安徽省宣城市第十二中學(xué)(242000) 呂蓮花

安徽省宣城市四小民生校區(qū)(242000) 張繼承

用整體的觀點(diǎn)來(lái)思考整體的教學(xué),提高整體的教學(xué)效果,是九年級(jí)第二輪復(fù)習(xí)的關(guān)鍵,也是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵時(shí)期.此時(shí)的重點(diǎn)應(yīng)該發(fā)展學(xué)生的理性思維,用科學(xué)的思維方式認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題、指導(dǎo)行為;進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生批判質(zhì)疑的精神,能獨(dú)立思考、獨(dú)立判斷,思維縝密,多角度、辯證地分析問(wèn)題,做出選擇和決定;還要用于探索,對(duì)已經(jīng)熟知的知識(shí)點(diǎn)還能擁有好奇心和想象力,不畏艱難、堅(jiān)持不懈的探索,大膽嘗試、積極尋求有效或多種的問(wèn)題解決方法.

一、內(nèi)容和核心素養(yǎng)細(xì)目表

______________________________問(wèn)題 涉及到的知識(shí)點(diǎn)______體現(xiàn)的核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想例1、在一條河流的同側(cè),有兩個(gè)村莊,現(xiàn)在需要在河邊修建一送水站P,使得送水站到兩個(gè)村莊的距離和最短,請(qǐng)求P點(diǎn)的位_置?(河流寬度忽略不計(jì)______________________________________________________)1、軸對(duì)稱2、兩點(diǎn)之間線段最短1、數(shù)學(xué)抽象2、建模思想3、轉(zhuǎn)化思想例 2、在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2),B(8,8),你能在x軸上找到一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小嗎?_并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)_______________________________________________________.1、軸對(duì)稱性質(zhì)2、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式3、一次函數(shù)性質(zhì)1、建模思想2、運(yùn)算能力3、轉(zhuǎn)化思想4、數(shù)形結(jié)合等思想例3、你能在線段OD上找一點(diǎn)P,使得△PAO～△PBD嗎?求出點(diǎn)P的坐標(biāo)?解法1:1、軸對(duì)稱性質(zhì)2、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式3、一次函數(shù)性質(zhì)解法2:1、相似三角形的判定___________________________________________________________________________________________2、一元一次方程的解法1、數(shù)學(xué)抽象2、建模思想3、轉(zhuǎn)化思想4、函數(shù)思想5、方程思想

例4、你能在線段OD上找一點(diǎn)P,使得△PAO和△PBD相似嗎?求出點(diǎn)P的坐標(biāo)?1、軸對(duì)稱性質(zhì)2、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式3、一次函數(shù)性質(zhì)4、相似三角形的判定5、比例的性質(zhì)6、解一元一次方程________________________________________________________________________________________7、解一元二次方程1、數(shù)學(xué)抽象2、建模思想3、轉(zhuǎn)化思想4、函數(shù)思想5、方程思想6、分類(lèi)思想7、幾何直觀例5、在線段CD上找一點(diǎn)P,使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似,你能通過(guò)作圖法找到點(diǎn)P的位置嗎?可能會(huì)出現(xiàn)幾種情況?(lm+n)1、軸對(duì)稱性質(zhì)2、相似三角形的判定3、圓的確定4、直線與圓的位置關(guān)系5、切線的性質(zhì)定理6、中位線性質(zhì)7、勾股定理1、數(shù)學(xué)抽象2、建模思想3、轉(zhuǎn)化思想4、函數(shù)思想5、方程思想6、分類(lèi)思想7、幾何直觀_________________________________________________________________________________________________________________8、數(shù)形結(jié)合等思想例 6、在線段CD上找一點(diǎn)P,使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似,請(qǐng)問(wèn)當(dāng)l,m,n滿足什么條件時(shí),這樣的點(diǎn)有1個(gè)?有2個(gè)?有3個(gè)?(lm+n)1、軸對(duì)稱性質(zhì)2、相似三角形的判定3、解一元一次方程4、一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系1、數(shù)學(xué)抽象2、建模思想3、轉(zhuǎn)化思想4、函數(shù)思想5、方程思想6、分類(lèi)思想7、幾何直觀_________________________________________________________________________________________________________________8、數(shù)形結(jié)合等思想

