頓繼安

(北京教育學院數(shù)學系 100120)

運算是數(shù)學中的重要內(nèi)容，數(shù)學運算能力自上個世紀六十年代以來一直是我國數(shù)學課程確定的三大能力之一，在最近剛剛頒布的高中課程標準中，“運算素養(yǎng)”亦被定為六項數(shù)學核心素養(yǎng)之一.我國的數(shù)學教育實踐在運算方面的做法和成就令人矚目，其中，“運算速度保證思維效率”被認為是我國“雙基教學”特征之一[1].一項針對六年級學生的中美比較研究發(fā)現(xiàn)[2]，中國學生計算題的得分率顯著高于美國學生.但是這個研究中另一個數(shù)據(jù)也引人深思：20道計算題中，美國學生的得分超過中國學生的僅是一道選擇題：

5+(-4)等于幾？

A.1 B.-1 C.9 D.-9

兩國學生在這個年級都沒有學過有負數(shù)參與的加法，面對沒有現(xiàn)成知識可用的問題，美國學生的得分高于中國學生，美國學生明顯更愿意冒險去解決這個問題.這個調(diào)查也從某種程度說明，我國學生擅長運用現(xiàn)成的法則運算，但自主利用已有知識構建新運算法則的能力不足，這種不足可能與教學中“有些教師不關心解釋，只服從規(guī)定”[3]有關，而新近提出的數(shù)學運算素養(yǎng)“是旨在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)”，關注的也是學生如何應用現(xiàn)成的運算法則靈活地解決問題，并未提及學生建構新的運算法則的過程.

運算法則是數(shù)學運算的核心，它的得出過程同樣值得關注，筆者的研究表明，中學數(shù)學中一類新運算法則的形成過程的特點，使得其具有獨特的價值，本文擬對此進行探討.

1 對象拓展型新運算概念及其教育價值

1.1 對象拓展型新運算概念的提出

中學數(shù)學學習的新運算中，有些是全新的，其內(nèi)涵、名稱、符號學生都是首次見到，例如乘方、開方、對數(shù)運算等.但有些新運算并非全新，例如有理數(shù)加法，其運算名、運算符號都是學生熟悉的，只是參與運算的對象是新的，我們稱這種僅是運算對象變化了的新運算為對象拓展型新運算，這樣的新運算在中學數(shù)學中很多，比如，有理數(shù)的四則運算、實數(shù)的四則運算、乘方運算、復數(shù)的加減運算、向量的加減運算等都屬于對象拓展型新運算.

對象拓展型新運算知識的特點決定了其具有獨特的教育價值，而這些價值的揭示需要相應的教學思路.

1.2 對象拓展型新運算的教育價值

作為一個概念，對象拓展型新運算并不屬于數(shù)學本體性知識的范疇，而是屬于數(shù)學學科教學知識(MPCK)，它概括了一類運算知識的形成特點，揭示了一些不同的具體運算間的更上位、更深層的聯(lián)系，認識到這種聯(lián)系將會對教師的教和學生的學都會產(chǎn)生影響.實際上，這一概念的提出，也源自筆者在教學實踐中觀察到的學生在面對這類新運算問題時，由于不能把握這類運算問題“對象拓展”的特點而導致的自主性缺失的現(xiàn)象.

請看一個案例.

案例沒學過，我不會

“冪的乘法”一課，在等待上課的時候，筆者瀏覽了一下教師的學案，看到了一組位于大小為B4的學案紙的中部的一組題目：

(1)78×75； (2)(-2)2(-2)5；

(3)(0.5)4(0.5)3; (4)(x+y)2(x+y)

在教師的教學設計中，這幾個題目是得到同底數(shù)冪的運算法則后的一組習題，筆者請身邊的一位同學試著做一下這組題目，沒想到該生非常干脆得拒絕了：“老師，沒學過，我不會”.

執(zhí)教的數(shù)學老師走過來，鼓勵他道：你是咱班數(shù)一數(shù)二的學生，能不會嗎？試試看！

該生說：老師，這個還沒學過呢，我真的不會！

筆者指著其中的第一題，問他：你先說一說，這題讓你干什么呢？

該生說：要做乘法.

筆者問：那你說說，這里78是什么意思？

生：8個7相乘.

筆者：75呢？

生：5個7相乘.

筆者問：那你現(xiàn)在能寫出這道題目的結果嗎？

生：能，就是713.

筆者說：接著往下做試試，你會的.

接下來該生又做出了(2)(3)題，到第四個題目時，他又停了下來：“老師，這個我可真不會了.”

