李 雙，李 寧，洪良友，馬斌捷，賈 亮

（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京，100076）

0 引 言

設(shè)計(jì)航天結(jié)構(gòu)時(shí)，結(jié)構(gòu)動特性數(shù)據(jù)很重要，為控制系統(tǒng)、載荷、POGO、顫振分析提供了基礎(chǔ)參考數(shù)據(jù)，其中控制系統(tǒng)、載荷、顫振分析主要需要參考航天結(jié)構(gòu)整體彎曲模態(tài)，POGO主要需要參考航天結(jié)構(gòu)整體軸向模態(tài)。為了獲得準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)動特性數(shù)據(jù)，當(dāng)前主要采用試驗(yàn)和仿真計(jì)算相結(jié)合的辦法獲取結(jié)構(gòu)的動特性數(shù)據(jù)。

對于液體運(yùn)載器，其主體結(jié)構(gòu)通常由多個(gè)貯箱與箱間段或級間段組成，且貯箱可能占有主導(dǎo)地位。在飛行過程中或者在模態(tài)試驗(yàn)時(shí)，貯箱內(nèi)部一般都保持一定的壓力，其對結(jié)構(gòu)整體模態(tài)的影響，是動特性數(shù)據(jù)獲取時(shí)，需要重點(diǎn)考慮的問題之一。

實(shí)際上，箭體或彈體的貯箱是一個(gè)圓筒殼結(jié)構(gòu)，對于圓筒殼，理論上可以寫出動力學(xué)微分方程，但是無法得出解析解，只能通過數(shù)值迭代擬合給出數(shù)值解[1]。

當(dāng)前實(shí)際工程應(yīng)用中分析箭體或彈體整體彎曲模態(tài)時(shí)，方法之一是將整個(gè)箭體或彈體簡化為一根梁，另一種方法則是采用三維梁-殼模型，其中前者只能反映箭體結(jié)構(gòu)的整體模態(tài)，而后者除了能反映整體彎曲模態(tài)外，還可以反映殼體的局部模態(tài)。但就這兩種方法都能反映箭體結(jié)構(gòu)的整體彎曲模態(tài)來說，結(jié)果會有何差別和一致性，其中第2種采用三維梁-殼模型的方法，貯箱內(nèi)是否充內(nèi)壓結(jié)果又有何差別，一直是航天工程領(lǐng)域關(guān)注的問題。

通過梁模型研究全箭的動特性時(shí)，為考慮貯箱內(nèi)壓對整體彎曲模態(tài)的影響，本文對梁在有、無軸向力作用下相關(guān)理論公式進(jìn)行了推導(dǎo)得出了梁在有、無軸向力作用下的解析解。并通過一個(gè)簡支梁模型有限元分析進(jìn)行驗(yàn)證。

采用三維梁-殼模型研究全箭的動特性時(shí)，為考慮貯箱內(nèi)壓對于圓筒殼結(jié)構(gòu)整體彎曲模態(tài)的影響，由于無法給出解析解，通過一個(gè)理想的圓筒殼有限元分析進(jìn)行了研究。

采用三維梁-殼模型研究全箭的動特性時(shí)，對于圓筒殼結(jié)構(gòu)的局部殼體呼吸模態(tài)，當(dāng)前實(shí)際工程應(yīng)用中沒有直接的簡化方法，但其理論機(jī)理與平板模態(tài)相同?；诹私鈭A筒殼結(jié)構(gòu)充內(nèi)壓和無內(nèi)壓殼體呼吸模態(tài)關(guān)系的目的，本文對平板在有無面內(nèi)拉力作用下相關(guān)理論公式進(jìn)行了推導(dǎo)，定性的說明了貯箱內(nèi)壓對殼體呼吸模態(tài)的影響。

通過對理想的圓筒殼結(jié)構(gòu)自由-自由狀態(tài)充內(nèi)壓和無內(nèi)壓時(shí)的模態(tài)進(jìn)行分析研究，得出了一些規(guī)律之后，又進(jìn)一步對某型號含貯箱的局部芯級圓筒殼結(jié)構(gòu)實(shí)例建立了有限元模型，將自由-自由狀態(tài)充內(nèi)壓和無內(nèi)壓時(shí)的模態(tài)進(jìn)行了研究，最后，結(jié)合理論公式和數(shù)值分析結(jié)果，給出了關(guān)于內(nèi)壓對箭體動特性影響的一些規(guī)律，可供設(shè)計(jì)與試驗(yàn)時(shí)參考。