二、課程設(shè)計(jì)

(一)生活中的小數(shù)學(xué)

例1如圖1,在一條河流的同側(cè),有兩個(gè)村莊,現(xiàn)在需要在河邊修建一送水站P,使得送水站到兩個(gè)村莊的距離和最短,請(qǐng)求P點(diǎn)的位置?(河流寬度忽略不計(jì))

本題的解決辦法:如圖2,作出點(diǎn)A關(guān)于河流l的對(duì)稱點(diǎn)A′,連接A′B,交河流l于點(diǎn)P,點(diǎn)P就是所要求的點(diǎn).

圖1

圖2

(二)與函數(shù)的聯(lián)系變型

將上面的問(wèn)題直接應(yīng)用到平面直角坐標(biāo)系中,將圖形和函數(shù)結(jié)合,即可變形為數(shù)形結(jié)合題:

例2如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2),B(8,8),你能在x軸上找到一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小嗎?并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖3

圖4

此時(shí),可以將x軸看做是河流l,直接應(yīng)用第1題的結(jié)論,就可以通過(guò)作圖的方式找出點(diǎn)P,如圖4,作點(diǎn)A(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是A′(0,-2),連接A′B,與x軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P.

本題將情境改在平面直角坐標(biāo)系中,A′B也就可以看做是一次函數(shù),只要求解出一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)既可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo).解題過(guò)程如下:

解設(shè)y=kx+b,經(jīng) 過(guò)A′(0,-2),B(8,8)得:解得:所以,當(dāng)y=0時(shí),,解得:,所以.

(三)與相似三角形的聯(lián)系變型

例3 如圖5,你能在線段OD上找一點(diǎn)P,使得△PAO～△PBD嗎?求出點(diǎn)P的坐標(biāo)?

圖5

由上題可得,此題的第一種解決辦法:

(1)作點(diǎn)A(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是A′(0,-2),連接A′B,與x軸的交點(diǎn)是點(diǎn)P.因?yàn)?∠APO=∠A′PO=∠BPD(軸對(duì)稱性質(zhì)、對(duì)頂角相等),∠AOP=∠BDP=90°(垂直的定義),所以△PAO～△PBD(兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似),再利用一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

(2)此題還可以直接利用相似三角形的性質(zhì)求解:設(shè)OP=x,則PD=8-x,因?yàn)椤螦OP=∠BDP=90°,當(dāng)時(shí),△PAO～△PBD,即:,解得:,所以P的坐標(biāo)為.

相似三角形的判定在此題構(gòu)圖中并不是只可以構(gòu)造出一種相似,于是再次變形:

例4如圖5,你能在線段OD上找一點(diǎn)P,使得△PAO和△PBD相似嗎?求出點(diǎn)P的坐標(biāo)?

此題中的相似沒(méi)有使用相似符號(hào)一一對(duì)應(yīng),所以首先需要分類(lèi)討論:△PAO和△PBD相似可以理解為:1○△PAO～△PBD;2○△PAO～△BPD;

(1)當(dāng)△PAO～△PBD時(shí),見(jiàn)第3題的解法,兩種辦法均可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為;

圖6

(2)當(dāng)△PAO～△BPD時(shí),可以使用第3題的兩種解法中的第2種來(lái)解決,如圖6:設(shè)OP=x,則PD=8-x,因?yàn)椤螦OP=∠PDB=90°,當(dāng)時(shí),△PAO～△BPD,即:,解得:x=x=4,所以P的坐標(biāo)12為(4,0).

綜合上面兩種分類(lèi),可得使得△PAO和△PBD相似的點(diǎn)P有兩個(gè)點(diǎn):(4,0)或.

(四)與尺規(guī)作圖、圓的聯(lián)系變型

例5如圖7,在線段CD上找一點(diǎn)P,使得△PAC和△PBD相似,你能通過(guò)作圖法找到點(diǎn)P的位置嗎?可能會(huì)出現(xiàn)幾種情況?

