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        解題豈一法 尋思求百通

        2018-12-23 07:17:32王紹偉
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年9期
        關(guān)鍵詞:最值單調(diào)例題

        王紹偉

        我們知道,數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)是圍繞問題展開的,探究性活動(dòng)始發(fā)于問題,推進(jìn)于問題,發(fā)展于問題,能力的提高、方法的提煉、思想的升華,都有賴于問題,如何進(jìn)行好每一堂例題習(xí)題教學(xué)課,成了當(dāng)務(wù)之急,成了重中之重,下面談?wù)劰P者在例題教學(xué)中的三個(gè)做法,打趣稱之為例題教學(xué)的“三駕馬車”.

        1 一題多變 深入題后

        人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象、問題的過程,是一個(gè)漸進(jìn)式的過程,是從認(rèn)識(shí)最簡單的問題開始,由淺入深逐步發(fā)展到對(duì)問題之間的相互關(guān)系及它們的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí),一題多變主要指對(duì)問題進(jìn)行類比、拓展、延伸等加工,形成問題鏈,抽絲剝繭,幫助學(xué)生深刻理解問題,以更高的觀點(diǎn)審視數(shù)學(xué),以更靈活的方法解答問題,扎根基礎(chǔ),依托基礎(chǔ),但入乎其內(nèi),出乎其外,落地生根,枝繁葉茂,以下是筆者在一節(jié)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)課上的例題設(shè)置.

        例1已知函數(shù)f(x)= Inx—x2+ ax,其中a∈R.

        (1)當(dāng)a=l時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

        (2)討論f(x)的單調(diào)性;

        (3)若函數(shù)f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,試求以的取值范圍;

        (4)若函數(shù)f(x)在(0,2]上存在單調(diào)遞減區(qū)間,試求a的取值范圍;

        (5)若函數(shù)f(x)在(0,2]上不單調(diào),試求以的取值范圍;

        (或若函數(shù)f (x)在(0,2]上存在極值,試求以的取值范圍)

        (6)設(shè)函數(shù)f(x)與直線y=2x相切,求實(shí)數(shù)以的值;

        (7)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)D(1,f(1))處的切線為,,證明:函數(shù)f (x)圖象上的點(diǎn)都不在直線,的上方;

        (8)若函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)以的取值范圍;

        (9)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);實(shí)踐證明,通過設(shè)置問題鏈,能使處于不同層次的學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究欲,極大地拉近了教師與各個(gè)層次學(xué)生之間的距離,提高師生合作交流的效率,在本例中,(1)-(5)主要討論函數(shù)的單調(diào)性問題,(6)-(7)則側(cè)重研究函數(shù)的切線問題,(8)-(12)著重關(guān)注函數(shù)零點(diǎn)問題,同一個(gè)函數(shù)模型,不同的考查角度,內(nèi)在邏輯自然和諧,使學(xué)生在感受數(shù)學(xué)自然、親切的同時(shí),產(chǎn)生“看個(gè)究竟”的學(xué)習(xí)熱情;在將數(shù)學(xué)知識(shí)理解得清澈見底的同時(shí),欣賞到數(shù)學(xué)妙不可言的至簡之美.

        2 一題多解 授之以漁

        一題多解,是指用同一個(gè)問題揭示不同方面的知識(shí)和方法,將零星散落的知識(shí)、方法串聯(lián)起來,自然流暢、水到渠成地形成有機(jī)立體的知識(shí)體系,這樣,學(xué)生在思考問題時(shí)也能多方向、多角度、多手段、多途徑入手,思路也就不會(huì)只局限于教材或教師現(xiàn)有的理解,在常規(guī)解法的基礎(chǔ)上會(huì)盡可能多地提出新穎的見解.

        筆者在講解2017年高考全國Ⅱ卷理科17題時(shí),照例對(duì)原問題進(jìn)行變式教學(xué),以下是筆者對(duì)其中一個(gè)變式問題講解過程.

        至此,我們從三個(gè)不同側(cè)面解決了同一個(gè)最值問題,解法1從余弦定理入手,將問題轉(zhuǎn)化為定值條件下的最值問題,走均值不等式求解最值問題的解題路線;解法2則從正弦定理入手,將目標(biāo)函數(shù)改寫成以A為自變量的函數(shù),走利用函數(shù)模型求解最值問題的解題路線;解法3則從圖形入手,觀察發(fā)現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中的變量與不變量,由圖可知目標(biāo)函數(shù)的變化趨勢(shì),直接確定最值位置,走數(shù)形結(jié)合求解最值問題的解題路線,事實(shí)上,這是高中階段求解最值問題的三個(gè)常見切入方向,在同一道題中如此和諧地統(tǒng)一在一起,真正做到了知識(shí)呼應(yīng)、方法遞進(jìn)、思想延續(xù),這樣講題,于學(xué)生而言,才是終身受益.

        由于教材是螺旋式上升編寫的,而高三一輪復(fù)習(xí)是各板塊知識(shí)相對(duì)綜合的應(yīng)用過程,這里的綜合既可以是知識(shí)的綜合,也可以是方法的綜合,在教學(xué)過程中,要幫助學(xué)生縱向打通各個(gè)模塊之間的聯(lián)系,就要將平時(shí)訓(xùn)練中的分解動(dòng)作在思想方法指引下連貫起來,以期融會(huì)貫通,提升能力,達(dá)到高考要求,正所謂,解題豈一法,尋思求百通.

        3 多題歸一 大道至筒

        這里的“一”指的是具有普遍意義和廣泛遷移性的“含金量”較高的策略性知識(shí),數(shù)學(xué)題不是一座座“獨(dú)木橋”,而是錯(cuò)綜復(fù)雜的“立交橋”,教師要引導(dǎo)學(xué)生不僅弄清它從哪里來,可以怎么解決,還能有怎樣的延伸,以及它背后的“大家庭”,樹高千丈也要葉落歸根,無論問題如何變化,解題思想?yún)s是高度統(tǒng)一的,這就要求教師在課堂教學(xué)中,以思想方法為主線,將知識(shí)方法串聯(lián)起來,把問題所蘊(yùn)涵的孤立的知識(shí)“點(diǎn)”擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”,透過眼花繚亂的解題方法,抓住思想本質(zhì),返璞歸真.

        上述例2和例3本質(zhì)上都是最值問題,雖然一個(gè)以三角函數(shù)為載體,另一個(gè)以解析幾何為載體,表面上毫無關(guān)聯(lián),但事實(shí)上,求解過程中不僅你中有我,我中有你,而且求解過程蘊(yùn)涵的思想方法如出一轍,在解題過程中,我們除了分析具體每道題的解題思路外,更應(yīng)該充分總結(jié)和提煉解決此類問題的思想方法,久而久之,學(xué)生認(rèn)知水平必然逐步提高,知識(shí)鏈條有機(jī)聯(lián)系,思想方法立體綜合,正是這些思想的指引,才讓我們?cè)诿鎸?duì)浩瀚的題海,能以一敵百,返璞歸真,以不變應(yīng)萬變,限于篇幅,不再舉例贅述.

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