廣東省廣州市增城區(qū)教育局教研室(511300) 張河源

一、試題呈現(xiàn)

(2018廣州)25.(本小題滿分14分)如圖1,在四邊形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.

圖1

(1)求∠A+∠C的度數(shù);

(2)連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

(3)若AB=1,點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng),且滿足AE2=BE2+CE2,求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度.

點(diǎn)評(píng) 本小題是“四邊形與圓”里面的經(jīng)典模型,主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換,等邊三角形的性質(zhì)與判定,全等三角形的性質(zhì)與判定,勾股定理及其逆定理,圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ),圓周角的性質(zhì),弧長(zhǎng)公式等等知識(shí),考查推理能力、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.

二、典型錯(cuò)誤剖析

(1)本小題的核心知識(shí)有:①四邊形的內(nèi)角和360°;②有一個(gè)60°角的三角形是等邊三角形;③全等三角形的判定與性質(zhì);④勾股定理及其逆定理;⑤圖形的旋轉(zhuǎn)變換;⑥弧長(zhǎng)公式.

(2)本小題的主要錯(cuò)誤有:①對(duì)于AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)D2+CD2=BD2不能正確構(gòu)造直角三角形進(jìn)行證明;②不能熟練運(yùn)用圖形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行幾何的證明;③學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖能力很差,不能準(zhǔn)確作出必要的輔助線,搭建已知條件與所求結(jié)論的重要橋梁,部分學(xué)生所畫(huà)出來(lái)的輔助線不規(guī)范,也不準(zhǔn)確,影響分析問(wèn)題的思路找不到正確解決問(wèn)題的方法與技巧;④邏輯推理能力弱,未能掌握探究幾何問(wèn)題的方法與步驟,不能作出必要的證明而丟分.學(xué)生主要錯(cuò)誤是對(duì)圓周角的概念與性質(zhì)理解不透,出現(xiàn)誤區(qū),另外也暴露出學(xué)生邏輯推理能力較弱,簡(jiǎn)單的一個(gè)證明,卻費(fèi)了很大的篇幅說(shuō)不清楚.

(3)本小題的主要錯(cuò)誤成因有:①數(shù)學(xué)核心概念掌握不牢,主要表現(xiàn)在:一是對(duì)概念片面理解,二是與類似概念相混淆;②作幾何輔助線的能力弱,輔助線是解決幾何問(wèn)題的重要工具,也是溝通已知條件與未知結(jié)論的重要橋梁;③缺乏分析、綜合、判斷、推理的能力,解決幾何問(wèn)題不會(huì)運(yùn)作定義、定理,不理解定義、定理中各本質(zhì)特性間的相互聯(lián)系,對(duì)幾何圖形的性質(zhì)不會(huì)分析、沒(méi)有掌握證題過(guò)程中思考問(wèn)題的方法與步驟.學(xué)會(huì)邏輯推理的關(guān)鍵一是深入理解定理中的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系,并能相互推導(dǎo),既會(huì)從條件推出結(jié)論,又能從結(jié)論推出條件;二是掌握分析問(wèn)題的方法與步驟,通常幾何證題是用順證法和逆推分析法,數(shù)學(xué)壓軸題最好先用逆推分析法進(jìn)行思考,把證題過(guò)程中的思路理順后,再用順證法證明或解題.

三、解法分析

(1)解如圖1,因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中,所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°.因?yàn)椤螧=60°,∠D=30°,所以∠A+∠C=270°.

(2)AD2+CD2=BD2.理由如下.

圖2

解法1如圖2,將CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到DF,連接AC,CF,AF,所以CD=DF,∠CDF=60°. 所以△CDF是等邊三角形.因?yàn)锳B=BC,∠ABC=60°,所以△ABC是等邊三角形.所以AC=BC,∠ACB=60°.所以CF=CD=DF,∠DCF=60°.所以∠ACB+∠ACD=∠DCF+∠ACD,即∠BCD=∠ACF.因?yàn)锳C=BC,CD=DF,所以,所以BD=AF.因?yàn)椤螦DC=30°,∠CDF=60°,所以∠ADF=90°,所以AD2+DF2=AF2,所以AD2+CD2=BD2.

