趙維坤 董林偉

(1.江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校 224001；2. 江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室 210013)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的工具，是指幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)的實(shí)物類及技術(shù)類工具的統(tǒng)稱，是學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程的重要載體. 在教學(xué)過(guò)程中恰當(dāng)?shù)厥褂脤?shí)驗(yàn)工具，很大程度上可以提高學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的水平，因此教師應(yīng)努力開發(fā)制作簡(jiǎn)便實(shí)用的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具供學(xué)生使用，以拓寬他們的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，培養(yǎng)他們的實(shí)踐能力，發(fā)展其個(gè)性品質(zhì)與創(chuàng)新精神，促進(jìn)不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展. 目前，不少學(xué)校都建有專門的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室或數(shù)學(xué)專用教室，但實(shí)驗(yàn)所必需的工具和材料不足制約了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展. 為此，開發(fā)適合的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具勢(shì)在必行.

實(shí)驗(yàn)工具的開發(fā)要緊扣主題，有明確的目的；形式和內(nèi)容要統(tǒng)一，要利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的領(lǐng)悟、本質(zhì)的理解與方法的掌握；要能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性、啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考；要利于促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與、積極探索，提升發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力. 同時(shí)工具的設(shè)計(jì)應(yīng)新穎、實(shí)用、精巧，要符合學(xué)生生理、心理特點(diǎn)，易于操作、性能穩(wěn)定、安全可靠、使用便捷、外形美觀，要利于將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，要利于準(zhǔn)確體現(xiàn)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的方式、方法和內(nèi)容.[1]

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具的開發(fā)和利用應(yīng)基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下稱《標(biāo)準(zhǔn)》)的核心內(nèi)容，基于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和水平，滿足學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的需要. 根據(jù)工具的特性和價(jià)值取向、學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的不同階段，將實(shí)驗(yàn)工具分為三類：用于概念形成的工具、用于原理探究的工具與用于拓展應(yīng)用的工具.

1 用于概念形成的工具開發(fā)與利用

數(shù)學(xué)概念本身具有較強(qiáng)的抽象性，但初中教材中大部分概念采用描述性的方式給出定義. 在教學(xué)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)屬性認(rèn)識(shí)不夠，似懂非懂，有時(shí)是知其然而不知所以然，這表明學(xué)生在學(xué)習(xí)中并未理解真正意義上的數(shù)學(xué)概念.[2]對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，學(xué)生的思維是從具體形象思維逐步向抽象思維過(guò)渡，這種過(guò)渡在很大程度上還是依靠豐富的感性材料，所以數(shù)學(xué)概念不是靠教師講出來(lái)的，而是靠學(xué)生自己去感悟、體驗(yàn)的. 因此，對(duì)于一些相對(duì)抽象的概念，開發(fā)實(shí)驗(yàn)工具，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)工具“直觀”的操作，化抽象為形象、化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)、化結(jié)果為過(guò)程，可以延長(zhǎng)學(xué)生知識(shí)的獲取過(guò)程，從而抽象出概念的本質(zhì)屬性.

案例1“點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體”的理解. 認(rèn)識(shí)“點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體”這一幾何初步概念時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)對(duì)“實(shí)物”的操作與觀察等活動(dòng)感悟到點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系. 我們?cè)O(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)工具“線面體形成儀”(如圖1)，如果在“線面體形成儀” 上栓上帶線的小球，

圖1

在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中將小球看作“點(diǎn)”，就看到了“線”；將栓線看成“線”，就看到了“面”；如果換上三角形卡片、四邊形卡片、梯形卡片、半圓形卡片等，就看到了“體”. 這樣的“操作”，不僅使“點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)面體”水到渠成，而且可使學(xué)生依據(jù)已有的材料和認(rèn)知作出符合經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)，容易激發(fā)學(xué)生的探索欲望，同時(shí)，也體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》提出的“內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)采用不同的表達(dá)形式，以滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要”這一要求.

