楊 敏

（浙江省杭州市蕭山區(qū)第十高級中學(xué)數(shù)學(xué)組，浙江 杭州）

問題的緣起

基礎(chǔ)教育改革近幾年一直在如火如荼地進行，但現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)課堂還存在不少問題。比如，教師總體講得太多，填鴨式教學(xué)，照本宣科；學(xué)生參與太少，思考得不多，教師為趕進度也經(jīng)常忽略學(xué)生在課堂上暴露出來的問題；教師不明白教學(xué)行為的價值取向，沒有精心設(shè)計課堂導(dǎo)入，從一開始就沒引起學(xué)生的注意，課堂例題設(shè)計和練習(xí)設(shè)計常常帶有盲目性，設(shè)計時沒正視學(xué)生的差異，也沒尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

問題的思考

教學(xué)設(shè)計是教師在教學(xué)目標(biāo)的指引下，對教學(xué)活動進行全面考慮、系統(tǒng)規(guī)劃與預(yù)先策劃，并根據(jù)實際反饋的信息不斷地調(diào)整教學(xué)活動的過程。教育家布盧姆說：“教授任何一個事物，即在向著終極目標(biāo)前進時，一面要記住所要達到的最終形態(tài)，一面要集中力量走好每一步?！卑堰@一類哲學(xué)思考用在研究優(yōu)化教學(xué)過程上，筆者認(rèn)為：優(yōu)化就是優(yōu)勢。

基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情景，提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。筆者是一線教師，就結(jié)合自己的教學(xué)實際，從三個方面淺談一下自己如何優(yōu)化高中數(shù)學(xué)課堂設(shè)計，有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

問題的實踐

一、優(yōu)化課堂引入，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

高中數(shù)學(xué)給大部分學(xué)生的印象是枯燥、難懂，優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂引入，可以從開始處引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。俗話說：“良好的開端是成功的一半?！庇绕湟匾曊n堂引入，這樣才能先聲奪人。

1．創(chuàng)設(shè)生動的教學(xué)情景，重視章節(jié)引入

創(chuàng)設(shè)生動的教學(xué)情景，精彩的引入是提高課堂教學(xué)效率最有效的辦法。一個生動的教學(xué)情景就是一支興奮劑，它可以讓學(xué)生在課堂上興奮起來，特別是對那些缺乏學(xué)習(xí)動力的學(xué)生來說更有效，可以喚起他們潛在的學(xué)習(xí)動力。

在學(xué)習(xí)立體幾何之前，學(xué)生的思維局限于二維空間中。立體幾何與平面幾何有不一樣的地方，也有類似的地方。如何將學(xué)生的思維從二維平面引入三維空間中，在章節(jié)起始課時，筆者作了個小小的嘗試。

筆者首先問學(xué)生一個腦筋急轉(zhuǎn)彎:6根一模一樣的火柴棒最多能組成幾個全等的三角形？這個問題一拋出去，學(xué)生就七嘴八舌討論開了，2個，3個，4個……經(jīng)過一番討論后，有學(xué)生說出將火柴棒豎起來在空間中擺，這時筆者拿出一個正四面體的模型，于是很多學(xué)生都恍然大悟。

這個例子作為立體幾何教學(xué)的起始課，讓學(xué)生感受到：立體幾何是建立在平面幾何的基礎(chǔ)上培養(yǎng)空間想象能力和邏輯思維能力的一門學(xué)科，其特點是“空間問題平面化”。立體幾何與平面幾何既有聯(lián)系又有區(qū)別。為此，在空間概念形成過程中，注意平面幾何和立體幾何方法和結(jié)論的類比聯(lián)想、歸納演繹，有助于提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)。

2.以故事引入課堂，增強趣味性

著名的哲學(xué)家康德曾經(jīng)講過：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證思路的時候，類比就像一位大師指引我們前進。”我們在教學(xué)中不僅要將立體幾何教學(xué)和平面幾何教學(xué)類比聯(lián)系起來，還可以將數(shù)學(xué)教學(xué)和趣味故事類比聯(lián)系起來，增強數(shù)學(xué)的趣味性，減少學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的枯燥感。

