黃泰俊，楊自春，陳國兵，費志方

(海軍工程大學動力工程學院，湖北武漢 430033)

船舶動力系統(tǒng)是一個復雜度高、可靠性要求高的系統(tǒng)。動力系統(tǒng)部分設備及子系統(tǒng)存在冗余，且由于不同航行工況對系統(tǒng)性能輸出的要求不同。系統(tǒng)中的設備處于不同的內(nèi)部工作環(huán)境，導致相同設備存在不同的失效率，而多個設備存在于相同的外部環(huán)境之中，導致系統(tǒng)存在共因失效。由于進行動力系統(tǒng)可靠性分析需要考慮的因素眾多，從而成為此類問題分析的難點。因此對這類系統(tǒng)進行可靠性分析，可以對系統(tǒng)的設計和維修決策提出有效建議，具有實際工程意義。

動力系統(tǒng)由多個分系統(tǒng)構成，包含各種串并聯(lián)系統(tǒng)以及k/n(G)系統(tǒng)。由于船舶運行工況復雜，使動力系統(tǒng)存在多種工作狀態(tài)，傳統(tǒng)的二態(tài)可靠性分析方法因為忽略系統(tǒng)中間狀態(tài)，導致分析結果過于保守，不能準確的評估系統(tǒng)的可靠性，因此，本文采用多狀態(tài)分析方法對動力系統(tǒng)進行可靠性分析。目前，對于多狀態(tài)系統(tǒng)的研究方法主要有以下5種:布爾模型擴展法、隨機過程 (主要是Markov過程)法、通用生成函數(shù) (Universal Generating Function，UGF)法、隨機仿真 (主要是Monte Carlo仿真)法以及貝葉斯網(wǎng)絡法等。其中，由于通用生成函數(shù)在處理復雜的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性方面，具有計算復雜程度小、處理離散隨機變量組合簡潔高效等優(yōu)點，被廣泛運用［1－4］。以上研究均是在只考慮系統(tǒng)設備獨立失效的情況下進行的。

然而，由于工作環(huán)境的影響，使動力系統(tǒng)設備之間存在共因失效。共因失效是增加失效概率的主要原因之一，會降低冗余單元提升系統(tǒng)可靠性的效果。針對這個問題，國內(nèi)外學者把共因失效作為系統(tǒng)可靠性的一個重點因素進行了相關研究［5－7］。

以上研究考慮的都是相同單元在相同失效率和修復率情況下的可靠性分析問題，而動力系統(tǒng)中存在由于工作環(huán)境不同導致的相同單元失效率不同的情況，針對此問題以及動力系統(tǒng)存在多狀態(tài)和共因失效等問題，本文利用通用生成函數(shù)，結合根據(jù)非同型單元可靠性分析［8］改進的Markov過程，提出相同單元存在不同失效率且考慮完全共因失效情況的k/n(G)系統(tǒng)的可靠性分析方法，并以海水系統(tǒng)為例，對其進行可靠性分析。

1 多狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)定義

假設系統(tǒng)由n個單元組成，其中單元j(j=1，2，…，n)有kj個狀態(tài)，其中包括了正常狀態(tài)1、失效狀態(tài)kj以及中間狀態(tài) (2，…，kj－1)，則單元狀態(tài)性能向量表示為gj= {gj1，gj2，…，gjkj}和對應的狀態(tài)概率為pj(t) = {pj1(t)，pj2(t)，…，pjkj(t)}。單元的輸出性能被看做為一個離散狀態(tài)連續(xù)時間的隨機過程Gj(t)，有Gj(t)∈gj，單元狀態(tài)概率和輸出性能值間的關系為pjhj(t) =Pr{Gj(t) =gjhj}(hj=1，2，…，kj)。

對于系統(tǒng)而言，系統(tǒng)輸出性能由全部n個單元的性能狀態(tài)決定，假設系統(tǒng)存在K個性能值，則單元和系統(tǒng)之間存在如下映射關系:

2 通用生成函數(shù)法

2.1 通用生成函數(shù)的運用

利用UGF進行系統(tǒng)可靠性分析時，通過引入z變換函數(shù)，首先要對系統(tǒng)及系統(tǒng)單元進行狀態(tài)和性能描述。UGF定義了隨機變量的可能取值與其對應的概率之間的聯(lián)系，并通過運算建立了不同變量之間的關系。定義t時刻單元j的UGF為［9］:

定義UGF的運算法則，引入算子Ωf，得到多狀態(tài)系統(tǒng) (Multi－state System，MSS)的UGF為:

式中:U1(z，t)，…，Un(z，t) 為各單元的UGF。

根據(jù)串并聯(lián)的結構特點，定義系統(tǒng)結構函數(shù)f(·)的計算法則:

1)對于串聯(lián)系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出性能取決于性能最弱的單元，定義運算符δ1:

式中:gi、gj表示2個不同單元的性能值。

2)對于并聯(lián)系統(tǒng)，若系統(tǒng)性能由各單元一起分擔，定義運算符δ2:

3)對于并聯(lián)系統(tǒng)，若系統(tǒng)性能取決于性能最強的單元承擔，定義運算符δ3:

2.2 通用生成函數(shù)評估指標

由于UGF表示多狀態(tài)系統(tǒng)的瞬時性能分布，因此可以用于評估瞬態(tài)可用度、平均瞬態(tài)性能等。

使用算子δA可得到在任意t(t＞0)時刻實際性能需求值為w時的系統(tǒng)瞬態(tài)可用度［9］:

使用算子δE可得到在任意t(t＞0)時刻系統(tǒng)的平均瞬態(tài)性能為:

3 基于共因失效的可靠性分析改進方法

由上節(jié)所知，利用通用生成函數(shù)方法進行多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析，關鍵在于確定狀態(tài)的性能值和對應狀態(tài)的概率，對于單元j而言，即計算式 (1)中的gjhj和pjhj(t)，對于整個系統(tǒng)而言，即計算式(7)中的gi和pi(t)。其中單元性能值由單元本身決定，系統(tǒng)性能值由組成系統(tǒng)的單元之間的結構關系決定。

本節(jié)將利用Markov過程進行系統(tǒng)狀態(tài)的概率分析。對存在共因失效單元的k/n(G)系統(tǒng)作以下假設。

1)系統(tǒng)中單元的壽命和維修時間均服從指數(shù)分布，且單元只存在工作和失效2種狀態(tài)。

2)系統(tǒng)由n個失效率不同的相同單元組成，其對應失效率分別為 (λ1，λ2，…，λn)，至少有k(k=1，2，…，n)個單元正常工作時，系統(tǒng)正常;否則，系統(tǒng)失效。

3)系統(tǒng)進入故障狀態(tài)時，其余正常單元停止工作。

4)單元可修，且有足夠的維修工，各單元的維修率相同為μ。

5)共因失效發(fā)生時系統(tǒng)失效，共因失效率為λ*。

對k/n(G)系統(tǒng)存在狀態(tài)進行定義。從失效單元個數(shù)定義，狀態(tài)有n－k+2個，失效單元數(shù)分別為0，1，…，n－k，n－k+1，n個。然而，由于每個單元失效率不同，所以在i(i=1，2，…，n－k+1)個單元失效的情況下又分為Cin個子狀態(tài)。用0和1表示各個單元的工作狀態(tài)，0表示失效，1表示工作。例如 t時刻的 (0，0，1，1，…，1)表示單元1和2失效，其他正常工作。若用EiSi表示系統(tǒng)所有狀態(tài)，其中 Si=1，2，…，Cin，則t時刻的狀態(tài)為E21(t)，用FiSi(t)表示狀態(tài)EiSi(t)失效單元的位置，則F21(t) ={1，2}。令失效單元數(shù)n－k=r，以系統(tǒng)的單元失效個數(shù)表示的系統(tǒng)狀態(tài)關系圖，不存在共因失效和存在共因失效的系統(tǒng)狀態(tài)轉移圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)轉移

