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        凹凸率與平均值
        ——琴生不等式的推廣:凹凸率不等式

        2018-12-20 03:35:34王禮斌
        關(guān)鍵詞:不等號(hào)凸性凹凸

        ◎王禮斌

        一、均值的概念

        定義:對(duì)給定區(qū)間內(nèi)任意 x1,x2(x1<x2),當(dāng)f(x)在該區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)時(shí),則稱使等式 f(x0)=p1f(x1)+...+pnf(xn)(p1+p2+...+pn=1,且p1,p2,...pn均為正數(shù))成立的 x0稱為 x1,x2,...xn的 n元 f(x)加權(quán)均數(shù),p1,p2,...pn,分別為對(duì)應(yīng)元素的權(quán)。

        二、凹凸函數(shù)的幾何特征

        凹凸函數(shù)是區(qū)分函數(shù)增減方式的兩種不同類型的函數(shù),即:雖然函數(shù)單調(diào)增加,但卻可以有如圖的兩種方式的增加,把形如f1(x)的增長(zhǎng)方式的函數(shù)稱為凸函數(shù),而形如f2(x)的增長(zhǎng)方式的函數(shù)稱為凹函數(shù)。

        根據(jù)函數(shù)的凹凸定義,不難證明,若函數(shù) f(x)在區(qū)間 I是凹的,則函數(shù)-f(x)在區(qū)間I就是凸的。從而,我們從凸函數(shù)特征的討論可在凹函數(shù)上適用。

        為了便于使用,通常把不等式寫成如下的等價(jià)形式:

        如:設(shè)q1=t,q2=1-t,有q1-q2=1.(q1,q2∈ (0,1))則(1)式可改寫為

        則函數(shù)式可寫為

        f(q2x2+q2x2)≤ q1f(x1)+q2x2

        2、凸函數(shù)的幾何特性:

        如圖,設(shè)A1,A2是凸函數(shù)y=f(x)曲線上的兩點(diǎn),它們對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo) x1<x2x∈ (x1,x2),則存在q1,q2>0,q1+q2=1,使得x=q1x1+q2x2,過(guò)點(diǎn)x作ax軸的垂線交函數(shù)于A,交A1、A2于B,則上式左端即為A點(diǎn)縱坐標(biāo),右端即為B點(diǎn)縱坐標(biāo)。因此,凸函數(shù)的幾何意義就是:其函數(shù)曲線任意兩點(diǎn)A1與A2之間的部分位于弦A1A2的下方或曲線在任一點(diǎn)切線上方。

        從而由上述凸函數(shù)幾何性質(zhì)有

        三、凹凸率與凹凸函數(shù)

        2、性質(zhì):設(shè)兩連續(xù)且單調(diào)函數(shù)f(x),g(x)存在給定區(qū)間 D上的凹凸率函數(shù)。記為 Cf(x),Cg(x)分別為其凹凸率函數(shù),若 Cf(x)>Cg(x)在區(qū)間D上恒成立,則稱g(x)在區(qū)間D上的凸性強(qiáng)于f(x)(或f(x)在區(qū)間D上凸性若于g(x))記分別為 x1,x2的 f(x),g(x)均數(shù)(x1,x2均定義區(qū)間且 x1≠x2g(x)),則有:

        四、凹凸函數(shù)應(yīng)用定理

        定理可以直接由控制不等式的理論得出,見定理5.5

        當(dāng)然,若f(x)是嚴(yán)格凹函數(shù),則定理1和推論1中不等號(hào)反向。

        如同推論 1,設(shè)正實(shí)數(shù) xi≤p,i=1,2,...,n,其余條件不變,若 f(x)在區(qū)間[0,p]內(nèi)是嚴(yán)格凸函數(shù),則定理2中右邊不等式是嚴(yán)格小于的,同樣對(duì)于f(x)是凹函數(shù)時(shí)不等號(hào)反向。

        F(x1,s-x1,0...0)≤m.因此我們就有下面這個(gè)定理:

        結(jié)語(yǔ):綜上所述,利用凸函數(shù)定義及幾何特性證明不等式,關(guān)鍵的要根據(jù)所要證明不等式,選取相關(guān)的函數(shù)及適當(dāng)?shù)膞1,x2選取,此法雖然具有一定的構(gòu)造性,但證明的過(guò)程卻相對(duì)簡(jiǎn)潔。

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