曾建國(guó)

(贛南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 341000)

1 引言

文獻(xiàn)[1]載有三角形的兩個(gè)共線點(diǎn)定理(圖1)：

性質(zhì)1過(guò)一點(diǎn)O對(duì)直線OA，OB，OC作垂線，與△ABC的對(duì)邊交于三個(gè)共線點(diǎn)(圖1).

圖1

圖2

性質(zhì)2如果XYZ，X′Y′Z′是△ABC的任意兩條截線，則直線YZ′，ZX′，XY′與BC，CA，AB交于三個(gè)共線點(diǎn)(即圖2中X1,Y1,Z1共線).

本文將這兩個(gè)性質(zhì)引申至三維空間，證明關(guān)于四面體的兩個(gè)共面點(diǎn)定理.

2 性質(zhì)1的引申及證明

性質(zhì)1可引申推廣為：

定理1過(guò)四面體ABCD的棱CD，DA，AB，BC作與已知平面π垂直的平面π1，π2，π3，π4，分別與對(duì)棱AB，BC，CD，DA交于點(diǎn)X，Y，Z，W，則X，Y，Z，W四點(diǎn)共面.

圖3

證明如圖3，依題設(shè)，過(guò)CD與平面π垂直的平面π1交AB于X，過(guò)AB與平面π垂直的平面π3交CD于Z，則有X∈平面π1，而Z∈CD?平面π1，表明直線XZ?平面π1；又Z∈平面π3，而X∈AB?平面π3，表明直線XZ?平面π3，由此可知直線XZ是平面π1與π3的交線，注意到平面π1與π3均與平面π垂直，因此XZ⊥平面π.

同理可證，WY是平面π2與π4的交線，且WY⊥平面π.因此有XZ∥WY，故此X，Y，Z，W四點(diǎn)共面.證畢.

3 性質(zhì)2的引申及證明

性質(zhì)2可引申推廣為：

圖4

定理2在四面體ABCD中，作兩個(gè)平面π，π′分別與AB，BC，CD，DA交于點(diǎn)X，Y，Z，W和點(diǎn)X′，Y′，Z′，W′，設(shè)平面YZW′交AB于X1，平面ZWX′交BC于Y1，平面WXY′交CD于Z1，平面XYZ′交DA于W1，則X1,Y1,Z1,W1四點(diǎn)共面.

定理2的證明需要下面的引理：

定理2的證明

如圖4，由X，Y，Z，W四點(diǎn)共面及引理中的必要性知

①

同理，由X′，Y′，Z′，W′四點(diǎn)共面有

②

由X1，Y，Z，W′四點(diǎn)共面有

③

由X′，Y1，Z，W四點(diǎn)共面有

④

由X，Y′，Z1，W四點(diǎn)共面有

⑤

由X，Y，Z′,W1四點(diǎn)共面有

⑥

將③④⑤⑥四式兩邊分別相乘，并注意到①、②式就得

根據(jù)引理中的充分性知X1，Y1，Z1，W1四點(diǎn)共面.證畢.

4 結(jié)語(yǔ)

最后順便指出，本文中三角形的性質(zhì)1其實(shí)有多種方式引申至三維空間，定理1只是選擇了其中一種方式引申所得.有興趣的讀者可以嘗試其他方式對(duì)它進(jìn)行引申推廣，或許能得到更加優(yōu)美、有趣的結(jié)論.