陳文麗，周 磊，劉瑞敏

（北京航天試驗技術(shù)研究所，北京，100074）

0 引 言

液體火箭發(fā)動機試驗臺健康評估與故障預測是確定試驗臺當前狀態(tài)偏離正常態(tài)的程度（故障級別）以及預測試驗臺后續(xù)的健康性能。在液體火箭發(fā)動機試驗臺上實施健康評估和故障預測，對指導試驗技術(shù)人員實施規(guī)劃維修[1]具有重要意義。當前，大多數(shù)文獻都是對液體火箭發(fā)動機試驗臺進行故障診斷研究[2～5]，也有一些針對機械設備進行性能預測方面的研究[6～8]，但是針對液體火箭發(fā)動機試驗臺的健康評估和故障預測研究甚少。

模糊綜合評判是一種基于模糊數(shù)學的綜合評判方法，其根據(jù)隸屬度理論對受多種因素制約的對象做出一個總體的定量評價，可解決模糊的、難以量化的計算問題。自適應相關向量機（Adaptive Relevance Vector Machine，ARVM）是一種基于貝葉斯概率學習模型的有監(jiān)督小樣本學習理論，其在貝葉斯框架下，利用自相關判定理論移除不相關的數(shù)據(jù)點，獲得稀疏化的模型[4～7]。它能夠克服神經(jīng)網(wǎng)絡故障預測需要較多訓練樣本的缺陷，也能夠克服支持向量機故障預測核函數(shù)必須滿足Mercer條件[8,9]的限制。

本文在研究液體火箭發(fā)動機地面試驗參數(shù)特征的基礎之上，提出將模糊綜合評判理論和自適應相關向量機理論相結(jié)合，建立液體火箭發(fā)動機試驗臺健康評估和故障預測體系模型。計算結(jié)果表明，該方法能夠?qū)υ囼炁_健康狀況進行定量的、合理的評價和預測，對試驗系統(tǒng)指導實施故障前維修具有參考價值，該方法也可擴展應用于其他復雜系統(tǒng)的健康評估和故障預測中。

1 健康評估方法

1.1 健康度的定義

健康度hd是對試驗臺健康狀況的定量度量。由于液體火箭發(fā)動機試驗臺系統(tǒng)復雜，測量參數(shù)眾多，分為很多子系統(tǒng)，因此影響各個部分正常運行的因素也是多樣的，如溫度、濕度、電壓波動等。為了全面、準確地反映試驗臺各個測點、子系統(tǒng)和試驗臺的整體健康狀況，定義了單參數(shù)健康度、子系統(tǒng)健康度和試驗臺綜合健康度。設試驗臺分為k個子系統(tǒng)，第j個子系統(tǒng)有m個測量參數(shù)，且第i個測量參數(shù)在發(fā)動機點火各時刻的值為 Xi=( xi1,xi2,…, xin)，則單參數(shù)健康度可表示為

1.2 模糊綜合評判的數(shù)學模型

模糊綜合評判是模糊集合理論在風險評價中的具體應用，是利用模糊變換原理，考慮與被評價對象相關的各個因素后，作出綜合的評價，其數(shù)學模型如下：

a）建立因素集。

根據(jù)所研究的對象，確定影響對象的因素，組成普通因素集，即：

式中 vi(i = 1 ,2,…, m )為影響評價對象的第i個因素。

b）確定權(quán)重集。

因為普通因素集中各個因素對評價對象的影響程度是不同的，為了反映各個因素對評價對象的影響，為因素 vi分配一個相應的權(quán)值 αi(i= 1 ,2,…,m)，形成權(quán)重集，即：

c）確定評價集。

評價集是對評價對象做出的各種評價結(jié)果組成的集合，即：

式中 uj為第j個評判結(jié)果。

單因素模糊評判是單獨從一個因素 vi出發(fā)進行的評判，目的是確定評價對象對評價集元素uj( j = 1 ,2,… ,n )的隸屬程度 rij。對第i個元素評價結(jié)果的單因素模糊評價集為

以各個單因素模糊評價集的隸屬度為行向量構(gòu)成單因素模糊評價矩陣，即：

顯然單因素模糊綜合評判僅僅反映了一個因素對評價結(jié)果的影響，不能反映所有因素的綜合影響，因而并不能準確反映評價結(jié)果。為得出客觀、正確的評價結(jié)果，綜合考慮所有因素的影響，形成對研究對象的綜合評價。應綜合評價集B由權(quán)重集A與單因素模糊評價矩陣R合成得到，即：

