鄭為勤

1 原題及命題意圖

在數(shù)軸上，把表示數(shù)1的點稱為基準點，記作點0'，對于兩個不同的點M和N，若點M，N到點0'的距離相等，則稱點M與點N互為基準變換點.

例如圖1，點M表示數(shù)-2，點Ⅳ表示數(shù)4，它們與基準點0'的距離都是3個單位長度，點M與點Ⅳ互為基準變換點.

（1）已知點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，點A與點B互為基準變換點.

①若a=3，則b= ▲ ，

②用含以的式子表示6，則b= ▲ ;

（2）對點A進行如下操作：先把點A表示的數(shù)乘以曇，再把所得數(shù)表示的點沿著數(shù)軸向左移動3個單位長度得到點B.若點A與點B互為基準變換點，求點A表示的數(shù);

（3）點P在點Q的左邊，點P與點Q之間的距離為8個單位長度，對Q點做如下操作：Q1為Q的基準變換點，將數(shù)軸沿原點對折后Q1的落點為Q2，Q為Q的基準變換點，將數(shù)軸沿原點對折后Q的落點為Q4，…，依此順序不斷地重復(fù)，得到Q5，Q6，…，Q，，若P與Q_4n兩點間的距離是4，直接寫出n的值，

根據(jù)聯(lián)考統(tǒng)一命題要求：本次期末考重點考查北師大2012版七年級上冊共6章，其內(nèi)容是“豐富的圖形世界”、“有理數(shù)及其運算”、“整式及其加減”、“基本平面圖形”、“一元一次方程”、“數(shù)據(jù)的收集與整理”，特別要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，命題預(yù)設(shè)，將最后一道題命題方向確定為以下兩個方面：一是要將本冊主要內(nèi)容融為一體的綜合度，以考查學(xué)生知識深度、廣度和融會貫通的能力;二是要圍繞數(shù)學(xué)核心知識，體現(xiàn)重要數(shù)學(xué)思想方法，以考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和運用數(shù)學(xué)的能力.

2 解題過程及評分標準

（1）①對于具體數(shù)值，點A表示的數(shù)是3，則這個點在基準點的右邊，與基準點的距離是2，因此點B在基準點左邊2個單位，表示的數(shù)是-1.

②通過絕對值的幾何意義來表示點A與基準點的距離|l-a|，點B與基準點的距離為|l-b|.根據(jù)基準變換的定義得：點A和點B一定分別在點1的

3 解題感悟

本題要考查的知識點包括：數(shù)軸上的點表示的數(shù);數(shù)軸上兩點的距離;絕對值;平移、對折變換;找規(guī)律;一元一次方程，是一道綜合性很強的題目，筆者在講解時嘗試結(jié)合認知策略教學(xué)，

認知策略是個體將其知識和技能用于問題情境的一些方法，這些問題有可能是個體早先未曾遇到過的，認知策略是“動腦”的方法，加涅通過研究前人的研究成果，總結(jié)出如下幾種認知策略：注意中的認知策略、編碼中的認知策略、提取策略、問題解決中的認知策略和思維認知策略，充分關(guān)注這些認知策略，能較完善地進行解題教學(xué).

3.1 注意中的認知策略

完成閱讀型考題，首先要過“閱讀”關(guān)，即審題，如果不在“閱讀”上要花時間，不仔細閱讀，就無法后續(xù)的解題，細節(jié)決定成敗，因此閱讀時應(yīng)不放過任何一個細節(jié)，研究表明，學(xué)習(xí)者通過應(yīng)用認知策略可練習(xí)控制自己在文本閱讀中的注意，注意的含義是選擇性知覺，也就是說，要突出將要在短時記憶中存貯和加工的那些特征，教會學(xué)生用適當?shù)姆枠俗⒅攸c，就能達到強調(diào)所呈現(xiàn)刺激的區(qū)別性特征，宋朝著名學(xué)者朱熹讀書時就十分喜歡在書上作各種記號，初讀、再讀、三讀都用不同顏色的筆圈點勾畫，他認為這樣能“漸漸向里尋到那精英處”，本題中有兩個新概念，一是基準點，二是基準變換點，理解基準變換的關(guān)鍵在于“距離相等”，對題目的關(guān)鍵字詞畫圈、畫線，真正領(lǐng)會題目給我們的解題暗示或提示.