高中的學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時感到頗為困難，通常從章頭開始就對其極具排斥性，為改變學(xué)生的這種心理，不妨從章頭引入時講個小故事，讓學(xué)生討論，消除恐懼感。比如可以從宋祖英的歌《辣妹子》講起，歌詞里有這樣的語句：“辣妹子從小辣不怕，辣妹子長大不怕辣，辣妹子嫁人怕不辣，吊一串辣椒碰嘴巴，辣妹子從來辣不怕，辣妹子生性不怕辣，辣妹子出門怕不辣……”宋祖英的“不怕辣，辣不怕，怕不辣”歌，像繞口令般，使得學(xué)生馬上興趣盎然，其中的三個命題“不怕辣，辣不怕，怕不辣”非常有意思，淺層講，都是不怕辣的意思，細(xì)細(xì)想下去，不怕辣的程度越來越高，這時問學(xué)生這三個字還有沒有別的排法，學(xué)生討論之后就可以得出：不辣怕，辣怕不，怕辣不，發(fā)現(xiàn)三個中國漢字經(jīng)過順序排列后有六種組合。從這個例子引入使學(xué)生容易理解：所謂排列，就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序。以小故事優(yōu)化章頭導(dǎo)入語，激起學(xué)生對解決此類問題的欲望，帶著問題去學(xué)習(xí)，霎時間枯燥的數(shù)學(xué)課堂就變得引人入勝了。

二、優(yōu)化改編書本例題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

例題習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，教材中所選的例題習(xí)題都是經(jīng)過精選、具有一定代表性的，有些還是很典型的。搞好課本例題、習(xí)題的剖析教學(xué)，特別是對典型的例題、習(xí)題還要從多角度挖掘其典型的應(yīng)有的教學(xué)價值，這樣不僅能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、法則、定理等基礎(chǔ)知識的理解和掌握，還能讓學(xué)生在解題的準(zhǔn)確性、靈活性和敏捷性上得到有效的提高。

1．重視課本例題，尋找一題多解

筆者在教向量時，碰到必修4課本中第110頁的例2，如圖

?ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點，BE，BF分別與AC交于R，T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？

除了課本上的解法，教師可以提問學(xué)生是否有別的解法。

有學(xué)生想到了連結(jié)BD，與AC相交于點O，這樣CO，BF分別是△BDC的邊BD，CD上的中線，這樣可以知道T是△BDC的重心，利用重心的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，學(xué)生可以得到同理可以得到于是可以推出于是有結(jié)論 AR=RT=TC。

有學(xué)生想到△ABT相似于△FTC，相似比為2∶1，于是AT∶TC=2∶1，易得接下來也容易得到AR=RT=TC，這個學(xué)生整個思路就沒用到向量，用的是初中里的相似三角形的性質(zhì)。這里也很值得表揚。

在這個基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生再想想有沒有別的思路，提問“利用2∶1的比值還可以有別的解法嗎？”略微思考后有學(xué)生想到然后根據(jù)平面向量基本定理，又因為共線共線，于是可以得到然后也可以推出結(jié)論。

通過這題的一題多解，使得學(xué)生對平面向量的基本定理、向量的加法、向量的數(shù)乘等知識融會貫通，舉一反三，思維也得到了很好的鍛煉。

2．結(jié)合課本例題進行改編，設(shè)計問題串揭示問題本質(zhì)

數(shù)學(xué)課堂中例題的優(yōu)化，除了舉一反三，也可以結(jié)合課本例題設(shè)計問題鏈或者問題串之類的變式題，從易到難，從特殊推到一般，揭示本質(zhì)，通過精心設(shè)計問題，促使學(xué)生能思考，教會學(xué)生思維方法。

在上向量章節(jié)復(fù)習(xí)課時，結(jié)合必修4中89頁的例7與99頁的例8，筆者設(shè)計了這樣一道例題?！鰽BC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，D 為 BC 中點。（1）求（2）求

這里的第一小題，設(shè)計的目的是讓學(xué)生復(fù)習(xí)向量的數(shù)量積的定義，比較簡單，一般學(xué)生不會出現(xiàn)問題。對于這里的第二小題，學(xué)生的解法就比較多了。有學(xué)生用向量加法的平行四邊形法則得到用向量減法的三角形法則可以得到然后求數(shù)量積就比較容易了。也有學(xué)生想到用D為BC中點去解題。由于用向量減法可得然后將這個式子兩邊平方整理后可得移項之后可以得到隨即答案也就出來了。