圖1 中，λSi、μSi(i=1，2，…，r+1) 分別為失效單元數(shù)為i到失效單元數(shù)為i－1的狀態(tài)的失效率及相反過程的修復率，μSn為單元全部失效到失效單元數(shù)為r+1時的修復率。

通過馬爾科夫過程可以得到微分方程組(10)。

式中:pi(t)(i=0，1，…，r+1，n)為失效單元數(shù)為i時的狀態(tài)概率，piSi(t)為失效單元數(shù)為i時子狀態(tài)Si的概率，λj(j=1，2，…，n)為第j種單元的失效率。

本文使用MATLAB進行迭代運算，初始條件為p(t) = ［1，0，…，0］，即 p0(0) =1，pisi(0) =0，求解得到各狀態(tài)的瞬態(tài)概率pi(t)。

對于不需要了解瞬態(tài)概率，只關心穩(wěn)態(tài)可靠性能的系統(tǒng)，可以把各狀態(tài)概率pi(t)作為常量，帶入式 (10)進行計算，對于微分方程組的求解，也就轉換為求解線性代數(shù)方程，可以得到多狀態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率值pi(∞)。

4 算例分析

4.1 算例1

以文獻 ［7］的算例3為研究對象，由于該系統(tǒng)的單元失效率相同，所以把λ1=λ2=0.001/h、λ*=0.000 5/h、μ =0.004/h代入式 (10) 得到結論，如表1所示。

表1 結論對比

其中，在本文結論中失效單元數(shù)為1時的概率計算為:

所以本文結論與文獻 ［7］一致，驗證了本文所提出方法的正確性。

4.2 算例2

4.2.1 海水系統(tǒng)的多狀態(tài)模型

海水系統(tǒng)的用途是向動力設備和用水用戶提供足夠的冷卻海水保證它們的正常工作。本文以海水系統(tǒng)為例，建立多狀態(tài)系統(tǒng)的計算模型，如圖2所示。其中，1、2、3、4、5分別代表5臺海水泵，1、2為共因失效組1(CCG1)，3、4為共因失效組2(CCG2)，5號泵為軸系海水泵，其與前兩組海水泵互為備用。

由于泵1、2、泵3、4以及泵5分別在3個不同艙室之中，且由于2號海水泵在儲備狀態(tài)時連接普通電源，工作時連接可靠電源，4號海水泵連接可靠電源，其余海水泵連接普通電源，導致各泵的獨立失效率不同;由于泵的型號相同，所以各泵的修復率相同。設λi為各泵的獨立失效率，μ為修復率。不同艙室的整體工作環(huán)境不同，所以不同艙室海水泵的共因失效率也不相同，、分別為共因失效組1、2的共因失效率。根據(jù)設計值，相應數(shù)據(jù)如表2所示。

圖2 海水系統(tǒng)結構

表2 可靠性參數(shù)

4.2.2 海水系統(tǒng)可靠性分析

1)穩(wěn)態(tài)分析。由于每個海水泵只存在工作和失效2種狀態(tài)，海水泵的額定流量為250 t/h，所以gi={250，0}。對于共因失效組1而言，把表2中數(shù)據(jù)帶入式 (10)，再聯(lián)合式 (3)、(5)，得到共因失效組1(子系統(tǒng)1)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)為:

同理，得到共因失效組2(子系統(tǒng)2)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)函數(shù)為:

單元5(子系統(tǒng)3)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)函數(shù)為:

最后得到海水系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)通用生成函數(shù)為:

根據(jù)式 (9)得到海水系統(tǒng)的平均穩(wěn)態(tài)性能為:

在船舶的不同航行工況下，對于海水系統(tǒng)的供水量要求不同:

(1)在工況1下，w=964.8 t/h，則 A(∞，w)=0.994 0;

