李現(xiàn)勇

(青島市教育科學(xué)研究院 266011)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)也叫基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)，是指學(xué)生以小組為單位圍繞某一真實(shí)主題，利用各種認(rèn)知工具進(jìn)行調(diào)查、資料搜集、分析研究，最終展示自己的研究成果，在動(dòng)手實(shí)踐、思考內(nèi)化和探索創(chuàng)新之中掌握知識(shí)、培養(yǎng)技能并獲得全面發(fā)展.[1]項(xiàng)目模式下的教學(xué)確實(shí)彌補(bǔ)了中國(guó)填鴨式傳統(tǒng)教育的部分弊端，但也存在著一些不可避免的問(wèn)題，如：教學(xué)內(nèi)容多，課堂時(shí)間不夠；生產(chǎn)情景難以模仿；不能實(shí)現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)等等.故筆者就國(guó)家高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求下如何進(jìn)行項(xiàng)目式教學(xué)進(jìn)行探究，基于“三角函數(shù)模型的應(yīng)用”這一項(xiàng)教學(xué)實(shí)例對(duì)項(xiàng)目式教學(xué)進(jìn)行探索、實(shí)踐、總結(jié)與反思，以期進(jìn)一步完善，為后續(xù)的研究、改進(jìn)教學(xué)提供借鑒.

1 項(xiàng)目?jī)?nèi)容準(zhǔn)備

項(xiàng)目的選取主要考慮從學(xué)生的立場(chǎng)出發(fā)，挖掘?qū)嶋H生活中有價(jià)值的數(shù)學(xué)素材.如果數(shù)學(xué)教材所涉及的內(nèi)容是相對(duì)基礎(chǔ)的，實(shí)際情景過(guò)于理想優(yōu)化的，學(xué)生也很難感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要性，進(jìn)而影響學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.故在教材中已有的知識(shí)體系中，選題初定范圍集中在與生活實(shí)際相關(guān)密切的函數(shù)模型的建立(人口爆炸模型，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型等)、解三角形、空間位置關(guān)系(點(diǎn)、線、面，空間向量)及概率統(tǒng)計(jì)等，最終決定嘗試三角函數(shù)模型的應(yīng)用.人教A版必修4第一章第六節(jié)主要講述的三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，涉及一天中氣溫的變化規(guī)律，太陽(yáng)高度角的變化規(guī)律，潮汐變化規(guī)律，結(jié)合青島實(shí)際情況，以潮汐現(xiàn)象為主體展開(kāi)項(xiàng)目式教學(xué)的探索.

選取潮汐數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象.考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平，所以作為初次引入情景不能太過(guò)復(fù)雜.我在查閱青島市管轄范圍內(nèi)的港口數(shù)據(jù)時(shí)發(fā)現(xiàn)每個(gè)港口數(shù)據(jù)直觀圖象顯示出的規(guī)律特點(diǎn)是不一樣的，如下圖.

圖1

圖2

圖1與圖2均選取自中國(guó)海事服務(wù)網(wǎng)青島港和董家口港的潮汐曲線表.注意到圖1的兩個(gè)極小值差距較大，而圖2的兩個(gè)極小值近乎相同.通過(guò)與地理老師的溝通，初步斷定為兩個(gè)的主要影響因素(太陽(yáng)和月球)的作用導(dǎo)致的；進(jìn)一步和物理老師溝通，最后得出是因?yàn)樘?yáng)和月球?qū)Φ厍虻囊Υ笮〖白饔弥芷诓煌瑢?dǎo)致的.潮汐的產(chǎn)生主要與月球引潮力和太陽(yáng)引潮力有關(guān).一天之中僅考慮月球引潮力的影響，潮汐變化遵循兩個(gè)周期的三角函數(shù)變化；僅考慮太陽(yáng)引潮力的影響，潮汐變化依舊遵循兩個(gè)周期的三角函數(shù)的變化.但是這兩個(gè)三角函數(shù)在周期、振幅等方面存在差異.故可以用正弦和余弦函數(shù)的變化疊加來(lái)表示這種極值的大小與極值點(diǎn)的移動(dòng)的.進(jìn)一步了解到一般情況下具備周期特性的函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示.

