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        對一道課本例題的逆向探究

        2018-12-24 09:51:32孫承雄
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年6期
        關(guān)鍵詞:準(zhǔn)線對稱軸雙曲線

        孫承雄

        1 原題呈現(xiàn)

        人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第70頁有這樣一道例題(例5):過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D,求證:直線BD平行于拋物線的對稱軸.

        2 逆向探究

        如果把例題的條件、結(jié)論調(diào)換,那么得到它的逆命題是否仍為真命題呢?經(jīng)過仔細(xì)的探究,本文給出了肯定的回答,

        性質(zhì)1 過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,點D在拋物線的準(zhǔn)線上,若直線BD平行于拋物線的對稱軸,則直線AD經(jīng)過原點O.

        3 拓展延伸

        圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線,對拋物線成立的結(jié)論是否同樣適用于橢圓和雙曲線呢?經(jīng)過深入的研究,得到了下面的結(jié)果,

        性質(zhì)2 過橢圓焦點F的直線交橢圓于A,B兩點,點D在焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)線上,若直線BD平行于橢圓的對稱軸,則直線AD經(jīng)過定點(該定點是準(zhǔn)線與對稱軸的交點和焦點F的中點坐標(biāo)).

        當(dāng)曲線變?yōu)殡p曲線時,采用同樣的方法,也可以得到下面的結(jié)論:

        性質(zhì)3 過雙曲線焦點F的直線交雙曲線于A,B兩點,點D在焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)線上,若直線BD平行于雙曲線的對稱軸,則直線AD經(jīng)過定點(該定點是準(zhǔn)線與對稱軸的交點和焦點F的中點坐標(biāo)).

        4 一般性的結(jié)論

        通過上面的討論,我們可以得出,圓錐曲線中與焦點、準(zhǔn)線有關(guān)的一般性的性質(zhì):過圓錐曲線焦點F的直線交圓錐曲線于A,B兩點,點D在焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)線上,若直線BD平行于圓錐曲線的對稱軸,則直線AD經(jīng)過定點(該定點是準(zhǔn)線與對稱軸的交點和焦點F的中點坐標(biāo)).

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