案例2“函數(shù)”概念的理解. 函數(shù)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中第一次遇到的一般意義的抽象概念，學(xué)生對(duì)其理解的困難是不言而喻的. 借助“函數(shù)發(fā)生器”，可以幫助學(xué)生建立函數(shù)概念. 從盒子上方開口插入一張卡片，這張卡片自然地從下方的出口滑出后正反面正好調(diào)換. 讓學(xué)生在一組卡片上寫上一個(gè)數(shù)(如1、3、5、7……)，反面相應(yīng)寫上另一個(gè)數(shù)字(如2、4、6、8……). 學(xué)生自己演示函數(shù)發(fā)生的過(guò)程：輸入一個(gè)數(shù)x(如1)，輸出一個(gè)數(shù)y(如2).利用“函數(shù)發(fā)生器”，既可以幫助學(xué)生直觀了解函數(shù)概念的本質(zhì)其實(shí)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，又可以避免抽象語(yǔ)言帶來(lái)的理解上的困難.

像這樣抽象程度較高的概念、性質(zhì)還有很多，如無(wú)理數(shù)、有理數(shù)加法法則、二次根式的乘法法則、等可能性、三角形的穩(wěn)定性、幾何體認(rèn)識(shí)、三視圖等等，我們可以借助“模型演示尺”“骰子”“方格紙片”“多功能尺組件”“幾何體套件”“三視圖演示板”等實(shí)驗(yàn)工具，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考的實(shí)踐活動(dòng)，在自主活動(dòng)中獲取理解概念所需的“事實(shí)”，形成對(duì)概念本質(zhì)的深刻體悟，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象與直觀想象，從而可獲得“如何思考”的智慧.

2 用于原理探究的工具開發(fā)與利用

數(shù)學(xué)的原理是指數(shù)學(xué)的定理、性質(zhì)、公式、法則等. 學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的原理，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，在“一般觀念”的引導(dǎo)下，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)、規(guī)律、關(guān)系等，形成猜想，并通過(guò)數(shù)學(xué)的運(yùn)算、推理，證明結(jié)論，獲得數(shù)學(xué)的定理、性質(zhì)、公式、法則等. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具為學(xué)生“如何研究”“如何發(fā)現(xiàn)”提供了可能，使得數(shù)學(xué)的定理、性質(zhì)、公式、法則等成為學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，因此實(shí)驗(yàn)工具是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生自己可以掌控過(guò)程的必要條件.

案例3二次函數(shù)圖像間的關(guān)系.[3]探索二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+k(a≠0)圖像間的關(guān)系時(shí)，學(xué)生觀察自己所畫的圖像得出結(jié)論，難度較大. 如果借助幾何畫板軟件強(qiáng)大的圖形處理功能，學(xué)生自己操作幾何畫板、觀察動(dòng)態(tài)圖形、發(fā)現(xiàn)背后的不變規(guī)律、提出猜想、檢驗(yàn)結(jié)論，這樣的操作、觀察活動(dòng)必將促成學(xué)生的真正理解.

打開幾何畫板軟件，建立平面直角坐標(biāo)系，在x軸上任取一點(diǎn)A，度量點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，改用字母a表示這個(gè)橫坐標(biāo)，在y軸上任取一點(diǎn)K，度量點(diǎn)K的縱坐標(biāo)，改用字母k表示這個(gè)縱坐標(biāo)，畫出二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+k(a≠0)的圖像(如圖2).

圖2

在x軸上任取一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l，直線l分別交二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+k(a≠0)的圖像于點(diǎn)C、D，度量點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)，并計(jì)算這兩個(gè)縱坐標(biāo)的差，移動(dòng)點(diǎn)M，觀察變化.

移動(dòng)點(diǎn)A、K，改變a、k的值，再移動(dòng)點(diǎn)M，觀察點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)的差的變化，可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+k(a≠0)的圖像之間的平移關(guān)系.

利用幾何畫板軟件畫二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+k(a≠0)的圖像，通過(guò)對(duì)a、k賦值的改變，動(dòng)態(tài)研究了二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=ax2+k(a≠0)的圖像之間的上下平移關(guān)系，使得圖像變化直觀明了，而且還分類研究了各種二次函數(shù)的圖像，有利于學(xué)生通過(guò)觀察、猜想，歸納出研究的結(jié)論，為函數(shù)圖像及其性質(zhì)的研究和學(xué)習(xí)打下直觀而扎實(shí)的基礎(chǔ). 運(yùn)用此方法還可研究函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=a(x-h)2(a≠0)的圖像之間的關(guān)系及函數(shù)y=ax2(a≠0)與y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像之間的關(guān)系．

類似地，我們可以利用幾何畫板軟件或圖形計(jì)算器幾何學(xué)、雙變量統(tǒng)計(jì)、三角求解器等功能動(dòng)態(tài)探究諸如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、統(tǒng)計(jì)、三角函數(shù)等問(wèn)題，使原本似乎枯燥乏味的數(shù)學(xué)變得形象生動(dòng)，進(jìn)而最大程度地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生身臨其境地在操作實(shí)踐中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂(lè)，顯然這是傳統(tǒng)教學(xué)方式所無(wú)法比擬的.