1 內(nèi)壓影響的理論研究

1.1 軸力對梁結(jié)構(gòu)整體彎曲模態(tài)固有頻率的影響

由于圓筒殼結(jié)構(gòu)動力學(xué)微分方程沒有解析解，當(dāng)前實(shí)際工程應(yīng)用中分析箭體或彈體整體彎曲模態(tài)時(shí)，方法之一是將整個(gè)箭體或彈體簡化為一根梁，為了解貯箱充內(nèi)壓與無內(nèi)壓狀態(tài)用梁簡化時(shí)彎曲模態(tài)固有頻率之間的關(guān)系，本文對一個(gè)簡支梁有軸向拉力和無軸向拉力作用的固有頻率之間的關(guān)系[2]進(jìn)行研究，簡支梁有軸向拉力0T作用的示意如圖1所示。

簡支梁有軸向拉力0T作用的彎曲模態(tài)固有頻率如下式：

當(dāng)00T=，即無軸向拉力時(shí)梁的彎曲模態(tài)固有頻率為下式：

式中iω為簡支梁有軸向拉力0T作用的彎曲模態(tài)固有頻率；/0iω為簡支梁無軸向拉力時(shí)的彎曲模態(tài)固有頻率；E為梁材料彈性模量；I為梁截面慣性矩；A為梁截面面積；ρ為梁材料密度；l為梁長度；i為模態(tài)階次。

由式（1）和式（2）可得出簡支梁有軸向拉力和無軸向拉力作用的彎曲模態(tài)固有頻率的關(guān)系為

a）當(dāng)梁受拉時(shí)軸力 T0使梁彎曲頻率增加，當(dāng)梁受壓時(shí)軸力 T0使梁彎曲頻率降低；

b）隨著模態(tài)階次的增加軸力 T0的影響減弱；

c）當(dāng)軸力 T0遠(yuǎn)小于軸向壓桿歐拉臨界壓力時(shí)可不考慮軸力對彎曲模態(tài)的影響。

1.2 內(nèi)壓對圓筒殼結(jié)構(gòu)殼體呼吸模態(tài)固有頻率的影響

由于圓筒殼結(jié)構(gòu)動力學(xué)微分方程沒有解析解，但就內(nèi)壓對殼體呼吸模態(tài)固有頻率的影響來說，理論機(jī)理與面內(nèi)拉力對一個(gè)四邊簡支平板模態(tài)頻率的影響是一致的，本文采用一個(gè)四邊簡支的平板有面內(nèi)拉力（兩個(gè)拉力，一個(gè)剪力）和無面內(nèi)拉力作用時(shí)模態(tài)固有頻率之間的關(guān)系[3～8]來類比定性說明貯箱圓筒殼結(jié)構(gòu)充內(nèi)壓和無內(nèi)壓時(shí)殼體呼吸模態(tài)固有頻率的關(guān)系。

四邊簡支平板有面內(nèi)拉力示意，如圖2所示（為了示圖清晰，圖中只畫出了x軸方向的拉力）。

圖2 四邊簡支平板有面內(nèi)拉力示意Fig.2 Four Sides Simply Supported Plate Imposed Plane InternalTension Load

四邊簡支平板有面內(nèi)拉力作用時(shí)模態(tài)固有頻率如下式：

式中 ωi,j為四邊簡支平板有面內(nèi)拉力作用時(shí)模態(tài)固有頻率；Nx為作用于與x軸垂直的端面上、方向與x軸一致、沿y軸單位長度的線壓力； Ny為作用于與y軸垂直的端面上、方向與y軸一致、沿x軸單位長度的線壓力；Nxy為作用于平板側(cè)面的的剪力；D0為平板抗彎剛度，E為平板材料彈性模量；μ為平板材料泊松比；h為平板厚度；a為平板x軸向長度；b為平板y軸向長度；i為板振型包含的x軸方向的半波數(shù)；j為板振型包含的y軸方向的半波數(shù)。

當(dāng) Nx=0， Ny=0， Nxy=0，即無面內(nèi)拉力，無剪力時(shí)平板模態(tài)固有頻率為下式：

由式（5）和式（6）可得出四端簡支平板有面內(nèi)拉力作用和無面內(nèi)拉力作用時(shí)模態(tài)固有頻率之間的關(guān)系如下式：

式（7）說明：四端簡支平板有面內(nèi)拉力作用相對于無面內(nèi)拉力作用時(shí)對應(yīng)模態(tài)固有頻率是增加的。充內(nèi)壓和無內(nèi)壓圓筒殼結(jié)構(gòu)殼體呼吸模態(tài)固有頻率之間的關(guān)系與式（7）類似。

對于充內(nèi)壓和無充內(nèi)壓圓筒殼結(jié)構(gòu)殼體模態(tài)固有頻率的關(guān)系，式（7）中 Nx類比為貯箱環(huán)向截面上、方向與環(huán)向一致、沿軸向單位長度的線壓力，Nx= pR，Ny類比為貯箱軸向截面上、方向與軸向一致、沿環(huán)向單位長度的線壓力， Ny= pR/2，其中，p為貯箱內(nèi)壓，R為貯箱半徑；在這里，將式（6）中代表平板y軸向長度的b類比為貯箱長度； D0為貯箱薄殼抗彎剛度。

