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        對(duì)焦散線與波前傳播理論的研究

        2018-12-21 03:14:18王金芝
        現(xiàn)代交際 2018年18期
        關(guān)鍵詞:穩(wěn)定性

        王金芝

        摘要:主要研究網(wǎng)狀拉格朗日映射與勒讓德映射的一般性.目的是給出焦散線與波前的一般分類。焦散的描述是從拓?fù)淇臻g到結(jié)構(gòu)空間拉格朗日子流形的臨界值集合。拉格朗日和勒讓德奇點(diǎn)在微分幾何許多問(wèn)題當(dāng)中都可以找到,其中最成功的應(yīng)用之一是對(duì)焦散線與波前奇異性的研究。

        關(guān)鍵詞:焦散線 波前 穩(wěn)定性 臨界值 拉格朗日與勒讓德奇點(diǎn)

        中圖分類號(hào):O346 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1009-5349(2018)18-0253-03

        奇點(diǎn)理論仍處于快速發(fā)展的狀態(tài),奇點(diǎn)理論最成功的應(yīng)用之一是研究焦散線與波前傳播的奇點(diǎn)及分岔。拉格朗日和勒讓德奇點(diǎn)在微分幾何許多問(wèn)題當(dāng)中都可以找到,其中最成功的應(yīng)用之一是對(duì)焦散線與波前奇異性的研究。例如:在黎曼流形中由余切叢的某點(diǎn)定義拉格朗日子流形。在1-射流點(diǎn)定義勒讓德子流形,由超曲面生成的焦散被稱為拉格朗日限制。因此,對(duì)光滑超曲面產(chǎn)生的焦散線和波前的研究歸結(jié)為拉格朗日和勒讓德奇點(diǎn)的研究。研究了當(dāng)超曲面有邊界,角或r-角的一般情況。在這些情況下,從超曲面任意邊界進(jìn)入的粒子在余切叢點(diǎn)上給出辛正則的r-立方結(jié)構(gòu)。這是拉格朗日子流形概念的推廣。本文通過(guò)研究網(wǎng)狀拉格朗日的穩(wěn)定性,研究具有r-角的超曲面芽產(chǎn)生的焦散線和波前的穩(wěn)定性,概括了勒讓德概念。

        討論r-角超曲面生成的焦散線和波前的一般性。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的,將研究網(wǎng)狀拉格朗日、勒讓德映射的一般性。在這些過(guò)程當(dāng)中,需要證明網(wǎng)狀拉格朗日,勒讓德映射的穩(wěn)定性和橫向穩(wěn)定性的等價(jià)性。

        本文由兩部分組成,在第一部分中,給出網(wǎng)狀拉格朗日和勒讓德映射理論。在第二部分中,研究網(wǎng)狀拉格朗日和勒讓德映射的一般性。將研究網(wǎng)狀拉格朗日和勒讓德映射的有限決定性。

        一、網(wǎng)狀拉格朗日奇點(diǎn)

        在簡(jiǎn)單地描述了拉格朗日奇點(diǎn)理論的基本概念之后,定義拉格朗日子流形芽之間的一個(gè)自然等價(jià)關(guān)系。設(shè)i和i'是拉格朗日子流形芽。如果存在一個(gè)微分同胚芽和一個(gè)辛微分同胚芽,則稱i和i'具有拉格朗日等價(jià)關(guān)系。如果是一個(gè)微分同胚芽則稱之為辛微分同胚芽。也可以稱i和i'具有焦散等價(jià)關(guān)系。由定義,如果i和i'具有拉格朗日等價(jià)關(guān)系則i和i'具有焦散等價(jià)關(guān)系。一般來(lái)說(shuō),反之不成立。這就是為什么到目前為止還沒有對(duì)拉格朗日等式進(jìn)行幾何解釋的原因。這是拉格朗日子流形芽的拉格朗日穩(wěn)定性的概念。這里,我們不需要確切的定義及省略了定義。

        如果對(duì)于 ,則稱(T* Rn,0)上的辛微分同胚φ是網(wǎng)狀微分同胚。如果存在網(wǎng)狀微分同胚φ和π的拉格朗日等價(jià)性Θ。

        由于在[1]的定義中,不存在網(wǎng)狀微分同胚是辛微分同胚的條件。但在[1]中定義的網(wǎng)狀微分同胚含兩個(gè)辛微分同胚的組成。L限制和拉格朗日等價(jià)。從而定義等價(jià)于[1]中的定義。

        參考文獻(xiàn):

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        [5]G. Ishikawa, Infinitesimal deformations and stability of singular Legendre submanifolds, Asian[J].Math,2005(9):1,133-166.

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        責(zé)任編輯:楊國(guó)棟

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