3.2 提取策略

研究結(jié)果表明，許多學(xué)習(xí)者似乎都可以獲得詞匯表提取的歸類策略，即便是非常年幼的兒童也可能會習(xí)得它作為一種策略，可促進記憶的各種方法被命名為“元記憶”，僅就元記憶而言，包括表格、思維導(dǎo)圖等一些策略，做為一道以數(shù)軸背景的綜合題，本道試題通過變式可以延伸拓展到求兩點的距離、點的運動（相向或同向）等，本題應(yīng)用到的相關(guān)數(shù)軸的知識可以進行如下整理：

3.3 問題解決中的認知策略

當學(xué)生解決新問題時，他們學(xué)習(xí)的不僅是可應(yīng)用于那些問題的規(guī)則，而且是完成問題解決的一般方法，也就是說，他們學(xué)習(xí)了訓(xùn)練控制自身思維過程的方法，這些自我控制能力是思維認知策略，在進行問題解決中的認知策略研究時，懷特和維特羅克發(fā)現(xiàn)存在幾種認知策略，這些策略在性質(zhì)上具有一般性，大概可以應(yīng)用于多種問題.

3.3.1 首先也是最重要的策略，是探尋深層含義的策略

本題中，類比互為相反數(shù)的知識，互為相反數(shù)的兩個數(shù)表示在數(shù)軸上時，他們離開原點的距離相等，我們可以當作原點是他們的“基準點”，互為相反數(shù)的兩個數(shù)是關(guān)于原點的“基準變換點”互為相反數(shù)相加得0，類似的，本題中的“基準變換點”相加得2.

3.3.2 在問題解決研究中表現(xiàn)出來的第二種一般策略是采用局部目標的策略.成功的問題解決者不是一步登天，而是使用逐步的“爬山式”方法

對于剛進入初中的七年級學(xué)生來說，他們習(xí)慣用具體數(shù)值進行運算，缺乏用字母表示數(shù)的一般思維，在這個時候，我們能做的是在順應(yīng)學(xué)生思維習(xí)慣的基礎(chǔ)上，從具體到抽象緩慢過渡，讓學(xué)生會從特殊到一般的推廣.

對于第（3）小題，“若P與Q_4n兩點間的距離是4，直接寫出n的值”，說明“P與Q_4n兩點間的距離”與“n的值”有關(guān)，而與點P，Q的起始位置無關(guān)，此時，學(xué)生如果采用特殊值法逐個計算，也可得n的值，如：假設(shè)點P表示的數(shù)為3，則點Q表示的數(shù)為11.與點P距離4個單位的點表示的數(shù)為7和-l，依題意順序不斷變換，得到Q4 =7，Ql2=-1.即n的值為1和3.在羅列Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，Q6，…，Q_n的過程中，學(xué)生可直觀發(fā)現(xiàn)當奇數(shù)變換時，點Q向左移動2個單位，求得P與Q_4n兩點間的距離是4，需移動向左移動4個12個單位，完成這些后，再進一步用字母代替數(shù)，進行一般化思考，就能正確完整的解答了.

3.3.3 問題解決中另一個有用的策略是方法的靈活性.成功的問題解決者不會將自己限于一種思維方式中

3.3.4 第四種被識別出來的策略是部分綜合策略，問題解決者須能將“部分綜合成整體”

當點A表示的數(shù)是a，不少學(xué)生定勢思維把點a默認在原點右側(cè)，則點A與基準點的距離是以a-1.因此點B在基準點左側(cè)a-l個單位，表示的數(shù)是l-（a-1）= 2-a，這樣結(jié)果是正確的，但只考慮了點A的特殊情況（在基準點右側(cè)）.如果用分類討論的辦法，加上考慮當點A在基準點左側(cè)，點A與基準點的距離是l-a，因此點B在基準點右側(cè)l-a個單位，表示的數(shù)是l+（l-a）= 2-a，這樣思路就完整了，

當把以上部分綜合成整體，通過絕對值的幾何意義來表示點A， B與基準點的距離或者觀察題圖，根據(jù)題意，我們還可以知道，點0是線段MN的中點，也就是基準點是互為基準變換點組成線段的中點，由中點公式，得a+b/2也可能得結(jié)論.

掌握認知策略已成為衡量學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考的根本標志，解題教學(xué)的最終目的是“授人以漁”，我們常遇到的一類學(xué)生，上課聽得懂，課后自己獨立做題時，卻找不到思路，這樣的學(xué)生就是因為少了“策略性知識”，某些簡單的策略可以很快學(xué)會，但有的策略需要反復(fù)練習(xí)、應(yīng)用，只有堅持不懈，才有收到良好的效果，培養(yǎng)認知策略，必然在整個中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.