根據(jù)權(quán)重集A與綜合評價集R的合成求取綜合評價集B，有如下3種模型。

模型一：考慮評價的主要因素，采用算子對M(∧,∨)，其中∧為取?。╩in）運算；∨為取大（max）運算，則：

模型二：采用算子對 M (?,∧)，其中?為普通實數(shù)乘法運算，∧為取?。╩in）運算，則：

模型三：認為每個評價因素對綜合評判結(jié)果都有貢獻，采用算子對 M (?,+)，其中?為普通實數(shù)乘法運算，+為求和運算，則，

該類模型不僅考慮了所有評價因素的影響，而且還保留了單因素的評判信息。

1.3 健康度計算

在試驗臺運行的開始階段，認為各個時刻點的參數(shù)對系統(tǒng)運行的重要程度是相同的。隨著時間推移，參數(shù)會發(fā)生相應的變化，對系統(tǒng)性能的影響也會改變，因此在初始融合時，采用如下模糊綜合評判的3種簡化模型：

a）對于 M (∧,∨ ) ，令 rij（j=1,2,…,n)中最大值 rxj對應的權(quán)值 αx=1，其余的權(quán)值為0，得到第1種模型的評判指標：

c）對于 M (?,+)，令 α1= α2=…=αm= 1/m，得到第3種模型的評判指標：

指標1B~是從最突出的優(yōu)點考慮問題，指標2B~是從最突出的缺點考慮問題，指標3B~是從平均角度考慮問題。在實際應用中，如果僅取最大值、最小值或者平均值之一作為評判指標，具有片面性，因此可綜合使用這3個指標，進行二級評判，得到二級綜合評判矩陣R~。

表1 重要程度系數(shù)表Tab.1 Coefficients of Importance

隸屬度函數(shù)完成了從精確的測量值到模糊量-隸屬度的模糊化過程，而由隸屬度計算健康度則實現(xiàn)了從模糊量-隸屬度到精確量-健康度的去模糊化過程。由隸屬度計算健康度的公式為

式中 B為經(jīng)過模糊綜合評判后得到的對于健康、亞健康、故障邊緣和故障模糊集的隸屬度。在實際計算中，根據(jù)試驗臺的具體情況采用下式的計算方式：

2 預測模型構(gòu)建

給定訓練集 { xn, tnn∈ Rd,tn∈ R ，同時假設所有輸出變量ti全部由帶有噪聲的εi的模型產(chǎn)生。

式中 w為權(quán)值向量， w = [w1,w2, …, wi](i = 1,2,…, n )。

在液體火箭發(fā)動機試驗中，受惡劣試驗環(huán)境和各種物理因素的影響，試驗現(xiàn)場測得的數(shù)據(jù)中通常會包含一些波動較大的數(shù)據(jù)點[1]，這些數(shù)據(jù)點可看作是正常的試驗數(shù)據(jù)中夾雜了不規(guī)則的噪聲所致，因而實際的試驗數(shù)據(jù)集的噪聲分布不能單純地假設為服從同方差的高斯分布。設訓練數(shù)據(jù)集中第i個樣本的噪聲εi服從的密度分布為

式中 σ2為所有樣本的平均方差；βi為引入的噪聲方差系數(shù)，并且假設其先驗分布滿足γ分布，即 p ( βi) = γ( ai, bi)。定義噪聲方差系數(shù)向量 β =[β1, β2,…,βN]T，則訓練樣本的似然函數(shù) p (t|w,β,σ2) 可表示為

2.1 ARVM預測數(shù)學模型[9]

式中B為矩陣的行列式， B =diag(β1,β2,… ,βN) ，依據(jù)貝葉斯定理得到權(quán)值向量w的后驗分布為

由于w后驗分布均值μ和協(xié)方差矩陣Σ中含有超參數(shù) α ,σ2以及噪聲方差系數(shù)向量β，需要對其進行優(yōu)化。根據(jù)相關向量機學習理論以及貝葉斯證據(jù)過程，超參數(shù)和噪聲方差系數(shù)的優(yōu)化通過最大化邊緣似然函數(shù)p(t|α,β,σ2) 和 β 的先驗分布 p (β)的乘積來實現(xiàn)。由前文假設可知，βi的先驗分布為γ分布，即：

圖1 ARVM回歸預測模型結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of ARVM Prediction

2.2 ARVM模型超參數(shù)優(yōu)化[10]

分別對logβi，logαj和logσ2求偏導，并令導數(shù)式等于0即可得到超參數(shù)α,β和σ2的迭代計算公式。

式中 μj為均值向量μ的第j個元素；Σjj為協(xié)方差矩陣 Σ 的第j個對角元，γj= 1-αjΣjj。ARVM算法流程如圖2所示。

圖2 ARVM計算流程Fig.2 Calculation Process of ARVM

3 測試分析

3.1 評價指標

引入MSEE 來評價模型的預測性能，其計算公式為

式中 N為數(shù)據(jù)點個數(shù)；iy為預測數(shù)據(jù)值；iy~為實際數(shù)據(jù)值。

3.2 時間序列的相空間重構(gòu)