本來例題設(shè)計到這里，應(yīng)該結(jié)束了，但是這樣就是純粹做題，于是筆者又在課堂上拋出第三問：如果 D 為外心，那么為多少？由于剛才學(xué)生做出了兩種方法。用知識遷移的方法，將第二種方法類似地運用，由于 D 為外心，于是然后用向量減法可得然后將這個式子兩邊平方整理也可得移項之后可以得發(fā)現(xiàn)答案還是不變的。這時教師再拋出第四問：D點滿足什么條件時，有這時學(xué)生自己可以推出結(jié)論。這樣結(jié)合課本例題優(yōu)化的習(xí)題，設(shè)計四問，層層深入，環(huán)環(huán)相扣，問題串的由淺入深，使得學(xué)生在不同的思維層次上得到較好的鍛煉。

“問題串”教學(xué)法就是圍繞探究目標(biāo)，通過設(shè)置一系列有針對性的問題引導(dǎo)學(xué)生反應(yīng)，教師在識別學(xué)生反應(yīng)的基礎(chǔ)上，采取有效指導(dǎo)，促進學(xué)生不斷達成探究目標(biāo)的一種有效方法。老師在創(chuàng)設(shè)問題時必須要做到階梯性，問題要有序地提出，并要在問題的提出過程中做到逐步的深入。

三、優(yōu)化練習(xí)，注重知識的融合滲透

有時候我們經(jīng)常感嘆學(xué)生思維的靈敏性，但是有時候?qū)W生在課堂上的想法因為時間的局限性并不成熟，這時候就需要老師引導(dǎo)學(xué)生自己再深入思考?；叵胍郧暗恼n堂教學(xué)中，對學(xué)生完成的學(xué)習(xí)任務(wù)，我總是想方設(shè)法使之不出一點差錯，即使是一些容易產(chǎn)生典型錯誤的稍難問題，我也有“高招”使學(xué)生按我設(shè)計的方法順利解決。在課堂上學(xué)生不出差錯，這是我認(rèn)為的完美的課堂教學(xué)。然而如今，新課程理念下，我才深深感悟到：在掩蓋錯誤以及糾錯的過程中，實際是忽視了教學(xué)中的陷阱,造成學(xué)生上課一聽就懂、課后一做就錯的不良后果,從而成為教學(xué)中的誤區(qū)。

對于學(xué)生在課堂上發(fā)現(xiàn)的新情況，教師要能及時捕捉，而且不能急著去解釋、下定論，而要把問題拋還給學(xué)生，把學(xué)生的發(fā)現(xiàn)作為一種教育生成資源，引導(dǎo)他們從正反不同角度去修正、分析、反駁，在爭論中“言之有理”，在爭論中內(nèi)化知識。

在學(xué)到必修2的“圓與方程”這一章時，筆者設(shè)計了一道課堂練習(xí)：已知點 P（3，4），圓 C：x2+y2+2x+3y=0，過 P 作圓 C 的一條切線，切點為A，問PA長多少？這是道很簡單的題目，常規(guī)解法如下：

PC2=在直角△PAC中可用勾股定理算出

筆者剛在課堂上講完這題的時候，下面馬上有學(xué)生說：“老師，把 P（3，4）直接代入 x2+y2+2x+3y，算得的答案是 43，再開方就是所得答案了，好像這樣也可以。”筆者就問學(xué)生：“這樣代入算得的答案正確是巧合還是真的方法上也行得通？”學(xué)生在略微思考之后就得出以下結(jié)論：將這個圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程就是移項之后得到將 P（3，4）代入的時候表示的就是就是圓的半徑AC的平方，在直角△PAC中用勾股定理就可以知道代入之后左邊的式子就是PA2，那么開平方之后就是切線PA的長度了。所以可以很自然地推出下列結(jié)論：若已知圓外一點P（m，n），圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0，過點 P 作圓的切線，切點為A，將點P代入左邊的式子得到的m2+n2+Dm+En+F就表示切線段PA的長度的平方。

本來到這里就可以結(jié)束此題了，不過此時筆者又拋出了一個問題：若P（m，n）在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的內(nèi)部，那同學(xué)們又可以得到什么結(jié)論？按照上面的思路，最后發(fā)現(xiàn)（m-a）2+（n-b）2-r2表示垂徑一半平方的相反數(shù)。

對這樣簡單的一道課堂練習(xí)，通過學(xué)生發(fā)生的問題來巧妙地設(shè)計接下來的幾問，這樣的優(yōu)化使得學(xué)生對所學(xué)的知識進行了很好的運用，也激發(fā)了他們對學(xué)習(xí)的興趣。

