，

(1.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300072；2.濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室(天津大學(xué))，天津 300072)

0 引言

基坑降水導(dǎo)致地面沉降既是一個經(jīng)典理論課題，又是一個工程熱點問題。其中圓形基坑無止水帷幕抽水導(dǎo)致地面沉降的課題研究是其它復(fù)雜形狀基坑和不同帷幕深度降水研究的基礎(chǔ)，具有基礎(chǔ)性理論研究意義。某些近似圓形的不規(guī)則基坑降水造成的地面沉降也可近似采用圓坑沉降結(jié)果做參考，本課題具有廣泛的工程參考和應(yīng)用價值。

降水引起的地表面沉降計算，主要有3種方法：其一是規(guī)范中的分層總和法；其二是適用性廣泛的數(shù)值計算方法；其三是某些限制條件嚴(yán)格的理論解析解。針對圓形基坑無帷幕降水引起地面沉降的理論研究，目前國內(nèi)外還無該方面文獻(xiàn)，與之相近的研究偏重于工程實測和數(shù)值模擬。

工程實測方面的研究，宋丹舉[1]結(jié)合分層總和法提出降水沉降簡化計算公式，通過與鄭州軌道交通一號線體育中心站降水實測沉降的對比分析，得到適合鄭州地區(qū)的降水沉降修正系數(shù)。

數(shù)值計算方面的研究，Sunil S. Kishnani和Ronaldo I. Borja[2]應(yīng)用有限元方法進(jìn)行平面二維分析，研究了有支撐基坑在開挖過程中滲流對支護(hù)結(jié)構(gòu)上土壓力、支護(hù)結(jié)構(gòu)變形和地面沉降的影響。Wang J X et al[3]應(yīng)用三維有限差分方法研究了上海地鐵9號線宜山路站基坑降水所產(chǎn)生的基坑周邊水位降深、滲流場分布和地面沉降。Zhou N Q et al[4]應(yīng)用三維有限差分方法研究了上海地鐵10號線杭州路站基坑降水所產(chǎn)生的基坑周邊水位降深和地面沉降。陳興賢等[5]建立了深基坑降水與地面沉降耦合模型，采用有限元數(shù)值方法求解，對南京地鐵三號線浦珠路站深基坑降水進(jìn)行了模擬計算。金小榮等[6]采用二維有限元模型分析彈性模量、降水深度和滲透系數(shù)對基坑周圍土體沉降性狀的影響，研究了回灌和止水措施對減小地表變形的作用。劉微[7]對晉祠隧道明挖段用有限差分?jǐn)?shù)值模擬軟件FLAC3D分析基坑降水施工對周邊環(huán)境影響，得出增大止水深度能夠有效地減小地面沉降量的結(jié)論。凌俊峰[8]用FLAC3D計算索菲亞教堂地基土沉降變形位移場和地下水水位變化規(guī)律。黃頌揚[9]通過對抽水試驗的分析研究了南寧盆地含水層的滲透系數(shù)與影響半徑，應(yīng)用地下水?dāng)?shù)值計算軟件GMS對南寧軌道交通廣西大學(xué)站出入口基坑降水滲流場進(jìn)行了分析。劉波[10]以敞開式降水的武漢中心深基坑工程為例，介紹了武漢互層土地區(qū)大面積和大降深的深基坑降水設(shè)計方案，分析了敞開式降水對基坑周邊地面沉降的影響。

1 理論論證

1.1 圓坑井流降深函數(shù)

含水層內(nèi)單井抽水時，水位降深如圖1所示。當(dāng)群井中各井之間的距離小于影響半徑時，彼此之間的降深和流量就會互相發(fā)生干擾。應(yīng)用疊加原理，對于無越流的承壓含水層、有越流的承壓含水層和潛水含水層內(nèi)布置群井抽水時，薛禹群[11]指出當(dāng)群井抽水時間較長則可形成相對穩(wěn)定的水位降落漏斗，在此漏斗范圍內(nèi)，任一點i的總降深di分別為

圖1 含水層水位降深漏斗簡圖

(1)

(2)

(3)

式中，Qj為井j的流量；Rj為井j的影響半徑；T=KM為承壓含水層的導(dǎo)水系數(shù)，K為含水層的滲透系數(shù)，M為含水層的滲透系數(shù)；rij為點i距井j的距離；n′為井的數(shù)量；B為越流承壓含水層的越流系數(shù)；Hi為潛水含水層的初始厚度；hi為水位降落后潛水含水層的厚度。

式(1)和式(2)分別為無越流和有越流的承壓含水層群井抽水導(dǎo)致的水位降深計算公式，式(3)為潛水含水層群井抽水導(dǎo)致的水位降深計算公式。

當(dāng)各井流量Qj和影響半徑Rj彼此相等時，以上各式可以簡化為

(4)

(5)

(6)