液體火箭發(fā)動機試驗臺健康度是表征試驗臺健康狀況的定量指標，是多參數(shù)多變量相互融合的結(jié)果。由于試驗臺在運行過程中受多種因素的影響，導致基于時間的健康度值之間存在很強的非線性。那么在進行試驗臺健康狀況預測之前，首要的是挖掘出非線性健康度序列中存在的關聯(lián)關系，找出健康度值中隱藏的試驗臺故障演化規(guī)律，從而使一維時間健康度序列能夠納入ARVM預測模型的應用框架內(nèi)。相空間重構(gòu)法為挖掘一維時間序列的試驗臺健康度值中隱藏的關聯(lián)信息提供了一條途徑，其基本方法是將一維的時間序列進行反向迭代以構(gòu)造出原系統(tǒng)的相空間，具體為：對于給定的原始健康度序列 X = { x1,x2,… ,xn}，將時間序列中的元素進行樣本重排，設嵌入維數(shù)為 m，則通過相空間重構(gòu)后的數(shù)據(jù)矩陣如表2所示。

表2 相重構(gòu)數(shù)據(jù)矩陣Tab.2 Matrix of Phase Reconstruction

通過上述方法可構(gòu)造出預測模型的輸入和輸出樣本，即建立起映射f： Rm→ Rm+1，滿足：

3.3 時間序列健康度預測

用本文提出的方法對某型液體火箭發(fā)動機試驗臺燃料增壓系統(tǒng)進行健康狀況評估和故障預測。數(shù)據(jù)來源于某次試驗50 s點火程序穩(wěn)態(tài)階段的試驗數(shù)據(jù)，通過模糊綜合評判方法計算得到燃料增壓系統(tǒng)健康度，曲線如圖3所示。通過間隔計算獲得了40組健康度值構(gòu)成數(shù)據(jù)序列 X = { x1,x2, …, x50}。對數(shù)據(jù)序列進行相空間重構(gòu)，獲得了數(shù)據(jù)間的關聯(lián)關系，形成ARVM預測模型的輸入輸出訓練樣本數(shù)據(jù)矩陣 Xtrain和 Ytrain，訓練樣本25組，測試樣本15組，相空間重構(gòu)嵌入維數(shù)m=3。

根據(jù)重構(gòu)后的訓練樣本陣列進行ARVM預測模型的訓練，并采用一步迭代預測法預測試驗臺未來15個時刻點的健康度值。根據(jù)離散數(shù)據(jù)特點，核函數(shù)選取為線性樣條函數(shù)Spline，如式（36）所示。

通過網(wǎng)格搜索法得到當核參數(shù)σ=1時，ARVM 模型的預測效果最優(yōu)。根據(jù)相空間重構(gòu)后的ARVM預測模型得到的試驗臺穩(wěn)態(tài)階段燃料增壓系統(tǒng)健康度發(fā)展趨勢如圖 4所示，訓練樣本和測試樣本的預測誤差如圖5和表3所示。

圖3 燃料增壓系統(tǒng)健康度曲線Fig.3 Health Degree Curve of Fuel Booste System

由圖3可知，從點火開始至點火結(jié)束，試驗臺穩(wěn)態(tài)工作段燃料增壓系統(tǒng)健康度有緩慢下降的趨勢，說明在發(fā)動機點火過程中測得的試驗數(shù)據(jù)中有逐漸惡化的跡象，產(chǎn)生此種現(xiàn)象的原因是隨著點火的進行，測量燃料入口壓力Pif的傳感器受發(fā)動機熱輻射的影響發(fā)生了溫漂。

圖4 ARVM健康度預測曲線Fig.4 Health Degree Prediction Curve with ARVM

圖5 基于ARVM算法的健康度預測誤差曲線Fig.5 Error Curve of Health Degree Prediction Based on ARVM

表3 預測效果分析Tab.3 Analysis of Prediction Result

由圖4、圖5和表3可知，ARVM模型輸出的健康度預測結(jié)果符合試驗臺健康度的發(fā)展趨勢。在模型稀疏性方面，僅使用了5個相關向量;在預測精度方面，訓練樣本預測的均方誤差為 0.1052%，測試樣本預測的均方誤差為0.1991%，預測精度較高。

4 結(jié)束語

本文針對液體火箭發(fā)動機試驗臺健康狀況退化的問題，研究并給出了基于模糊綜合評判和ARVM的健康評估與故障預測方法，并將其應用于某型軌控發(fā)動機燃料增壓系統(tǒng)的健康度計算和預測仿真中。研究結(jié)果表明，本文提出的方法能夠?qū)υ囼炁_的健康狀況給出定量的、合理的評價，并且對試驗臺的健康發(fā)展趨勢給出精度較高的預測結(jié)果，從而為技術(shù)人員對試驗臺實施規(guī)劃維修提供了有利依據(jù)。