(2)在工況2下，w=814.8 t/h，則 A(∞，w)=0.994 0;

(3)在工況3下，w=364.8 t/h，則 A(∞，w)=0.999 9;

(4)在工況4下，w=267.8 t/h，則 A(∞，w)=0.999 9。

2)瞬態(tài)分析。精確值的解法為，結合初始條件對式 (10)進行Laplace－Stieltjes變換，再進行Laplace－Stieltjes反變換可以解得各狀態(tài)的瞬態(tài)概率表達式，即piSi(t)。結合式 (3)、(5)得到海水系統(tǒng)瞬態(tài)通用生成函數(shù)表達式UMSS(z，t)。

本文結合穩(wěn)態(tài)概率計算過程的數(shù)據(jù)，利用Origin生成相應圖形。以1 000＜w＜1 250為例，則:

根據(jù)上式可以得到系統(tǒng)單元獨立失效和考慮共因失效時的瞬態(tài)可用度A(t，w)和平均瞬態(tài)性能E(t)，如圖3、圖4所示。

圖3 海水系統(tǒng)變工況下瞬態(tài)可用度對比

圖3 中，NO CCF1和CCF1分別代表單元獨立失效和共因失效時，系統(tǒng)性能輸出要求為500＜w＜750時的可靠性水平;NO CCF2和CCF2分別代表單元獨立失效和共因失效時，系統(tǒng)性能輸出要求為750＜w＜1 000時的可靠性水平;NOCCF3和CCF3分別代表單元獨立失效和共因失效時，系統(tǒng)性能輸出要求為1 000＜w＜1 250時的可靠性水平。

根據(jù)圖3和4可知:①若不考慮共因失效，將會導致系統(tǒng)可靠性分析結果比實際情況偏高;②海水系統(tǒng)的可靠性指標在系統(tǒng)開始運行后，迅速收斂，根據(jù)瞬態(tài)指標的變化規(guī)律，可以在性能要求變化時，確定系統(tǒng)的檢修周期;③系統(tǒng)冗余度越高，可靠性越高，但是隨著冗余度的增加，對于系統(tǒng)可靠性的提升效果逐漸減小，可以根據(jù)此規(guī)律確定系統(tǒng)最合適的備件數(shù)量;④考慮共因失效時，系統(tǒng)的平均瞬態(tài)性能穩(wěn)定值約為1 229 t/h，遠大于最高需求性能964.8 t/h，說明海水系統(tǒng)有很高的可用度。

圖4 海水系統(tǒng)平均瞬態(tài)性能對比

5 結束語

本文結合通用生成函數(shù)和Markov過程，對含有共因失效的多狀態(tài)系統(tǒng)進行可靠性分析，基于已有的非同型單元k/n(G)馬爾科夫系統(tǒng)可靠性分析方法改進提出了一種新方法，用于相同單元具有不同失效率并且存在共因失效的情況。并且用實例進行了驗證，保證方法的正確性。通過研究有以下結論。

1)本文結合通用生成函數(shù)與Markov過程的多狀態(tài)可靠性分析方法，解決了二態(tài)可靠性分析結果偏保守的問題，提高了可靠性分析的精確度。

2)共因失效將導致系統(tǒng)可靠性水平下降，本文研究結果也證明了對系統(tǒng)進行共因失效分析的必要性。

3)考慮共因失效改進Markov方法，克服傳統(tǒng)可靠性研究只考慮獨立失效和只考慮單元失效率相同的局限性，使本文的狀態(tài)概率計算方法能夠應用于存在共因失效的相同單元不同失效率的k/n(G)系統(tǒng)之中，同時由算例1的結果可以證明，此方法也可以運用于相同單元具有相同失效率的k/n(G)系統(tǒng)之中，具有一定的通用性。

本文考慮了單元壽命和維修時間都服從指數(shù)分布的情況，然而在機械設備當中，還存在非指數(shù)分布的情況。下一步工作將考慮單元壽命和維修時間服從非指數(shù)分布的情況。