由式(4)～式(6)可以看出在無越流和有越流的承壓含水層和潛水含水層中，任意布置的群井抽水引起的水位降落漏斗內(nèi)任一點的水位降深跟等效距離呈半對數(shù)線性關(guān)系。

在均質(zhì)等厚無限含水層(含水層可以為承壓含水層或潛水含水層)中大面積均勻布井時，若開采地區(qū)可以概化為半徑為R的圓形，當(dāng)各井均勻抽水、總流量為Q時，張蔚榛[12-13]通過拉氏變換和Hankel變換，求得地下水位降深d的計算公式為

(7)

(8)

(9)

(10)

水位降深公式(8)最終可簡化為

(11)

(12)

從式(12)可以看出，當(dāng)抽水持續(xù)時間較長時，均勻布井的圓形(近圓形)開采區(qū)坑外水位降深呈d-lnr半對數(shù)線性關(guān)系。

綜上所述，在潛水含水層和承壓含水層中，無論多井任意布置抽水還是圓形(近圓形)開采區(qū)內(nèi)抽水，當(dāng)形成穩(wěn)定的水位降深漏斗時，測點水位降深都呈d-lnr半對數(shù)線性關(guān)系。該井流降深函數(shù)在下節(jié)地面沉降控制方程求解中會得到應(yīng)用。

1.2 地面沉降控制方程導(dǎo)出

圖2 抽水引起沉降的理論分析模型圖

如圖2所示，以抽水區(qū)域中心為原點的柱坐標(biāo)系中，變形范圍內(nèi)土體分為n層，r為距中心原點的距離，si為各層頂面位移值(第n層底面處位移為零)，dwi為各層內(nèi)水位降深值，Esi，Gi，Mi分別為各層的壓縮模量、剪切模量和土層厚度。

基于以下幾條假定，進(jìn)行后面的理論分析：

(1)各土層內(nèi)土體是均質(zhì)、各向同性的；

(2)土體只發(fā)生豎向位移；

(3)土體徑向相鄰兩點的位移差引起摩阻力；

(4)土體變形之應(yīng)力應(yīng)變滿足線性關(guān)系。

無側(cè)向變形下土層壓縮量公式為[14]

(13)

式中，s為土層壓縮量或沉降位移量；M為土層厚度；Es為土層壓縮模量；Δp為土層所受應(yīng)力增量。

抽水導(dǎo)致土層沉降時若總應(yīng)力不變，則應(yīng)力增量Δp由兩部分組成，即水頭降低導(dǎo)致的應(yīng)力增量和徑向相鄰面相對位移導(dǎo)致的剪應(yīng)力差值，其中前者導(dǎo)致土層有效應(yīng)力增加，后者導(dǎo)致有效應(yīng)力減小。即

(14)

剪應(yīng)力與剪應(yīng)變和土層位移關(guān)系如下[16]

(15)

式中，ur為土體徑向位移。

綜合以上，得土層沉降滿足下面的公式

(16)

由土體的本構(gòu)關(guān)系及邊界條件可得各層土體控制方程為

第一層：

(17)

第二層:

(18)

第i層：

(19)

第n層：

(20)

1.3 地面沉降控制方程求解

先從第一層土體的控制方程式(17)開始求解，該式為非齊次微分方程，需先求解其齊次方程的一般解，再求得其一特解，則可得通解。

齊次方程可表示為

(21)

(22)

(23)

式(23)為零階Bessel方程，其通解為

(24)

(25)

(26)

(27)

所以通解式(24)無論在t取值較小和較大時，都可以表示為式(25)的形式。

將原變量代回式(25)并化簡得齊次方程的一般解

(28)

下面求非齊次方程的一個特解，假設(shè)特解有如下形式

s1-s2=d1+d2lnr

(29)

式中，d1、d2為待定系數(shù)。

式(29)兩邊求導(dǎo)，得

(30)

代入式(17)，得

圖3 井流降深函數(shù)半對數(shù)坐標(biāo)圖

(31)

由1.1節(jié)井流降深函數(shù)中的d-lnr半對數(shù)線性關(guān)系，結(jié)合圖3所示，可以得到

(32)

式中，sw為含水層中心或抽水井內(nèi)水位降深。將式(32)代入式(31)得特解為

(33)

(34)

s1-s2=c11-c12lnr

(35)

將式(35)代入式(18)，采用以上相同的求解方法可得

s2-s3=c21-c22lnr

(36)

同理可求得各層計算公式為

(37)

1.4 地面沉降和分層沉降公式

下面進(jìn)行抽水導(dǎo)致地面沉降及分層沉降計算公式的分析。

將各層計算公式(37)等號兩邊累加得

s1=(c11+c21+…+cn1)-(c12+c22+…+cn2)lnr

(38)

令C11=c11+c21+…+cn1、C12=c12+c22+…+cn2，可得地面沉降公式為

s1=C11-C12lnr

(39)