最后選取了直觀上較為符合簡(jiǎn)單三角函數(shù)模型的圖2的潮汐數(shù)據(jù)，且較其他港口的變化情況，董家口港的幅度較小.在尊重客觀事實(shí)的基礎(chǔ)上，選取規(guī)律性比較明顯的一組數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)進(jìn)行合理估讀，形成項(xiàng)目情景.從特殊向一般逐漸深入探究.

2017年11月30日潮汐數(shù)據(jù)表

2 項(xiàng)目實(shí)施過(guò)程

給出項(xiàng)目任務(wù)，學(xué)生結(jié)合自身相關(guān)的知識(shí)儲(chǔ)備及技能，以小組為單位課下進(jìn)行探討，形成潮汐函數(shù)模型，并且與實(shí)際潮汐曲線對(duì)比，組內(nèi)分析所建模型優(yōu)劣，同時(shí)進(jìn)行組間交流.最后大家選取最優(yōu)模型進(jìn)行下一輪的探究.

授課的主要模式為討論課，適時(shí)加入展示.在討論的過(guò)程中以學(xué)生為主，老師幫助解決知識(shí)上的問(wèn)題及技術(shù)上的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的想法不做過(guò)多干涉.過(guò)程中產(chǎn)生了很多有趣的想法：

(1)純線性分段函數(shù)模型.學(xué)生為表示周期性，用了整除取余的方法.

(2)非線性分段函數(shù)模型.學(xué)生嘗試了兩段二次函數(shù)的模型，也嘗試了一段二次函數(shù)和一段三角函數(shù)的模型.

(3)簡(jiǎn)單三角函數(shù)模型.大部分學(xué)生采取的是該種模型.但是存在著正弦和余弦的選取差異，存在著坐標(biāo)系建立的差異.在這些差異之外，還存在處理數(shù)據(jù)的差異.在確定初相φ的時(shí)候，因?yàn)槎甲⒁獾剿o數(shù)據(jù)并不恰巧是一個(gè)三角函數(shù)模型，存在著一個(gè)有較大差異的點(diǎn)，在處理時(shí)有學(xué)生用的是相關(guān)數(shù)據(jù)取平均數(shù)，有學(xué)生用一個(gè)接近該數(shù)的三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)的角度，通過(guò)不斷地將角度等分(二分法的應(yīng)用)利用三角函數(shù)的計(jì)算公式確定角度φ，有學(xué)生直接通過(guò)網(wǎng)上查閱三角函數(shù)值與角度的對(duì)應(yīng)表確定角度φ.

(4)信息技術(shù)輔助下的三角函數(shù)模型.學(xué)生根據(jù)圖象及數(shù)據(jù)特征首先確定了一個(gè)參數(shù)簡(jiǎn)單的三角函數(shù)，再用在線數(shù)據(jù)處理軟件desmos通過(guò)圖象與數(shù)據(jù)的吻合程度實(shí)現(xiàn)參數(shù)的逼近.

(5)模型擬合標(biāo)準(zhǔn)的自然產(chǎn)生.每個(gè)學(xué)生的模型產(chǎn)生后，學(xué)生最關(guān)注的就是誰(shuí)的模型是最優(yōu)模型.部分模型因直觀差別較大，直接被排除.有一部分模型的直觀差別是很小的，如何客觀的判斷擬合程度就成了學(xué)生們關(guān)注的點(diǎn).其中就有學(xué)生想到了課本中的方差的概念，仿照方差的概念就產(chǎn)生了一個(gè)用實(shí)際數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)的差的平方和為主體的式子進(jìn)行擬合判斷.其實(shí)與選修課本才會(huì)學(xué)到的殘差、相關(guān)指數(shù)的概念已經(jīng)很接近了.學(xué)生模型產(chǎn)生后，對(duì)模型的應(yīng)用產(chǎn)生了興趣：潮汐發(fā)電、海水深度數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)、貨船進(jìn)出港、魚(yú)雷戰(zhàn)術(shù)的精準(zhǔn)使用等等.