筆者鼓勵他用分析第一題的方法再試試，該生嘗試后很快也將得出了正確答案.

同底數(shù)乘法就屬于對象拓展型新運算，78×75雖然是此前學生并未見過的新問題，但其中并無陌生的符號、未學過的知識，而案例中學生的表現(xiàn)說明，他最大的障礙來自“沒學過，我不會”的觀念.縱觀這一過程，筆者并沒有告訴他如何做，只是幫助他打破了自己的既有觀念，指導他如何思考所面對的問題：還原運算和運算的對象的意義，借助已經(jīng)解決的、具體的問題思考復雜的、抽象的問題——而這本來可以是學生在先前所學的其他對象拓展型新運算中應該學習的.

李尚志教授認為：“一條重要的核心素養(yǎng)是舉一反三的能力，就是能利用舊知識解決新問題的能力，更高一點，利用舊知識生長新知識的能力”[4]，這種能力本質(zhì)上就是數(shù)學學習中的自主發(fā)展能力，它是中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)之一，義務教育階段和普通高中數(shù)學課程標準中提出的“良好的數(shù)學學習習慣”“學會思考”“獨立思考”等都于此有關[5][6].而把握了一些運算“對象拓展”的本質(zhì)特征的教師，將會更為積極得看到學生獨立解決相關問題的可能性，也就更愿意為學生提供更多獨立思考、自主探究的機會，學生在先前的對象拓展型新運算的學習中所獲得的思維方法也將更好地在后面的知識學習中得到應用，后面的新運算知識的學習成為先前所學原理的“練習”，于是，遇到的許多“新”運算就不再新，而只是自己解決過的題目的新形式而已，這將有利于增強學生的理解力和知識的遷移應用能力.

2 對象拓展型新運算知識的驅(qū)動性問題

實際上，數(shù)學知識的產(chǎn)生都出于問題的驅(qū)動，當前的數(shù)學教學實踐中，所設計的驅(qū)動對象拓展型新運算知識產(chǎn)生的問題有兩種：一是現(xiàn)實問題，二是數(shù)學內(nèi)部的隨著對象拓展而自然產(chǎn)生的運算問題.

以現(xiàn)實問題驅(qū)動對象拓展型新運算產(chǎn)生揭示了每個具體的對象拓展型新運算的算式都具有 “用數(shù)學的語言簡述現(xiàn)實的故事”的屬性，在注重“應用意識”“數(shù)學建?！钡恼n改背景下，這樣的引入方式更為常見，以有理數(shù)加法為例，某版本教材的如下幾個問題是典型代表[7]：

①如果物體先向右運動5米，再向右運動3米，那么兩次運動的最后結果是什么？

②如果物體先向左運動5米，再向左運動3米，那么兩次運動的最后結果是什么？

③如果物體先向左運動3米，再向右運動5米，那么兩次運動的最后結果是什么？

④如果物體先向右運動3米，再向左運動5米，那么兩次運動的最后結果是什么？

然而，由于解決這些實際問題并不需要有理數(shù)加法運算的知識，例如，對于③④，可以借助自然數(shù)的減法解決，再加上學生“并沒有真正達到將意義相反的量統(tǒng)一并選擇正確的數(shù)學運算”[8].所以，為了引出有理數(shù)加法，教師會在列加法算式時提供細碎的引導.下面這位老師的教學過程是一個典型：

師：先看第①問，運動最后的結果要從幾個方面闡述？

生：兩方面

師：哪兩方面?

生：一個是方向，一個是運動了多少米.

師：那么怎樣用式子表示這兩個方面呢？

生：可以規(guī)定向右為正，向左為負.

師：好，(板書：規(guī)定向右為正，向左為負)如何列式？

生： ①5+3； ②(-5)-3； ③(-3)+5；④3+(-5).

師：為了更直觀的呈現(xiàn)，我們把原始式子直接呈現(xiàn)，比如①5+3寫為①(+5)+(+3).下面三個式子可以寫為？

生：②(-5)+(-3)；③(-3)+(+5)；④(+3)+(-5).

師：大家思考這四個式子有什么規(guī)律？提示：我們可以從符號的角度分析.

……

我們看到，這里的實際問題本來學生可以很容易自主解答，但是由于擔心學生自主解答會導致教學不能朝著既定的路線前進，剝奪了學生自主、流暢、完整地思考的機會，也并未體現(xiàn)有理數(shù)加法只是“運算對象拓展”、學生頭腦中有許多知識、思想方法可用的特點.