圖7

首先分類(lèi)討論:△PAC和△PBD相似可以理解為:(1)△PAC～△PBD;(2)△PAC～△BPD;

(1)△PAC～△PBD相似時(shí),只需要按照第1題的作圖方法,延長(zhǎng)AC,作A′C=AC(即作出點(diǎn)A關(guān)于線段CD的對(duì)稱點(diǎn)),再連接A′B,與CD相交于點(diǎn)P,點(diǎn)P就是所要求作的第一個(gè)點(diǎn).

(2)當(dāng)△PAC～△BPD時(shí)只需要再滿足∠A=∠BPD即可,也就是∠APC+∠BPD=90°,即∠APB=90°,根據(jù)圓的相關(guān)定理推論:90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑,可得點(diǎn)P就是以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn).于是先用尺規(guī)作圖找出線段AB的中點(diǎn)I,再以點(diǎn)I為圓心,AB的一半為半徑,作圓,與線段CD相交,交點(diǎn)即為所要求的點(diǎn)P.所以作出的圖可能出現(xiàn)三種情況:

(i)如圖8,當(dāng)圓與線段CD有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),即AI＞IE,其中:,于是可以得到:,化簡(jiǎn)得:l2＞4mn;

(ii)如圖9,當(dāng)圓與線段CD有1個(gè)交點(diǎn)時(shí),即AI=IE,

(iii)如圖10,當(dāng)圓與線段CD沒(méi)有交點(diǎn)時(shí),即AI＜IE,

綜合上面三種情況分類(lèi)討論,可得:當(dāng)l2＞4mn時(shí),有3個(gè)點(diǎn),使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似;當(dāng)l2=4mn時(shí),有2個(gè)點(diǎn),使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似;當(dāng)l2＜4mn時(shí),有1個(gè)點(diǎn),使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似;

圖8

圖9

圖10

(五)與根與系數(shù)的關(guān)系的聯(lián)系應(yīng)用

圓與直線的交點(diǎn)可以分為三種情況:兩個(gè)交點(diǎn);一個(gè)交點(diǎn);沒(méi)有交點(diǎn),正如代數(shù)知識(shí)中的一元二次方程,可以有:兩個(gè)不相等的根;兩個(gè)相等的根;沒(méi)有實(shí)數(shù)根,所以上題可以繼續(xù)變形為:

例6如圖7,在線段CD上找一點(diǎn)P,使得△PAC和△PBD相似,請(qǐng)問(wèn)當(dāng)l,m,n滿足什么條件時(shí),這樣的點(diǎn)有1個(gè)?有2個(gè)?有3個(gè)?(lm+n)

首先還是需要分類(lèi)討論:△PAC和△PBD相似可以理解為:(1)△PAC～△PBD;(2)△PAC～△BPD;

如圖11,設(shè)CP=x,則PD=l-x,因?yàn)椤螦CP=∠PDB=90°,

綜合上面兩種情況,可得:當(dāng)Δ=l2-4mn＞0時(shí),有3個(gè)點(diǎn),使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似;當(dāng)Δ=l2-4mn=0時(shí),有2個(gè)點(diǎn),使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似;當(dāng) Δ =l2-4mn＜0時(shí),有1個(gè)點(diǎn),使得點(diǎn)△PAC和△PBD相似.

圖11

此題的主要解法與第5題不同,主要是從代數(shù)內(nèi)容入手,幾何知識(shí)使用了相似三角形的判定來(lái)輔助解決問(wèn)題,與第5題的解法對(duì)比強(qiáng)烈.

上述的6題,從一個(gè)圖形出發(fā),橫向可以擴(kuò)展為與函數(shù)相關(guān)的求解題型,縱向可以擴(kuò)展為相似形相關(guān)的知識(shí),在證明相似的時(shí)候又可以橫向發(fā)展以代數(shù)方法為主,和以幾何方法為主的兩種不同求解辦法.過(guò)程中涵蓋了初中三年多個(gè)教學(xué)中的知識(shí)點(diǎn),多種初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法和思想,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).