3 具體項(xiàng)目教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 項(xiàng)目教學(xué)設(shè)計(jì)概述

項(xiàng)目設(shè)計(jì)的內(nèi)容為“三角函數(shù)模型的應(yīng)用”，學(xué)生通過(guò)對(duì)潮汐數(shù)據(jù)的觀察、分析、探究，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，形成潮汐變化的具體規(guī)律，最終應(yīng)用所建立的潮汐模型解決生活中的問(wèn)題.本項(xiàng)目旨在讓學(xué)生能夠從實(shí)際問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)周期性變化的規(guī)律，將規(guī)律抽象為恰當(dāng)?shù)娜悄Ｐ?；讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，初步了解數(shù)學(xué)建模的思想；讓學(xué)生通過(guò)解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，直接體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)際生活中的價(jià)值和作用.

3.2 項(xiàng)目開(kāi)展方式

以小組為單位進(jìn)行課下組內(nèi)探究、課上組間交流.以討論課模式為主，展示課與之適當(dāng)融合.

3.3 項(xiàng)目實(shí)施過(guò)程

(1)項(xiàng)目導(dǎo)入

過(guò)程設(shè)計(jì)：播放潮汐現(xiàn)象紀(jì)錄片(1分鐘左右)，以及潮汐現(xiàn)象對(duì)于實(shí)際生活的影響與作用的新聞合輯(2分鐘左右).

設(shè)計(jì)意圖：人類(lèi)生活深受潮汐影響，而潮汐現(xiàn)象常伴青島居民左右，從而引出探究潮汐變化規(guī)律的必要性.

(2)一輪探究與展示

過(guò)程設(shè)計(jì)：海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.下表為青島董家口港2017年11月30日的潮汐數(shù)據(jù)表：

時(shí)刻03:0006:0009:0012:0015:0018:0021:00潮高/米4.12.51.43.04.12.61.4

問(wèn)題：①觀察數(shù)據(jù)，潮高的變化呈現(xiàn)什么樣的規(guī)律？②設(shè)想潮高y是時(shí)間x的函數(shù).做出表中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖.你認(rèn)為可以用哪個(gè)類(lèi)型的函數(shù)來(lái)擬合這些數(shù)據(jù)？并求出函數(shù)解析式.③對(duì)照實(shí)際潮汐曲線，分析所建模型.以小組為單位進(jìn)行展示、交流、探討,確定最優(yōu)模型.

設(shè)計(jì)意圖：選取青島董家口港的潮汐數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，原因有二：一是潮汐變化具有明顯的周期性，二是董家口港為青島重要港口之一，學(xué)生更加熟悉，亦有探究的驅(qū)動(dòng)力.作為初次引入情景不能太過(guò)復(fù)雜，故在尊重客觀事實(shí)的基礎(chǔ)上，選取規(guī)律性比較明顯的一組數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)進(jìn)行合理估讀，形成項(xiàng)目情景.通過(guò)交流碰撞，對(duì)不同的思路進(jìn)行分析、糾正、推廣.

(3)二輪探究與展示

過(guò)程設(shè)計(jì)：給出與潮汐現(xiàn)象有關(guān)的周邊數(shù)據(jù)

①潮高基準(zhǔn)面(計(jì)算潮高的起算面)在平均海平面下2.9米(實(shí)際為288厘米)；

②董家口港的近海水深平均15.0米左右；

③10萬(wàn)噸級(jí)的貨船吃水深度(船底與水面的距離)14.0米左右；

④《安全條例》規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離).

以小組為單位，結(jié)合已知條件，思考所建函數(shù)模型可以解決生活中的哪些問(wèn)題，并給出解決問(wèn)題的基本思路.

設(shè)計(jì)意圖：考慮所建模型的應(yīng)用問(wèn)題，直接感受數(shù)學(xué)建模的實(shí)際價(jià)值.問(wèn)題的解決實(shí)質(zhì)就是函數(shù)有關(guān)定義域、值域、交點(diǎn)等問(wèn)題.