實際問題的意圖有兩個：一是體現(xiàn)有理數(shù)加法在生活中的應用，并借助這種應用激發(fā)學生興趣；二是為學生獲得有理數(shù)加法的結果、進而為概括有理數(shù)加法法則提供情境支持.但筆者的研究表明，當教學直接從數(shù)學問題即 “對象拓展了的算式如何算”開始時，學生會主動借助現(xiàn)實情境解決問題，學生的自主性增強，思維更加活躍，更多的數(shù)學思想方法被展示.下面是“有理數(shù)加法”的教學片斷：

案例有理數(shù)加法(1)

師：這段時間我們一直在學習有理數(shù)，根據(jù)大家的經(jīng)驗，我們該研究有理數(shù)的什么問題了？

生；運算.

師：好，今天開始我們進入有理數(shù)運算的學習，我們學習過的加減乘除運算遇到有理數(shù)會怎樣呢？我們先研究有理數(shù)的加法，加法大家都熟悉，最簡單的加法算式就是一個加號兩個加數(shù)，今天要學習的是有理數(shù)加法中，這兩個加數(shù)需要換成有理數(shù)了.請同學們說一些這樣的有理數(shù)加法的題目，我?guī)痛蠹覍懴聛?

學生口述，教師板書，寫了如下幾個題目：

(+7)+(+8)；0+(-4)；(+3)+(-3)；

(-2)+(+1)；(+1)+(-3)；(-2)+(-3)

師：現(xiàn)在黑板上寫了這些有理數(shù)加法的計算題，同學們一定已經(jīng)開始想了：這些題怎么算呢？大家可以自己先試一試，一會兒我們交流.

大約5分鐘后，組織學生交流.

學生1：我說一說，(+7)+(+8)，先不看正號，就是小學的7+8；

學生2：我是用溫度計思考的，比如(+1)+(-3)，剛開始溫度計是+1°，下降了3°，就變?yōu)榈扔?2°了；

學生3： (-2)+(+1)，假設電梯下降了2層，又上升了1層，就停在了-1層；

學生4：(+3)+(-3)比如先存入3萬元錢，再取出3萬元錢，就等于沒存入；

學生5：我用數(shù)軸的方法，0+(-4)中0就是代表現(xiàn)在的位置，向左移動4個長度單位，就得到-4.

師：大家用了不同的經(jīng)驗、不同的情景得出了算式的結果，雖然大家用的情景不一樣，但是得出的算式結果一樣嗎？

學生異口同聲：一樣.

這里，面對具體的有理數(shù)加法計算問題，教師不做任何引導，而是直接請學生自己嘗試，我們看到，學生能夠主動聯(lián)系先前所學的“有理數(shù)”和“加法”的有關知識，諸如轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合等重要的數(shù)學思想方法被自覺運用.上述過程還表明：盡管教學并未從實際問題開始，但學生主動在不同的現(xiàn)實情境中解釋數(shù)學結果，這同樣是數(shù)學應用意識和數(shù)學化能力的另一種體現(xiàn)[9]，而不同的學生為同一個算式賦予的不同情境，還顯現(xiàn)了數(shù)學的抽象性與廣泛應用性的特點.

3 基于對象拓展型新運算知識的學習難點與突破策略

既然對象拓展型新運算與學生的經(jīng)驗非常接近，是不是學生都能夠非常順利的解決具體的運算問題、并能夠從中抽象概括出新的知識呢？并非如此，學生會在知識形成的兩個關鍵處遇到困難：一是具體算式的結果，二是怎樣從具體運算經(jīng)驗中抽象出運算法則.

3.1 認清學生解決具體運算問題的活動定位

對于具體的算式，學生可能會出現(xiàn)異于標準答案的情況.最典型的就是有理數(shù)乘法中“兩個負數(shù)相乘”問題，經(jīng)常會有學生提出(-2)×(-3)=-6.遇到這種情況，有的老師會直接給學生反饋說“不對”，這種處理方式不符合這個階段的活動的本質(zhì)，這一階段實質(zhì)是在“約定運算法則”，在得到共同認可的法則前，并無判斷答案是否正確的標準，因此，此時的討論需要圍繞著“應該怎樣約定運算法則”進行，了解學生為什么認為(-2)×(-3)=-6是根本，下面就是基于這樣認識的一段課堂對話：

案例有理數(shù)乘法

師：你是怎么想的？

生：因為兩個負有理數(shù)相加，結果就是兩個數(shù)的絕對值相加，符號為負，所以我覺得乘法也是.

