康葉紅

“二次函數(shù)”是中考考查函數(shù)知識的重要載體.考查內(nèi)容包括：二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達(dá)式，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決實(shí)際問題，等等.現(xiàn)選取2018年部分地區(qū)中考試題中一些經(jīng)典問題加以剖析，旨在與同學(xué)們共同研究二次函數(shù)在中考中的考查方向，并以此感受二次函數(shù)在學(xué)習(xí)中的魅力.

考點(diǎn)一 二次函數(shù)的表達(dá)式

例1 （2018·山東濟(jì)寧）如圖1，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），C（0，-3）.求該拋物線的解析式.

圖1

【解析】已知二次函數(shù)經(jīng)過不共線的3個(gè)點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式是常見問題，經(jīng)常要借助“待定系數(shù)法”來解決問題.即要確定函數(shù)解析式中幾個(gè)待定的系數(shù)，就相應(yīng)地需要幾個(gè)已知條件，并根據(jù)這些已知條件列出方程（組）求解.

方法一：

解：由函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），C（0，-3），得到關(guān)于 a，b，c的三元一次方程

∴該拋物線的解析式是y=x2-2x-3.

方法二：

解：由點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），可知點(diǎn)A，B是函數(shù)圖像與x軸相交的兩個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.

∴對稱軸是過點(diǎn)（1，0）且與y軸平行的直線.

∴設(shè)二次函數(shù)解析式是y=a（x-1）2+k（a≠0）.根據(jù)函數(shù)圖像經(jīng)過A（3，0），C（0，-3）兩點(diǎn)，得到關(guān)于a，k的二元一次方程組

∴該拋物線的解析式是y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

方法三：

解：由函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），可知點(diǎn)A，B是函數(shù)圖像與x軸相交的兩個(gè)交點(diǎn)，所以可設(shè)二次函數(shù)解析式是y=a（x-3）（x+1）（a≠ 0）.

由函數(shù)圖像經(jīng)過C（0，-3），得到關(guān)于a的一元一次方程：-3a=-3，解得：a=1.

∴該拋物線的解析式是y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3.

【點(diǎn)評】本題考查給定不共線的三點(diǎn)的坐標(biāo)確定一個(gè)二次函數(shù)，可以通過設(shè)二次函數(shù)解析式，再用待定系數(shù)法來解決.

考點(diǎn)二 二次函數(shù)圖像的平移

例2 （2018·江蘇淮安）將二次函數(shù)y=x2-1的圖像向上平移3個(gè)單位長度，得到的圖像所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是 .

【解析】二次函數(shù)y=x2-1經(jīng)過點(diǎn)（0，-1），而點(diǎn)（0，-1）向上平移3個(gè)單位長度是點(diǎn)（0，2）.

設(shè)平移后的二次函數(shù)表達(dá)式是y=x2-1+b.

∵平移后的二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（0，2），可得：b=3，

∴平移后的二次函數(shù)表達(dá)式是y=x2+2.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移與表達(dá)式之間的關(guān)系.二次函數(shù)圖像的平移的本質(zhì)就是二次函數(shù)圖像上的每一個(gè)點(diǎn)的平移.平移不改變圖像的形狀、大小，因此只需要通過特殊點(diǎn)的平移，即可求出新的函數(shù)表達(dá)式.

考點(diǎn)三 判斷二次函數(shù)頂點(diǎn)的位置

例3 （2018·陜西）對于拋物線y=ax2+（2a-1）x+a-3，當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，則這條拋物線的頂點(diǎn)一定在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】當(dāng)x=1時(shí)，y=a+2a-1+a-3=4a-4＞0，解得a＞1，則拋物線的開口向上.

故這條拋物線的頂點(diǎn)必在第三象限.

【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像特征來確定二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的位置.以從這個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)直接判斷橫、縱坐標(biāo)符號，從而判斷頂點(diǎn)坐標(biāo)所在象限.即根據(jù)二次函數(shù)的圖像特征和性質(zhì)，可分析出二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

考點(diǎn)四 二次函數(shù)的性質(zhì)

例4 （2018·河北）已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），（0，3），其對稱軸在y軸右側(cè)，有下列結(jié)論：

① 拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0）.

②方程ax2+bx+c=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

③-3＜a+b＜3.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】根據(jù)題意畫出草圖（如圖2）.

圖2

①∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），對稱軸在y軸右側(cè)，

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)必定大于1，不可能經(jīng)過（1，0），故①錯(cuò)誤.

②過（0，2）作x軸的平行線，如圖2所示，它與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程ax2+bx+c=2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故②正確.

③∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，3），

∴c=3，

∴二次函數(shù)解析式是y=ax2+bx+3.

當(dāng)x=1時(shí)，對應(yīng)的y值為a+b+3＞0，

∴a+b＞-3.

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），

∴a-b+c=0，∴b=a+c，

∴a+b=2a+c.

∵拋物線開口向下，

∴a＜0，∴2a+c＜c，即a+b＜3.

∴-3＜a+b＜3，故③正確.

綜上，正確的結(jié)論是②③兩個(gè)，故選擇C.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖像的位置與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)特征.畫出圖像，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像特征來分析題意是解決這類問題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)五 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例5 （2018·甘肅蘭州）某商家銷售一款商品，進(jìn)價(jià)每件80元，售價(jià)每件145元，每天銷售40件，每銷售1件需支付給商場管理費(fèi)5元.未來一個(gè)月（按30天計(jì)算），這款商品將開展“每天降價(jià)1元”的促銷活動，即從第一天起，每天的單價(jià)比前一天降1元，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品單價(jià)每降1元，每天銷售增加2件，設(shè)第x天（1≤x≤30且x為整數(shù)）的銷量為y件.

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）設(shè)第x天的利潤為w元，試求出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪一天的利潤最大？最大利潤是多少元？

【解析】解：（1）y=2x+40.

（2）w=（2x+40）（145-80-5-x）=-2（x-20）2+3200.∵1≤x≤30且x為整數(shù)，∴x=20時(shí)，w取得最大值，最大值為3200.故第20天的利潤最大，為3200元.

【點(diǎn)評】本題考查同學(xué)們能否在具體情境中建立二次函數(shù)模型、體會二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，以及運(yùn)用二次函數(shù)及其性質(zhì)解決最值等實(shí)際問題的能力.