江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)九（3）班

二次函數(shù)的圖像是拋物線，常常有一些特殊圖形與它相伴.最近經(jīng)常做到一類拋物線與等邊三角形的綜合題，深入鉆研之后，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)，這里記錄出來，與大家分享一下.

例題平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為C的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊）.若△ABC為等邊三角形，求證：b2-4ac=12.

圖1

解答思路：可以先畫出圖1進(jìn)行草圖分析（設(shè)a＞0，拋物線開口向上），△ABC為等邊三角形時(shí)，想到作出CH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)特殊的“邊角關(guān)系”可得CH=AB.這時(shí)CH與拋物線頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)有關(guān)，重點(diǎn)把AB的長也表示出來就行了.考慮到拋物線y=ax2+bx+c與x軸（即直線y=0）交于A，B點(diǎn)，則點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)對應(yīng)著關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根.再表示出拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，作出CH⊥AB于H，則等腰三角形ABC底邊上的高CH就是

走向一般：如圖2，平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為C的拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n交于A，B點(diǎn).若△ABC為等邊三角形，是否仍然有b2-4ac=12？

圖2

思路探究：此時(shí)對應(yīng)的方程是拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n聯(lián)立得到的關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0.關(guān)于x的一元二次方程可算出AB的長為線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)出CH⊥AB于H，則等邊三角形ABC底邊上的高

知道了拋物線的內(nèi)接等邊三角形對應(yīng)著“Δ=12”這個(gè)性質(zhì)，對有些習(xí)題的解答是十分方便的，比如我遇到的下面的這道題：

習(xí)題二次函數(shù)y=ax2+bx+1（a≠0）的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)是C.若△ABC恰好是等邊三角形，則代數(shù)式b2-2（2a-3）的值為_______.

解答：把代數(shù)式b2-2（2a-3）展開整理，得到b2-4a+6，再對照二次函數(shù)表達(dá)式中常數(shù)項(xiàng)c=1，即待求式子轉(zhuǎn)化為b2-4ac+6，結(jié)合△ABC恰好是等邊三角形，可得Δ=12，于是代數(shù)式b2-2（2a-3）的值為18.

同學(xué)們，我總結(jié)的“這一招”，你們學(xué)會(huì)了嗎？

教師點(diǎn)評

曹姝同學(xué)這篇數(shù)學(xué)寫作質(zhì)量很高，達(dá)到“數(shù)學(xué)小論文”的級別，其對拋物線“內(nèi)接等邊三角形”的探究不只是對圖形關(guān)系的研究，而是挖掘特殊三角形與拋物線解析式中系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，而且有“走向一般”的深度拓展，也體現(xiàn)了“以形助數(shù)”“以數(shù)馭形”的數(shù)學(xué)思想.受到她“走向一般”的啟發(fā)，我們還可以進(jìn)一步“擴(kuò)大成果”，把與之相關(guān)的同類問題再做一些梳理.在例題的圖形中，適當(dāng)變式，還可提出以下問題：

（1）若△ABC為直角三角形，則△ABC為等腰直角三角形，有AB=2CH，

（2）若△ABC中∠ACB=120°，有AB=23·CH，

我們把“它們”都列到一起：平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為C的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊）.

（1）若△ABC為直角三角形，求證：Δ=4.

（2）若△ABC為等邊三角形，求證：Δ=12.