(4)三輪思考

過(guò)程設(shè)計(jì)：農(nóng)歷每月初一、十五以后兩三天內(nèi)，各要發(fā)生一次潮差最大的大潮，那時(shí)潮水漲得最高，落得最低.在農(nóng)歷每月初八、二十三以后兩三天內(nèi)，各有一次潮差最小的小潮，屆時(shí)潮水漲得不太高，落得也不太低.針對(duì)以上情況如何對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行優(yōu)化，得到潮汐現(xiàn)象的變化規(guī)律呢？以小組為單位進(jìn)行函數(shù)模型拓展優(yōu)化.

背景拓展：潮汐的產(chǎn)生主要與月球引潮力和太陽(yáng)引潮力有關(guān).結(jié)合相關(guān)資料，將問(wèn)題簡(jiǎn)化為，一天之中僅考慮月球引潮力的影響，潮汐變化遵循兩個(gè)周期的三角函數(shù)變化；僅考慮太陽(yáng)引潮力的影響，潮汐變化依舊遵循兩個(gè)周期的三角函數(shù)的變化.但是這兩個(gè)三角函數(shù)在周期、振幅等方面存在差異.

設(shè)計(jì)意圖：上述兩個(gè)階段所求函數(shù)模型為某一天的潮汐變化情況，項(xiàng)目成果即潮汐變化情況投入使用，局限性太大，第三階段通過(guò)思考探究將情景普遍化現(xiàn)實(shí)化，通過(guò)對(duì)已有函數(shù)模型的處理找出潮汐現(xiàn)象的一般規(guī)律.處理過(guò)程即學(xué)科知識(shí)融合的過(guò)程，處理的過(guò)程即對(duì)函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用過(guò)程、對(duì)知識(shí)再度理解與掌握的過(guò)程.

4 對(duì)項(xiàng)目式教學(xué)效果的評(píng)價(jià)

4.1 學(xué)生評(píng)價(jià)

(1)有益于數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí).交流的過(guò)程使得與課程有關(guān)的問(wèn)題當(dāng)場(chǎng)暴露，討論的過(guò)程加深對(duì)正確理論的理解，發(fā)現(xiàn)與解決問(wèn)題循環(huán)往復(fù)，學(xué)習(xí)與掌握的過(guò)程也得以縮短，學(xué)習(xí)積極性得以提高.同時(shí)知識(shí)的綜合使用也有助于系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)學(xué)科.

(2)有利于多個(gè)維度能力的發(fā)展.在本案例中數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；文獻(xiàn)檢索、查閱資料的能力，歸納總結(jié)、綜合理解的能力等等，都在一定程度得以鍛煉和發(fā)展.

4.2 教師評(píng)價(jià)

確定項(xiàng)目選題時(shí)，必須對(duì)國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)要求的高中數(shù)學(xué)知識(shí)有更加系統(tǒng)的全方位的認(rèn)知.具體項(xiàng)目情景準(zhǔn)備時(shí)，立足學(xué)生立場(chǎng)，充分考慮學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、學(xué)習(xí)興趣，掌握學(xué)情.實(shí)際項(xiàng)目情景必然涉及多個(gè)學(xué)科的融合，有助于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的準(zhǔn)確理解.

4.3 學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)量表

結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，做出就三角函數(shù)模塊的學(xué)生量表的構(gòu)思，作為參考以期實(shí)現(xiàn)對(duì)項(xiàng)目式教學(xué)效果的評(píng)價(jià).

前測(cè)具體測(cè)量實(shí)施測(cè)量結(jié)果統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)具體題目所占分值得分年級(jí)平均分三角函數(shù)概念三角函數(shù)公式運(yùn)用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的圖象三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用中測(cè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)項(xiàng)目探索過(guò)程中你在該方面的表現(xiàn)及收獲數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析在該方面的自我評(píng)價(jià)打分1分2分3分后測(cè)具體測(cè)量實(shí)施測(cè)量結(jié)果統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)具體題目所占分值得分年級(jí)平均分三角函數(shù)概念三角函數(shù)公式運(yùn)用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的圖象三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

注：量表應(yīng)附有前測(cè)與后測(cè)題目選取與設(shè)計(jì)意圖表中測(cè)素養(yǎng)評(píng)分1分、2分、3分，標(biāo)準(zhǔn)劃分參考2017高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分的水平一、水平二、水平三.