代入式(37)中有

s2=s1-(c11-c12lnr)=(C11-c11)-(C12-c12)lnr=C21-C22lnr

(40)

同理可得各分層沉降表達(dá)式為

(41)

以上理論論證表明圓形(近圓形)開采區(qū)抽水引起的地面沉降規(guī)律為式(39)，即開采區(qū)外任一點處地面沉降值與該點到開采中心距離之間為半對數(shù)線性關(guān)系。

2 實例驗證

選取Jacob Bear和M. Yavuz Corapcioglu[15]在1981年推導(dǎo)的單井、群井抽水引起地面沉降的經(jīng)典理論解，同時選取實際工程中圓形(近圓形)基坑敞開式降水導(dǎo)致土層沉降的第三方實測數(shù)據(jù)對本文以上論證進(jìn)行驗證。由于圓形基坑敞開式降水導(dǎo)致地面沉降的監(jiān)測資料難以找到，本文驗證案例中基坑均為近似圓形。實例一和實例二分別來源于國內(nèi)文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[17]。

2.1 理論解驗證

Jacob Bear等人推導(dǎo)出單井抽水引起的沉降公式為

(42)

群井(分布呈圓形)抽水引起的沉降公式為

(43)

(44)

式中，t為沉降時間；Qw為單位時間內(nèi)的抽水量；Cv為固結(jié)系數(shù)；r為測點到沉降中心的距離；函數(shù)W為泰斯井流的井函數(shù)；R為半徑。

采用文獻(xiàn)中選取的參數(shù)Cv=6×103cm2/s、∑Qw=500 L/s、R=1.5 km、t=5 a，利用群井抽水引起的沉降公式分別計算距群井中心不同距離點的沉降值見表1，擬合沉降值s(m)與距離對數(shù)值lnr(m)間函數(shù)關(guān)系式見式(45)，線性相關(guān)度為94.95%，見圖4。

s=1.051 9+0.105 0lnr

(45)

圖4 s-ln r關(guān)系曲線

計算點距離/m沉降/cm150036.1280035.0 31 10033.3 41 40031.151 50030.2 62 00026.4 73 00021.1 8 5 00014.6 97 00010.6

2.2 工程驗證實例一

工程實例一[16]為秦皇島市東港路二期改、擴建(港城大街—東山街)路塹結(jié)構(gòu)U型槽工程，基坑分為南北兩部分，北側(cè)基坑近似為圓形，無止水帷幕。抽水井和觀測點布置如圖5和圖6所示，T0、T1、T3、T6為地面沉降觀測點，各測點到井群中心距離r與實測地面沉降值s見表2。擬合沉降值s(m)與距離對數(shù)值lnr(m)間函數(shù)關(guān)系式見式(46)，線性相關(guān)度為92.63%，見圖7。

s=0.260 7-0.048 4lnr

(46)

圖5 原文獻(xiàn)中抽水點與沉降監(jiān)測點布置圖

圖6 處理后的抽水點與沉降監(jiān)測點布置圖

圖7 s-ln r關(guān)系曲線

測點距離/m沉降/mmT67357.1T312620.5T11767.2T02361.5

2.3 工程驗證實例二

工程實例二[17]地點位于東莞市富民大街北面，基坑呈矩形，長55 m，寬35 m，近似為圓形，無止水帷幕。沉降觀測點布置如圖8和圖9所示，T4～T7為地面沉降觀測點，各測點到井群中心距離r與實測地面沉降值s見表3。擬合沉降值s(m)與距離對數(shù)值lnr(m)間函數(shù)關(guān)系式為式(47)，線性相關(guān)度為88.22%，見圖10。

s=0.082 8-0.017 6lnr

(47)

圖8 原文獻(xiàn)中抽水點與沉降監(jiān)測點布置圖

圖9 處理后的抽水點與沉降監(jiān)測點布置圖

圖10 s-ln r關(guān)系曲線

測點距離/m沉降/mmT440.316.1T549.815.8T669.79.7T790.82.1

3 結(jié)論

針對抽水導(dǎo)致地面沉降這一熱點問題，研究了圓形(近圓形)開采區(qū)抽水引起的地面沉降規(guī)律，并引申到過程中基坑敞開式降水引起的地面沉降規(guī)律中，經(jīng)過合理假設(shè)和嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出測點地面沉降值與測點至井群中心距離呈半對數(shù)線性關(guān)系的規(guī)律，即：s1=C11-C12lnr。

以上規(guī)律被抽水引起地面沉降的經(jīng)典理論解以及國內(nèi)兩篇公開文獻(xiàn)實測數(shù)據(jù)得到了較好的驗證，線性相關(guān)度分別為94.95%，92.63%和88.22%。

本章研究圓形基坑敞開式降水導(dǎo)致的地面沉降規(guī)律，對于近似圓形的不規(guī)則基坑外的地面沉降也可參考應(yīng)用。