2 理想模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證理論公式，本文采用一個(gè)理想圓筒殼進(jìn)行驗(yàn)證，其中圓筒殼半徑R=0.5 m，長度l=20 m，壁厚度h=0.01 m，材料彈性模量E=70 GPa，泊松比μ=0.3，屈服極限sσ=390 MPa，采用有限元方法分析。

2.1 簡支狀態(tài)理想圓筒殼模型分析

為考察圓筒殼結(jié)構(gòu)充內(nèi)壓和無內(nèi)壓彎曲固有頻率的關(guān)系是否與梁類似符合式（4），分別采用梁單元和殼單元對該圓筒殼進(jìn)行建模，邊界條件為兩端簡支。梁單元模擬模型分析結(jié)果如表1所示。簡支邊界理想圓筒殼模型分析結(jié)果列于表2。

表1 梁單元模擬模型分析結(jié)果Tab.1 Analysis Result of Beam Element Simulation Model

表2 簡支邊界理想圓筒殼模型分析結(jié)果Tab.2 Analysis Result of Idealistic Simply Supported Boundary Cylinder Shell Model

從表1分析結(jié)果可看出梁單元模擬模型有無軸力狀態(tài)的頻率關(guān)系符合式（4）。從表2結(jié)果可看出：

a）用shell殼單元模擬圓筒殼無內(nèi)壓狀態(tài)一階彎曲頻率與用梁單元模擬無軸力狀態(tài)一階彎曲頻率基本相同。

b）用 shell殼單元模擬圓筒殼，只在兩端頭施加內(nèi)壓狀態(tài)一階彎曲頻率與表 1用梁單元模擬，施加相同的軸力一階彎曲頻率基本相同，且只在兩端頭施加內(nèi)壓狀態(tài)與無內(nèi)壓狀態(tài)一階彎曲頻率的關(guān)系與用梁單元模擬結(jié)果一樣都符合式（4）。

c）用 shell殼單元模擬圓筒殼，只在兩端頭施加內(nèi)壓狀態(tài)與無內(nèi)壓狀態(tài)一階殼體呼吸模態(tài)頻率基本不變。這個(gè)規(guī)律主要原因是只在兩端頭施加內(nèi)壓時(shí)與用梁單元模擬時(shí)圓筒殼應(yīng)力狀態(tài)類似都是單向軸向應(yīng)力狀態(tài)。

d）用 shell殼單元模擬圓筒殼，整個(gè)內(nèi)壁都施加內(nèi)壓時(shí)，充內(nèi)壓狀態(tài)與無內(nèi)壓狀態(tài)一階彎曲頻率基本不變，這個(gè)規(guī)律與梁模型施加軸力狀態(tài)不一致，主要原因是圓筒殼內(nèi)壓狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)上存在環(huán)向應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變，由于泊松比效應(yīng)，該應(yīng)變對軸向應(yīng)變也產(chǎn)生影響，從而影響整個(gè)結(jié)構(gòu)的彈性勢能，導(dǎo)致充內(nèi)壓狀態(tài)整體彎曲頻率幾乎不變。

e）整個(gè)內(nèi)壁都施加內(nèi)壓狀態(tài)與無內(nèi)壓狀態(tài)一階殼體呼吸模態(tài)頻率增大較多。

2.2 自由-自由狀態(tài)理想圓筒殼模型分析

自由-自由邊界理想圓筒殼一階彎曲模態(tài)頻率與內(nèi)壓的關(guān)系曲線如圖3所示，自由-自由狀態(tài)理想圓筒殼一階殼體呼吸模態(tài)頻率與內(nèi)壓的關(guān)系曲線如圖4所示。

圖3 自由-自由邊界理想圓筒殼一階彎曲模態(tài)頻率與內(nèi)壓關(guān)系Fig.3 Relationship of Free-free Boundary Idealistic Cylinder Shell First-order Bending Mode Frequency with Inner Pressure

圖4 自由-自由狀態(tài)理想圓筒殼一階殼體呼吸模態(tài)頻率與內(nèi)壓關(guān)系Fig.4 Relationship of Free-free Boundary Idealistic Cylinder Shell First-order Shell Breathe Mode Frequency with Inner Pressure

從圖3和圖4可看出自由-自由狀態(tài)理想圓筒殼模型分析結(jié)果符合 2.1中（d）和（e）結(jié)論，即用 shell殼單元模擬圓筒殼，整個(gè)內(nèi)壁都施加內(nèi)壓時(shí)，施加內(nèi)壓狀態(tài)與無內(nèi)壓狀態(tài)一階彎曲頻率基本不變，施加內(nèi)壓狀態(tài)與無內(nèi)壓狀態(tài)一階殼體呼吸模態(tài)頻率增大較多。

