孫承雄
1 原題呈現(xiàn)
人教A版《數(shù)學(xué)》(選修2-1)第70頁有這樣一道例題(例5):過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D,求證:直線BD平行于拋物線的對稱軸.
2 逆向探究
如果把例題的條件、結(jié)論調(diào)換,那么得到它的逆命題是否仍為真命題呢?經(jīng)過仔細(xì)的探究,本文給出了肯定的回答,
性質(zhì)1 過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,點D在拋物線的準(zhǔn)線上,若直線BD平行于拋物線的對稱軸,則直線AD經(jīng)過原點O.
3 拓展延伸
圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線,對拋物線成立的結(jié)論是否同樣適用于橢圓和雙曲線呢?經(jīng)過深入的研究,得到了下面的結(jié)果,
性質(zhì)2 過橢圓焦點F的直線交橢圓于A,B兩點,點D在焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)線上,若直線BD平行于橢圓的對稱軸,則直線AD經(jīng)過定點(該定點是準(zhǔn)線與對稱軸的交點和焦點F的中點坐標(biāo)).
當(dāng)曲線變?yōu)殡p曲線時,采用同樣的方法,也可以得到下面的結(jié)論:
性質(zhì)3 過雙曲線焦點F的直線交雙曲線于A,B兩點,點D在焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)線上,若直線BD平行于雙曲線的對稱軸,則直線AD經(jīng)過定點(該定點是準(zhǔn)線與對稱軸的交點和焦點F的中點坐標(biāo)).
4 一般性的結(jié)論
通過上面的討論,我們可以得出,圓錐曲線中與焦點、準(zhǔn)線有關(guān)的一般性的性質(zhì):過圓錐曲線焦點F的直線交圓錐曲線于A,B兩點,點D在焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)線上,若直線BD平行于圓錐曲線的對稱軸,則直線AD經(jīng)過定點(該定點是準(zhǔn)線與對稱軸的交點和焦點F的中點坐標(biāo)).