王金芝

摘要：主要研究網(wǎng)狀拉格朗日映射與勒讓德映射的一般性.目的是給出焦散線與波前的一般分類。焦散的描述是從拓?fù)淇臻g到結(jié)構(gòu)空間拉格朗日子流形的臨界值集合。拉格朗日和勒讓德奇點(diǎn)在微分幾何許多問題當(dāng)中都可以找到，其中最成功的應(yīng)用之一是對焦散線與波前奇異性的研究。

關(guān)鍵詞：焦散線 波前 穩(wěn)定性 臨界值 拉格朗日與勒讓德奇點(diǎn)

中圖分類號：O346 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-5349（2018）18-0253-03

奇點(diǎn)理論仍處于快速發(fā)展的狀態(tài)，奇點(diǎn)理論最成功的應(yīng)用之一是研究焦散線與波前傳播的奇點(diǎn)及分岔。拉格朗日和勒讓德奇點(diǎn)在微分幾何許多問題當(dāng)中都可以找到，其中最成功的應(yīng)用之一是對焦散線與波前奇異性的研究。例如：在黎曼流形中由余切叢的某點(diǎn)定義拉格朗日子流形。在1-射流點(diǎn)定義勒讓德子流形，由超曲面生成的焦散被稱為拉格朗日限制。因此，對光滑超曲面產(chǎn)生的焦散線和波前的研究歸結(jié)為拉格朗日和勒讓德奇點(diǎn)的研究。研究了當(dāng)超曲面有邊界，角或r-角的一般情況。在這些情況下，從超曲面任意邊界進(jìn)入的粒子在余切叢點(diǎn)上給出辛正則的r-立方結(jié)構(gòu)。這是拉格朗日子流形概念的推廣。本文通過研究網(wǎng)狀拉格朗日的穩(wěn)定性，研究具有r-角的超曲面芽產(chǎn)生的焦散線和波前的穩(wěn)定性，概括了勒讓德概念。

討論r-角超曲面生成的焦散線和波前的一般性。為了實現(xiàn)這個目的，將研究網(wǎng)狀拉格朗日、勒讓德映射的一般性。在這些過程當(dāng)中，需要證明網(wǎng)狀拉格朗日，勒讓德映射的穩(wěn)定性和橫向穩(wěn)定性的等價性。

本文由兩部分組成，在第一部分中，給出網(wǎng)狀拉格朗日和勒讓德映射理論。在第二部分中，研究網(wǎng)狀拉格朗日和勒讓德映射的一般性。將研究網(wǎng)狀拉格朗日和勒讓德映射的有限決定性。

一、網(wǎng)狀拉格朗日奇點(diǎn)

在簡單地描述了拉格朗日奇點(diǎn)理論的基本概念之后，定義拉格朗日子流形芽之間的一個自然等價關(guān)系。設(shè)i和i'是拉格朗日子流形芽。如果存在一個微分同胚芽和一個辛微分同胚芽，則稱i和i'具有拉格朗日等價關(guān)系。如果是一個微分同胚芽則稱之為辛微分同胚芽。也可以稱i和i'具有焦散等價關(guān)系。由定義，如果i和i'具有拉格朗日等價關(guān)系則i和i'具有焦散等價關(guān)系。一般來說，反之不成立。這就是為什么到目前為止還沒有對拉格朗日等式進(jìn)行幾何解釋的原因。這是拉格朗日子流形芽的拉格朗日穩(wěn)定性的概念。這里，我們不需要確切的定義及省略了定義。

如果對于 ，則稱（T* Rn，0）上的辛微分同胚φ是網(wǎng)狀微分同胚。如果存在網(wǎng)狀微分同胚φ和π的拉格朗日等價性Θ。

由于在[1]的定義中，不存在網(wǎng)狀微分同胚是辛微分同胚的條件。但在[1]中定義的網(wǎng)狀微分同胚含兩個辛微分同胚的組成。L限制和拉格朗日等價。從而定義等價于[1]中的定義。

如

參考文獻(xiàn)：

[1]T. Tsukada， Reticular Lagrangian Singularities， Asian[J].Math，1997（1）：572-622.

[2]T. Tsukada， Reticular Legendrian Singularities， Asian [J].Math，2001（5）：1109-127.

[3]V.I. Arnold， S.M. Gusuein-Zade， and A.N. Varchenko， Singularities of Differentiable Maps I， Birkhauser[J].Math，1985.

[4]G. Ishikawa， Transversalities for Lagrange singularities of isotropic mapping of corank one，Banach Center Publ[J].Math，1996（33）：93-104.

[5]G. Ishikawa， Infinitesimal deformations and stability of singular Legendre submanifolds， Asian[J].Math，2005（9）：1，133-166.

[6]I. Scherback， Boundary Fronts and Caustics and their Metamorphoses[M].Singularities： Lille，1991：363.

[7]S. Janeczko， Generalized Luneburg canonical varieties and vector fields on quasicaustics[J].Journal of Mathematical Physics，1990（31）：997-1009.

[8]V. M. Zakalyukin， Lagrangian and Legendrian singularities[M].Funct. Anal. Appl，1976：23-31.

[9]V. I. Arnold， Singularities of caustics and wave fronts[M].Kluwer：Dordrecht，1990.

[10]V. I. Arnold， Singularities of Caustics and Wave Fronts[J].Kluer Academic Publishers，Dordrecht，1990.

[11]G. Ishikawa， Determinacy， transversality and Lagrange stability， Banach Center Publ[J].1999（50）：123-135.

責(zé)任編輯：楊國棟