案例4圓周角定理的探究. 學(xué)生在學(xué)習(xí)“圓周角定理”時(shí)會(huì)遇到如下困難：為什么要研究圓周角？圓周角是怎么發(fā)現(xiàn)的？圓周角定理的證明為什么分為三種情況？是如何想到的？借助由“圓軌道”、“直軌道”、2個(gè)定點(diǎn)與2個(gè)動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的“圓周角探究?jī)x”(如圖3)，能使學(xué)生體驗(yàn)“圓周角”產(chǎn)生的過(guò)程、順其自然地探索出“圓周角”的性質(zhì). 通過(guò)“直軌道”上動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)，發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)在圓外、圓周上與圓內(nèi)的角始終夾(對(duì)著)一條弧，再使動(dòng)點(diǎn)在“圓軌道”上移動(dòng)，發(fā)現(xiàn)“這個(gè)角”始終對(duì)著這條弧，從而頂點(diǎn)在圓周上角最為特殊，這就是“圓周角”的本質(zhì)特征，也能看出“圓周角與圓心角的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系”、“圓外角、圓周角、圓內(nèi)角之間的關(guān)系”；通過(guò)固定一點(diǎn)在“圓軌道”上，將另一動(dòng)點(diǎn)和“直軌道”一起移動(dòng)，可以知道為何圓周角定理的證明要分三類進(jìn)行討論，還可以發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角之間的關(guān)系. 學(xué)生使用這樣的實(shí)驗(yàn)工具學(xué)習(xí)“與圓有關(guān)的角”時(shí)，認(rèn)識(shí)會(huì)更系統(tǒng)、更深刻，興趣會(huì)更濃，印象會(huì)更深，真是動(dòng)手一轉(zhuǎn)，萬(wàn)變皆一，知其然而知其所以然，定理的證明妙手偶得、不言自明，數(shù)學(xué)好學(xué)好玩.

圖3

這樣的例子還可列舉很多，如利用“多面體表面組件”可以探索多面體與其構(gòu)成的表面間的關(guān)系、利用“小立方體套件”可以探索不同組合圖形的視圖關(guān)系、利用“三色球”“骰子”可以感受等可能條件下的概率、利用“四邊形探究?jī)x”可以探索特殊四邊形間的關(guān)系、利用“多功能尺組件”可以探索等腰三角形的“三線合一”與銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律、利用“勾股定理演示器”可以發(fā)現(xiàn)勾股定理、利用“多功能磁釘板”可以發(fā)現(xiàn)皮克公式，等等，操作這樣的實(shí)驗(yàn)工具可以促使學(xué)生在“做”的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)思考，提升推理能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

3 用于拓展應(yīng)用的工具開發(fā)與利用

數(shù)學(xué)的拓展應(yīng)用是一種用數(shù)學(xué)的眼光，從數(shù)學(xué)角度觀察、分析、解決問(wèn)題的積極的心理傾向和思維反應(yīng).它是基于對(duì)數(shù)學(xué)拓展應(yīng)用價(jià)值認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，遇到問(wèn)題產(chǎn)生用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想嘗試解決的沖動(dòng)，并且能很快搜尋到解決問(wèn)題的方法. 而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具的物質(zhì)化特征正好與數(shù)學(xué)拓展應(yīng)用意識(shí)的客觀特征相吻合. 因此，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具的操作解決拓展應(yīng)用型問(wèn)題可以發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力.

案例5最小圓覆蓋問(wèn)題.[3]借助圓形透明紙片對(duì)線段、三角形等的覆蓋，探索最小覆蓋圓與線段、三角形之間的關(guān)系.