3 實(shí)際結(jié)構(gòu)計(jì)算

本文采用的實(shí)例模型是某型號的部分含有貯箱的芯級結(jié)構(gòu)，其中貯箱半徑R=2.5 m，長度l=17.3 m，貯箱壁厚度h=0.0038 m，貯箱材料彈性模量E=70 GPa，泊松比μ=0.3，屈服極限σs=390 MPa。

3.1 理論方法估算分析

由于薄壁圓筒殼結(jié)構(gòu)無法給出模態(tài)固有頻率的解析解，根據(jù)2.1理想圓筒殼模型驗(yàn)證所得出的結(jié)論，這個(gè)實(shí)例貯箱內(nèi)部充內(nèi)壓時(shí)相當(dāng)于整個(gè)內(nèi)壁都施加內(nèi)壓工況。

3.1.1 實(shí)例模型充內(nèi)壓和無內(nèi)壓時(shí)彎曲模態(tài)固有頻率之間的關(guān)系

根據(jù)2.1的結(jié)論（d），這個(gè)實(shí)例充內(nèi)壓與無內(nèi)壓狀態(tài)彎曲模態(tài)頻率相比，由于有環(huán)向應(yīng)力的影響，應(yīng)是變化不大。

3.1.2 實(shí)例模型充內(nèi)壓和非充內(nèi)壓時(shí)殼體呼吸模態(tài)固有頻率之間的關(guān)系

根據(jù)式（8），當(dāng) i =1， j=1時(shí)：

大于1時(shí)就可定性地說明1,1ω與1,1/0ω相比是增大的。

3.2 有限元方法分析

3.2.1 動力學(xué)模型建模

有限元方法分析，建模時(shí)蒙皮采用shell殼單元模擬，縱向和橫向加筋采用梁單元模擬，有限元模型如圖5所示。

圖5 有限元模型Fig.5 Finite Element Model

3.2.2 求解分析

利用Abaqus軟件分析求解，分析工況列于表3。選取分析工況時(shí)，原則是貯箱最大應(yīng)力不超過材料屈服極限，因?yàn)槿绻麅?nèi)壓過大貯箱最大應(yīng)力超過了屈服極限，實(shí)際工程中不會有這樣的工況出現(xiàn)。

表3 分析工況Tab.3 Analysis Case

3.2.3 結(jié)果分析比較

實(shí)例分析結(jié)果列于表4。

表4 實(shí)例分析結(jié)果Tab.4 Analysis Result of Instance

表4結(jié)果可看出，充內(nèi)壓狀態(tài)與無內(nèi)壓狀態(tài)之間的頻率關(guān)系符合2.1節(jié)中第（4）和（5）條結(jié)論即充內(nèi)壓狀態(tài)與無內(nèi)壓狀態(tài)一階彎曲頻率基本不變，施加內(nèi)壓狀態(tài)與無內(nèi)壓狀態(tài)一階殼體呼吸模態(tài)頻率增大較多。

4 結(jié) 論

比較表1中梁模型驗(yàn)證結(jié)果、表2中理想圓筒殼模型驗(yàn)證結(jié)果和表4中實(shí)例分析結(jié)果可看出：

a）貯箱充內(nèi)壓狀態(tài)和無內(nèi)壓狀態(tài)一階彎曲模態(tài)頻率相比，幾乎不變。實(shí)際模態(tài)試驗(yàn)中必須充內(nèi)壓是為了防止貯箱發(fā)生殼體失穩(wěn)，試驗(yàn)和仿真分析航天結(jié)構(gòu)整體模態(tài)特性時(shí)，可不考慮貯箱內(nèi)壓對其的影響（保證結(jié)構(gòu)不屈服）。

b）對于貯箱的局部殼體呼吸模態(tài)，當(dāng)貯箱內(nèi)壓即使為小量時(shí)，充內(nèi)壓狀態(tài)和無內(nèi)壓狀態(tài)相比，一階殼體呼吸頻率也是增大較多的。

c）有了結(jié)論 a，工程應(yīng)用中如果研制初期只關(guān)心貯箱整體彎曲模態(tài)可用梁模型無軸力狀態(tài)進(jìn)行分析。

本文相關(guān)理論推導(dǎo)是采用梁和平板來類比說明圓筒殼的模態(tài)理論的，理想模型驗(yàn)證和實(shí)例是采用有限元方法分析的，關(guān)于圓筒殼動力學(xué)微分方程目前可以給出，但不能給出解析解，只能給出迭代擬合數(shù)值解，以后有必要對這方面問題做進(jìn)一步深入研究，以得出解析解，從而更好的說明內(nèi)壓對圓筒殼結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響。