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        2017年高考全國l卷理科20題的分析與探究

        2018-12-23 07:17:32冷東輝
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年9期
        關(guān)鍵詞:探究思想學(xué)生

        冷東輝

        高考全國卷中解析幾何解答題是每年必考的內(nèi)容,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中有關(guān)定點定值問題頻頻出現(xiàn),對學(xué)生而言,期望的是:這類試題如何求解的?是否有方法可依?對教師而言,關(guān)注的是:這類試題是怎樣命制的?是否有規(guī)律可循?現(xiàn)對2017年高考全國I卷理第20題進(jìn)行分析探究,希望能對一線教師的教學(xué)提供參考.

        2 試題解析

        本題條件簡單清晰,表述言簡意賅,具有“低起點、寬入口、多層次、好區(qū)分”的特點,本題考查橢圓的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法,考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力,

        本題第(1)問是解析幾何常見的待定系數(shù)法求曲線方程問題,設(shè)問較新穎,考查橢圓的基本知識,涉及的是解析幾何的最基本方法,難度不高,不同層次的考生皆可以順利解決問題,試題第(2)問的證明過程涉及的變量雖然很多,但應(yīng)用的是解析幾何基本知識與基本思想,本題注重通性通法,既為不同基礎(chǔ)和能力的考生搭建能力活動平臺,也使解析幾何的思想方法在解答過程中得以完整展示,比較充分地考查了考生的邏輯思維能力、應(yīng)用解析幾何的思想解決問題的能力以及代數(shù)運(yùn)算的能力,

        考生的典型錯誤有以下方面:

        (1)粗心審題:在第(1)問中,將四點P1,P2,P3,P4四點都代入橢圓方程,并正確求出a,b,沒對P1的位置作出說明;

        (3)邏輯思維不嚴(yán)密:在第(2)問中,未討論直線l與x軸垂直的情形,缺少分類討論的思想,只考慮用韋達(dá)定理,沒有考慮到判別式是否大于0這個前提.

        探究是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線,定點定值問題是揭示幾何運(yùn)動變化中的不變量問題,展示了數(shù)學(xué)的美,本題第(2)問有較好的探究價值,是非常不錯的訓(xùn)練素材,在日常教學(xué)中我們教師要給予充分的重視,下面從不同的角度進(jìn)行變式探究,尋求在動態(tài)的“變”中隱含定點定值“不變”的問題.

        3 變式探究

        (1)如果把該題中的“若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1”,改變?yōu)椤叭糁本€P2A與直線P2B的斜率之和為l”,直線l是否過定點?

        (2)如果把該題中的“若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1”,改變?yōu)椤叭糁本€P2A與直線P2B的斜率之和為0”,直線l是否過定點?

        (3)如果把該題中的“設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點,若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-l”,改變?yōu)椤霸O(shè)直線l不經(jīng)過P4點且與C相交于A,B兩點,若直線P4A與直線P4B的斜率之和為-l”,直線l是否過定點?

        (4)如果把該題中的“設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點,若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-l”,改變?yōu)椤霸O(shè)直線,不經(jīng)過P4點且與C相交于A,B兩點,若直線P4A與直線P4B的斜率之和為l”,直線,是否過定點?

        (5)如果把該題中的“設(shè)直線7不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點,若直線P2A與直線P2B的斜率之和為一l”,改變?yōu)椤霸O(shè)直線l不經(jīng)過P4點且與C相交于A,B兩點,若直線P4A與直線P4B的斜率之和為0”,直線l是否過定點?

        數(shù)學(xué)教育家波利亞說過“在你找到第一個蘑菇時繼續(xù)觀察,就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇”,由題目中斜率之和為-l我們猜想斜率和為0或l時結(jié)論是否也成立,進(jìn)而猜想斜率之和為任意實數(shù)λ時是否可得出一致結(jié)論,然后再由橢圓上一個定點P2過渡到橢圓上另一點P4、任意一點P,再將上述猜想應(yīng)用到橢圓的一般形式中,得到一系列變式,探究能否得出一般性結(jié)論,變式逐步深入,由易到難,體現(xiàn)著由特殊到一般的數(shù)學(xué)推理思想,試題的演變過程不僅符合學(xué)生邏輯思維的發(fā)展過程,也引導(dǎo)學(xué)生掌握處理此類問題的基本方法,大膽假設(shè),小心求證,明澈思維,啟迪心智.

        5 試題啟示

        從近幾年的高考全國卷來看,解析幾何試題總是源于教材高于教材,又能給人似曾相識的感覺,因此,在日常教學(xué)中教師應(yīng)立足于教材,精選典型的例題習(xí)題,進(jìn)行變式、延伸、拓展,加強(qiáng)對數(shù)學(xué)問題的深入探究,波利亞說過:“一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目,還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面,在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中,提高他們的才智與推理能力,”這種思想的實質(zhì)就是變式教學(xué)思想,通過變式教學(xué),有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”的本質(zhì)中探求“變”的規(guī)律,通過變式教學(xué)讓學(xué)生對問題進(jìn)行多角度、多層次的拓展和探究,使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時能夠舉一反三,會思考、會拓展,變式的方面包括問題的弱化強(qiáng)化、問題的正反面互換、問題的縱橫向類比、問題的特殊和一般,總之,采用變式教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行靈活變換,可使學(xué)生觸類旁通,提高學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力,進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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