先將如圖4的5個(gè)透明圓形紙片逐個(gè)覆蓋在圖5中的線段上，我們發(fā)現(xiàn)直徑大于這條線段長(zhǎng)的圓均能覆蓋這條線段，但恰好能完全覆蓋線段的圓必須是這個(gè)圓的直徑與線段的長(zhǎng)相等，我們將這個(gè)圓稱為這條線段的最小覆蓋圓.

(1) (2) (3) (4) (5)圖4

再將這些透明圓形紙片覆蓋在圖6中的三角形上，分別找出這兩個(gè)三角形的最小覆蓋圓，我們可以探究出它們的最小覆蓋圓與這兩個(gè)三角形的關(guān)系.

圖5

(1) (2)圖6

通過(guò)這樣的操作活動(dòng)，可以探究出直角三角形和銳角三角形的最小覆蓋圓是該三角形的外接圓，而鈍角三角形的最小覆蓋圓則是以鈍角所對(duì)邊為直徑的圓，進(jìn)而讓學(xué)生應(yīng)用所得到的規(guī)律解決如下新的問(wèn)題：怎樣確定矩形的最小覆蓋圓等.這樣的操作其價(jià)值在于將直觀的“做”轉(zhuǎn)型為有意識(shí)的“用”，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的發(fā)展大有裨益.

案例6正方體的截面探究. 正方體是生活中最常見的圖形，對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，學(xué)生難理解“正方體被平面所截的截面可能的形狀”這個(gè)問(wèn)題. 究其原因，這是一個(gè)三維與二維之間的轉(zhuǎn)換問(wèn)題，這種轉(zhuǎn)換是難以經(jīng)過(guò)大腦的想象來(lái)處理，雖然可以用蘿卜、橡皮泥制成實(shí)物模型代替正方體完成切截，但由于實(shí)物模型大小受到限制，給切截操作帶來(lái)不便，也很難得到五邊形、六邊形，對(duì)實(shí)物模型的切截必須用刀操作也存在不安全因素. 借助“水立方”(如圖7)，調(diào)整其擺放位置，通過(guò)觀察水面與正方體的面相交的形狀，得到正方體的截面可以是三角形、四邊形、五邊形與六邊形，還可以是特殊的四邊形等等，同時(shí)讓學(xué)生思考問(wèn)題：(1)“水立方”為何要做2個(gè)？(2)截面可以是七邊形嗎？

圖7

學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、觀察與思考，經(jīng)歷截正方體的活動(dòng)過(guò)程，在感受立方體截面的變化中,理解立方體截面的幾種情況，自己做了一次學(xué)術(shù)研究，體會(huì)到了在截面變化過(guò)程中面與體的轉(zhuǎn)換，發(fā)展了幾何直觀和空間想象能力，豐富了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

類似這樣拓展應(yīng)用的實(shí)驗(yàn)工具還有很多，如操作“鐘面魔板”可以感受鏡面對(duì)稱的特征，操作“移動(dòng)‘小路’”可以感受證明的必要性，操作“多邊形紙片組件”可以研究密鋪所滿足的條件問(wèn)題，操作“測(cè)角儀”可以發(fā)現(xiàn)測(cè)量物體高度的方法，操作“曲線魔板”可以探求圓在不同圖形上滾動(dòng)的圓心路徑，操作“放縮尺”可以對(duì)一個(gè)圖形放大或縮小，制作莫比烏斯帶可以感受數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力，等等. 具體來(lái)說(shuō)，實(shí)驗(yàn)工具為探索并獲得結(jié)論提供了“可視化”的載體，可以有意識(shí)地解釋現(xiàn)實(shí)世界中的某些現(xiàn)象、解決現(xiàn)實(shí)世界中的一些問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)新的原理與規(guī)律、發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)方法等.

總之，涵蓋初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具是課堂教學(xué)中具有可操作性的“素材”，可以解決“完善課程內(nèi)容，加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)”所需要的、與完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程相配套的“資源”問(wèn)題，可以滿足初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的需求，符合初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理，對(duì)契合深化課程改革、落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的要求，切實(shí)轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、好奇心，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，促使學(xué)生多感官參與數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)，獲取數(shù)學(xué)抽象所需的現(xiàn)實(shí)材料，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的直接體驗(yàn)等，都有積極意義；同時(shí)，對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，也將起到積極作用.[4]