5 總結(jié)與啟示

項(xiàng)目式教學(xué)的初始定義，是聚焦在實(shí)操性較強(qiáng)的領(lǐng)域中，所以在醫(yī)學(xué)專(zhuān)業(yè)、電子商務(wù)專(zhuān)業(yè)等領(lǐng)域的研究較多也較為成熟，但在高中學(xué)段的研究還在探索階段.就實(shí)際實(shí)施經(jīng)驗(yàn)，有如下的體會(huì)：

(1)項(xiàng)目的選取與課程標(biāo)準(zhǔn)要求的融合.

在高中學(xué)段項(xiàng)目的選取不能脫離課程標(biāo)準(zhǔn)要求.基于高中生的整體水平以及高中生整體學(xué)業(yè)上的要求，我們不能直接將類(lèi)似于大學(xué)數(shù)學(xué)建模的項(xiàng)目直接搬到高中學(xué)段的項(xiàng)目式上.這樣既不利于高中學(xué)段基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，也會(huì)徒增學(xué)生的負(fù)擔(dān).比如可以在下面幾個(gè)模塊中進(jìn)行項(xiàng)目式教學(xué)的探索：函數(shù)模型建立與應(yīng)用、古典概型、空間幾何體、軌跡方程等等.

(2)以集體教學(xué)安排為主，合理選擇上課時(shí)間與模式.

因高中數(shù)學(xué)教學(xué)容量大，時(shí)間緊任務(wù)重，所以項(xiàng)目式教學(xué)的實(shí)施不能干擾教學(xué)進(jìn)度的正常進(jìn)行.我們可以選擇在合適的模塊結(jié)束后做一個(gè)與本模塊相關(guān)的微項(xiàng)目，以期達(dá)到加深對(duì)本模塊知識(shí)的掌握與認(rèn)識(shí)的同時(shí)增加數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用機(jī)會(huì).上課模式不能采取傳統(tǒng)授課模式，以討論課為主.

(3)項(xiàng)目式教學(xué)重心放在過(guò)程，切勿人為標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果.

高中階段項(xiàng)目的進(jìn)行與實(shí)際投入使用還有較大距離，即使產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果也是不實(shí)用的.故重心不應(yīng)放在結(jié)果，應(yīng)該是過(guò)程.在整個(gè)過(guò)程中關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活融合使用，關(guān)注學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)產(chǎn)生了什么樣的方法與思想，關(guān)注學(xué)生在處理數(shù)據(jù)時(shí)采取何種處理技巧，這才是數(shù)學(xué)課程真正要培養(yǎng)的能力.

(4)項(xiàng)目式的實(shí)施，追求個(gè)性與合作的平衡.

以小組為單位是為了交流討論，合作互助.但是我們作為教育者也要關(guān)注個(gè)體的發(fā)展.對(duì)于解決項(xiàng)目的想法與方法是不能被小組綁架的，所以要給予每一名學(xué)生討論的權(quán)利和展示的機(jī)會(huì).

6 思考

學(xué)科組內(nèi)實(shí)施的幾次項(xiàng)目式教學(xué)得到了老師和學(xué)生的認(rèn)可，也在一定程度上提高了學(xué)習(xí)效果及學(xué)習(xí)成績(jī).但在項(xiàng)目式教學(xué)過(guò)程中，教師和學(xué)生的時(shí)間和精力的投入比傳統(tǒng)教學(xué)要多很多，在這樣一種現(xiàn)實(shí)情況下，學(xué)生和教師對(duì)于這種新型教學(xué)模式能否適應(yīng)，接受程度如何，一個(gè)項(xiàng)目的建構(gòu)是否合理，項(xiàng)目式的教學(xué)效果到底如何評(píng)判等等都還需要我們繼續(xù)的深入研究和實(shí)踐.