師：你能夠類比有理數(shù)的加法得到有理數(shù)乘法的結果，非常好.但我有點而好奇的是，前面的算式(+2)×(-3)是怎么算的？得到的答案是多少？”

生：也是-6，我覺得(+2)×(-3)就是兩個-3相加，所以應是-6.

師：這道題你是結合乘法與加法的邏輯關系給出的結果，并沒有直接套用有理數(shù)加法法則，看來你解決問題的方法選擇還是很靈活的.不過，同學們可能都意識到了，相信你自己也意識到了，大家對(-2)×(-3)的結果的絕對值為6沒有爭議，但是符號有爭議.怎么解決這個爭議呢？這個結果到底應該是多少呢？

生：我覺得應該是+6，因為如果是-6的話，(+2)×(-3)與(-2)×(-3)的結果相同了，不太好，式子差一個符號呢！

其他同學也都表示同意以+6為結果，有同學補充：(-2)×(-3)可以看成是(+2)×(-3)的相反數(shù).

師：看來如果結合(+2)×(-3)的結果，(-2)×(-3)的結果為+6更合理，我們是不是已經(jīng)可以達成一致了：(-2)×(-3)=+6，也就是兩個負數(shù)相乘的結果為正數(shù)？

學生紛紛點頭.

如果對數(shù)學史有所了解的話，就會看到上面的過程與歷史上的大數(shù)學家歐拉的解釋何其相似：歐拉認為(-1)與(-1)的乘積必定是+1或-1，但因為1×(-1)=-1，所以(-1)×(-1)=+1.實際上，盡管中學階段所學的數(shù)學運算都來自對現(xiàn)實中的具體事物的抽象，判斷一個運算法則的正確性主要看其是否與對象的現(xiàn)實意義一致，但在數(shù)學史上，隨著復數(shù)、四元數(shù)運算理論的出現(xiàn)，關于運算已經(jīng)形成了更高的、形式化的觀點，在這一觀點下，“把各個運算規(guī)則之間的相容性而不是把對象本身的意義作為概念正確性的保證”[10]，上面的教學過程中，學生實質(zhì)上就是在主動結合已經(jīng)認可的其他事實或者法則探討新的運算法則，這根本上就是在以“是否滿足邏輯相容性”作為確定新的運算法則的標準，通過這一過程，學生在學習新運算法則的同時，也在學習“約定新運算法則的方法”.

3.2 尊重學生概括法則需要的過程

從具體算式的解答，到形成一般性的運算法則，不同的對象拓展型新運算的難度不同.例如，有理數(shù)乘法法則相對簡單，而且有了有理數(shù)加法和減法的學習經(jīng)驗，學生知道運算法則需要按照運算對象的性質(zhì)分類、將運算結果的符號和絕對值的來源都表述清楚，所以概括法則的過程會比較順利.但是有理數(shù)加法法則就困難多了，許多老師都發(fā)現(xiàn):學生普遍能夠借助實際意義得到具體有理數(shù)加法的結果，但是概括法則卻很困難.數(shù)學家波利亞說：“如果一名學生在學校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數(shù)學教育就在最重要的地方失敗了.”[11]因此，不能想到有困難就事先鋪墊，要讓學生面對挑戰(zhàn)，重要的是了解學生到底會有何表現(xiàn)、他們的表現(xiàn)的價值是什么，以此為基礎教師就能做出有效的引導.

案例有理數(shù)加法(2)

師：我們同學依據(jù)不同的現(xiàn)實情境都得到了結果，大家所用的情境不一樣，但是得到的相應的結果都是相同的.現(xiàn)在的問題是：如果沒有情境和背景，直接面對有理數(shù)加法問題，我們又可以怎樣做呢？比如，怎么算(-5)+(+7)、(-1)+(-5)？你會怎么做、怎么想呢？

稍后，安同學舉手發(fā)言，她說：我這樣想，比如說像(-5)+(+7)吧，先不看它們的正負號，先看它們的絕對值，一個是5，一個是7，符號一定要保留(照抄)？然后寫成7-5；如果負數(shù)的那個數(shù)字小，正號的數(shù)字大，它們得到的符號就是正號，數(shù)字就是7-5，結果就是+2.

教師轉(zhuǎn)向其他同學追問：她說“像這個樣子的”就這樣算，那什么樣子的就可以這樣算呢？黑板上有多少個題目是這個樣子的呢？

李同學：可以用這種方法算前面的負數(shù)符號后邊的數(shù)字比正數(shù)符號后邊的數(shù)字小的情況.

