1)在加法下是顯然的.

設(shè)a,b∈P,a,b≥0

a+b>0，則a+b∈P.

(2)在乘法下：

a·b≥0,則a·b∈P.

3)?x∈F

(1)當(dāng)x>0時(shí),x∈P,

(2)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則-x∈P,

(3)當(dāng)x=0時(shí),x∈P.

定理2 對(duì)于F的一切正錐P,∑F2?P.

定理3 假如P?F為F的一個(gè)正錐.定義F上的一個(gè)二元關(guān)系

x<

可以證明<<為F上的一個(gè)線性序關(guān)系.

證明1)?x(x<

2)?x,yx-y∈Py<

y-x∈Px<

即?x,y(x<

3)?x,y,zy-x∈Px<

z-y∈Py<

即?x,y,z(x<

4)?x,y，x-y∈Py<

y-x∈Px<

即?x,y(x<

5)若x<

6)若0<

定理4 證明在準(zhǔn)正錐的類ε={P?∑F2:P是F的一個(gè)準(zhǔn)正錐}中?是在它上面的一個(gè)序關(guān)系.

證明證明?是準(zhǔn)正錐的類的一個(gè)序關(guān)系，只需證明

x2?y2當(dāng)且僅當(dāng)y2-x2?P

(1)?x,x2?x2.

(2)?x2,y2，x2-y2∈Py2?x2

y2-x2∈Px2?y2

x2=y2∈P

即?x2,y2(x2?y2∨y2?x2∨x2=y2)

(3)?x2,y2,z2，y2-x2∈Px2?y2

z2-y2∈Py2?z2

則z2-x2∈P?x2?z2

即?x2,y2,z2(x2?y2∧y2?z2→x2?z2).

3 結(jié) 語

因此，通過在實(shí)代數(shù)中有關(guān)正錐的討論，可以得到在給定的線性序域上有關(guān)正錐的證明及正錐的可序化.