學(xué)生在學(xué)習(xí)中有新發(fā)現(xiàn)是不足為怪的，面對新的想法，如果教師為了完成進度一味采用避而棄之或反復(fù)強調(diào)的方法，都不能達到教學(xué)目的。相反，對于學(xué)生的回答，教師也不要過早地作出評價，應(yīng)留給學(xué)生思考的時間，讓學(xué)生在反饋中糾正自己的想法。學(xué)生將潛在的想法呈現(xiàn)出來，再引導(dǎo)他們比較、思辨，這樣不僅能讓學(xué)生明確新情況產(chǎn)生的原因，知道改正的方法，也可以幫助學(xué)生從對新發(fā)現(xiàn)的反思中提高自己對錯誤的判別能力。

無獨有偶，在講到圓與圓的位置關(guān)系的時候，有這么一道習(xí)題也引起學(xué)生的興趣。已知圓C1：x2+y2+4x+1=0和圓C2：x2+y2+2x+2y+1=0，則以圓C1與圓C2的公共弦為直徑的圓的方程是什么？大部分學(xué)生是這樣解題的：

但是當(dāng)筆者講完這個常規(guī)方法后，有學(xué)生說這題也可以用圓系方程來解，由于學(xué)生提出來了，于是筆者就順著學(xué)生的思路往下講解。其中有個學(xué)生是這樣說的：設(shè)所求圓為x2+y2+4x+1+λ（x2+y2+2x+2y+1）=0，λ≠-1，整理之后化成圓的一般式為可得圓心為由于圓心在公共弦方程x-y=0，于是有此時λ無解，所以學(xué)生說這題用圓系方程解不出來。其實這題理論上是可以用圓系方程來解的，學(xué)生整個思路和計算都沒錯，但是問題出現(xiàn)在哪里呢？全班同學(xué)都困惑了，于是筆者提出將圓系方程設(shè)為學(xué)生之后整理成一般式圓心為代入公共弦方程x-y=0，得到解得m=0，發(fā)現(xiàn)這樣解出來的方程剛好是x2+y2+2x+2y+1=0，與圓C2是同一個圓。然后再回去看λ無解的那種解法，發(fā)現(xiàn)λ無解時其實就是圓x2+y2+2x+2y+1=0，因為這個圓是無法用x2+y2+4x+1+λ（x2+y2+2x+2y+1）=0這個式子來表示的，這樣深入探討之后使得學(xué)生對圓系方程的認(rèn)識就更深刻了。由于這題是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，在筆者引導(dǎo)之下還是自己解決了這個問題，雖然在課堂上花費了一定的時間，但是收到的效果卻出奇的好，而且由于是他們自己發(fā)現(xiàn)的問題，整個探索過程中學(xué)生的注意力都很集中，效果比單純的講解要好得多。

因此，在課堂教學(xué)中，面對學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，我總是努力創(chuàng)設(shè)情境，推動學(xué)生不斷嘗試，讓學(xué)生自己探索，讓學(xué)生“欲罷不能”，讓課堂更具魅力！

在講完直線與圓的知識后，筆者在習(xí)題課上精心設(shè)計了這樣一道題目：已知 x，y 是實數(shù)，且 x2+y2-4x-6y+12=0，求：（1）x2+y2的最值；（2）x-y 的最值；所求圓的最值。對于這題，第一小問可以將x2+y2看作是（x，y）與原點的距離的平方，對于第二小問可以用線性規(guī)劃的知識來求解，也可以用三角代換來解決，對于第三小問可以看作是（x，y）與原點的連線的斜率。在章節(jié)結(jié)束時，設(shè)計這樣一道題目，可以對前面的知識進行很好的回顧，提起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

問題的反思

總之，教學(xué)過程最優(yōu)化不是某種特殊的教學(xué)方法與方式，而是根據(jù)一定的目的組織教學(xué)過程的方法。這一方法要求統(tǒng)一研究教學(xué)原則、所學(xué)課程的內(nèi)容特點，可能采取的一整套教學(xué)形式和方法，所教班級的特征和學(xué)生學(xué)習(xí)的實際可能性，并在對全部的資料進行系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上，選擇對該具體條件來說教學(xué)過程的最優(yōu)方案。只有當(dāng)教師不僅掌握了教學(xué)過程的全部成分本身，而且掌握了選擇有利于現(xiàn)有條件的教學(xué)過程結(jié)構(gòu)的技能，并在考慮班級和每個學(xué)生條件的基礎(chǔ)上，才能實現(xiàn)教學(xué)過程的最優(yōu)化，從而減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，提高課堂效益，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。