高同學：我覺得只要是符號不同就可以這樣算，黑板上除了第一個都可以這樣算.

王同學：一個正數(shù)和一個負數(shù)相加就可以這樣算.

弗賴登塔爾說：“沒有一種數(shù)學思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子發(fā)表”[12]，這段教學過程對此做出了生動的詮釋.首先關注安同學的表現(xiàn)，她表面是在陳述一個具體的算式的運算過程，但實質(zhì)是在借助這“個”算式的運算過程表述這“類”算式的運算法則，體現(xiàn)了“能解決多少就先解決多少”的策略與積極態(tài)度.教師讀懂了這一點，并借助追問“到底什么樣子的”和“還有哪些像這個樣子”讓其他學生理解安同學的“言外之意”，引導同學們先將“這樣子”的算式的運算法則找到，從而將“運算法則”的得出往前推進了一大步.

這段教學也顯示了學生生成的過程與教師預設的過程間經(jīng)常會存在的巨大差異.從教師的視角看，安同學所說“這樣子”的算式無疑是“絕對值不等的異號兩數(shù)相加的情況”，然而，對于不知道標準答案的學生來說，卻未必這樣理解：李同學所界定的范圍小于標準答案，高同學則放大了范圍.實際上，按照兩個人的界定有理數(shù)加法法則都能夠被表達出來，只不過按照李同學分類所得到的法則條目過多且可以進一步合并，而高同學的又不夠嚴謹.顯然教師對于這兩種回答沒有心理準備，由于與標準答案的差距較大，所以教學中沒有討論.王同學給出了一個雖然不完美、但已經(jīng)距離標準答案很近的說法，教師沒有在此提出一步到位的嚴苛要求，而是順勢板書了“異號”并為這種情形的問題探討告一段落.

“異號”問題的解決顯然是重大突破，它既帶來了一類問題的解決，還幫助學生明晰了有理數(shù)加法運算與以前學過的非負有理數(shù)加法運算的本質(zhì)區(qū)別在于要考慮數(shù)的符號，在隨后的教學中，學生很順利地得出“同號”兩數(shù)相加的法則，之后，有同學進一步提出了0+(-4)所代表的加數(shù)有0的情形，最后一位同學認為(+3)+(-3)代表著兩個互為相反數(shù)相加的情況，其結果是0沒有符號，也應該從異號情形中抽離出來.隨后教師請學生小組交流，用語言組織上面的探討過程，就得到了有理數(shù)加法法則.

4 結束語

對象拓展型新運算知識由于其產(chǎn)生方法的獨特性，賴以產(chǎn)生的問題與學生的經(jīng)驗聯(lián)系的緊密性，使得學生具有更大的可能經(jīng)由自主探究而得.但是對象拓展型新運算知識并非唯一能夠經(jīng)由學生自主建構而得的知識，作為自主建構知識能力目標單元的組成部分，完整的自主建構知識的過程應該包括以上幾個問題的探索.

例如，在學習不等式的性質(zhì)和如何解一元一次不等式之前，面對一個一元一次不等式，學生一定會憑借自己的本能，參考一元一次方程的解法對一元一次不等式進行變形從而得到它的解.當然學生的解答很有可能會出現(xiàn)錯誤，例如，圖1和圖2就展示了在不同的兩個班面對不同的不等式，都出現(xiàn)了錯誤進而引發(fā)其他同學質(zhì)疑的情況：

圖1

圖2

通過學生間的討論，錯誤得到了修正，而在討論的過程中，學生探討的就是“不等式是否與等式遵循一樣的運算性質(zhì)”，這種探討將帶來不等式性質(zhì)的產(chǎn)生，也為學生提供了自主建構不等式性質(zhì)知識及解不等式的方法的機會.

實際上，數(shù)學中的所有知識都不是無源之水、無本之木，而是與學生的已有知識和經(jīng)驗有著這樣那樣的聯(lián)系，而數(shù)學課程循序漸進的安排又為學生建立這種聯(lián)系提供了更大可能.因此，當學生面對驅(qū)動數(shù)學知識產(chǎn)生的問題的時候，必然會建立該問題與自己已有知識、經(jīng)驗、或者已解問題的聯(lián)系.當然，學生有時候能夠成功解決問題，有時候會遇到困難，但無論順利還是挫折，如果教師能夠帶領學生分析、反思已有的方法哪些合理、哪些不合理，解決問題的方法也可能從學生的困難中生長出來，新知識隨之會產(chǎn)生，學生的自主發(fā)展能力也將在這樣的經(jīng)歷中得以發(fā)展.