黃如炎

有些難度較大的不等式（最值）問題，表面看似與函數(shù)無關(guān)但背后往往蘊藏著某個函數(shù)，如能揭示所隱含的函數(shù)，通過研究函數(shù)的性質(zhì)與圖象可化難為易，此類不等式（最值）問題在近年高考壓軸題、競賽題和數(shù)學問題中時有出現(xiàn)，學生不知所措，束手無策，應(yīng)引起教師教學上的重視，運用函數(shù)思想方法解決非函數(shù)型不等式（最值）問題的關(guān)鍵在于根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特征或?qū)⒉坏仁阶冃无D(zhuǎn)化后構(gòu)建以某個量為自變量的函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值、切線和圖象后使問題獲解，探尋與構(gòu)建不等式中蘊藏函數(shù)的方法機智靈活多樣，主要有以下幾種情境與對策.

方法提煉 對某些多元對稱不等式，可利用不等式等號成立時函數(shù)取得極值探尋不等式g（a）≥h（a），即構(gòu)建函數(shù)f（x）=g（x）一h（x）解決問題，此方法比利用切線尋找函數(shù)的一次估計式更具有一般性.

例8[2] （《數(shù)學通報》數(shù)學問題2080）正數(shù)a，b，c滿足a+ 2b+ 3c≤abc，求5a+ 22b+c最小值.

本問題難度較大，引起了許多中數(shù)研究者的關(guān)注和探究，問題提供人是在賦予a ，b，c具體值的情況下設(shè)置本問題，可根據(jù)已知a，b，c值和均值不等式取等號的條件對式子進行變形配湊后用均值不等式求出最值[3]，但在外人看來這種變形分拆神秘莫測，文獻[4～6]通過待定系數(shù)法、算術(shù)平均不等式、加權(quán)冪平均不等式等方法進行探究，雖然揭開了命題者解題的神秘面紗，但都涉及到多元高次方程，求解過程十分艱難，下面通過構(gòu)建函數(shù)既輕松解決問題又開啟新的思維方式.

方法提煉 對某些關(guān)于a，b，c式子最值，可先構(gòu)建關(guān)于某個字母的函數(shù)f（x，b，c）（或f（x，a ，c），f（x，a，b）），利用導數(shù)求出最值g（b，c）（或g（a，c），g（a，b0）），再構(gòu)建函數(shù)g（x，c）（或g（x，a），g（x，b）），利用導數(shù)求出最值h（c）（或h（a），h（b）），再求出h（c）（或h（a），h（b））最值.

《普通高中數(shù)學課程標準》 （2017年版）對學生的邏輯推理素養(yǎng)水平的要求包括：“對于新的數(shù)學問題，能夠提出不同的假設(shè)前提，推斷結(jié)論，形成數(shù)學命題;對于較復雜的數(shù)學問題，能夠通過構(gòu)建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題”[7].解決難度較大的數(shù)學問題，往往需要提出某個假設(shè)或引理，構(gòu)建函數(shù)是提出假設(shè)和引理的有效途徑之一，在非函數(shù)型不等式（最值）問題中，通過探尋與構(gòu)建函數(shù)合乎情理地探求不等式求證（解）思路，有助于培養(yǎng)學生理性思維和高水平邏輯推理素養(yǎng).

參考文獻

[1]黃兆麟.數(shù)學問題2298解答[J].數(shù)學通報，2016（5）：64

[2]黃兆麟.數(shù)學問題2080解答[J].數(shù)學通報，2012 （9）：封底

[3]黃兆麟.2080號題是這樣編出來的[J].數(shù)學通訊（下半月），2015 （11）：39-61

[4]王淼生.追尋數(shù)學問題2080解答本來面目[J].數(shù)學通報，2013 （11）：58-61

[5]楊先義.也談數(shù)學通報數(shù)學問題2080的解答[J].數(shù)學通訊（下半月），2014（11）：31-34

[6]張青山.對數(shù)學問題2080的探究[J].數(shù)學通報，2016 （12）： 52-54

[7]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2017