圖3

解法2如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CD,并截取DF=AD,連接AF,CF,AC,因?yàn)椤螦DC=30°,所以∠ADF=60°.因?yàn)镈F=AD,所以△ADF是等邊三角形.所以AF=AD=DF,∠DAF=60°. 因?yàn)锳B=BC,∠ABC=60°,所以△ABC是等邊三角形,所以AC=AB,∠BAC=60°,所以∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠BAD=∠CAF.因?yàn)锳B=AC,AD=AF,所以,所以BD=CF.因?yàn)椤螩DF=90°,所以DF2+CD2=CF2,所以AD2+CD2=BD2.

解法3如圖3,將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AF,連接接AC,CF,DF,所以AD=AF,∠DAF=60°,所以△ADF是等邊三角形.因?yàn)锳B=BC,∠B=60°,所以△ABC是等邊三角形,所以AB=AC,∠BAC=60°,所以AD=AF=DF,∠DAF=60°,所以∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即 ∠BAD=∠CAF.因?yàn)锳B=AC,AD=AF,所以,所以BD=CF.因?yàn)椤螦DC=30°,∠ADF=60°,所以∠CDF=90°,所以DF2+CD2=CF2,所以AD2+CD2=BD2.

圖4

解法4如圖4,將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)D轉(zhuǎn)到點(diǎn)D1,則BD=BD1,CD=AD1,∠DBD1=60°,∠C=∠BAD1.故△BDD1是等邊三角形,所以BD=DD1.因?yàn)椤螦+∠C=270°,所以∠BAD+∠BAD1=270°,所以∠DAD1=360°-(∠BAD+∠BAD1)=90°所以AD2+AD21=DD21,所以AD2+CD2=BD2.

圖5

圖6

(3)解法1如圖5,將△ABC和點(diǎn)E繞點(diǎn)A順時(shí)針60°旋轉(zhuǎn)得到△ABF和點(diǎn)E′,連接AC,AE′,BE′,EE′,所以△ABE′△ACE,所以BE′=CE,∠ABE′=∠ACE.設(shè)∠ABE′=x,則∠ACE=x,∠BCE=60°-x.因?yàn)锳E′=AE,∠E′AE=60°,所以△AEE′是等邊三角形,所以EE′=AE.因?yàn)锳E2=BE2+CE2,所以EE′2=BE2+BE′2,所以∠EBE′=90°,所以∠ABE=90°-x,所以∠CBE=60°-(90°-x)=x-30°,所以∠CBE+∠BCE=x-30°+60°-x=30°,所以∠BEC=150°,即點(diǎn)E在弧BC上時(shí)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B,C重合),滿足題目條件,設(shè)點(diǎn)G與點(diǎn)B,C,E共圓,圓心為點(diǎn)O,如圖6,所以∠BGC=30°,所以∠BOC=60°.因?yàn)锽O=CO,所以BCO是等邊三角形.因?yàn)锳B=1,AB=BC=1,所以BO=BC=1,所以,即點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為.

圖7

解法2如圖7,將AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE′,連接CE′,EE′,所以AE=AE′,∠EAE′=60°,所以△AEE′是等邊三角形,所以EE′=AE.因?yàn)椤螧AC=60°,∠EAE′=60°,所以∠BAE+∠EAC=60°,∠CAE′+∠EAC=60°.所以∠BAE=∠CAE′.因?yàn)锳B=AC,AE=AE′,所以,所以BE=CE′,∠ABE=∠ACE′. 設(shè)∠ABE=x,則∠ACE′=x,∠CBE=60°-x,因?yàn)锳E2=BE2+CE2,所以EE′2=CE2+CE′2,所以∠ECE′=90°,所以∠ACE=90°-x,所以∠BCE=60°-(90°-x)=x-30°,所以∠CBE+∠BCE=60°-x+x-30°=30°,所以∠BEC=150°.(后面解法與解法一同)

圖8

解法3如圖8,將點(diǎn)E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)E,連接AC,AE′,BE′,EE′,所以△ABE′△ACE,所以BE′=CE,∠ABE′=∠ACE. 設(shè)∠ABE′=x,則∠ACE=x,∠BCE=60°-x,因?yàn)锳E2=BE2+CE2,所以EE′2=BE2+BE′2. 所以∠EBE′=90°,所以∠ABE=90°-x,所以∠CBE=60°-(90°-x)=x-30°,所以∠CBE+∠BCE=x-30°+60°-x=30°,所以∠BEC=150°.(后面解法與解法一同).

四、對(duì)教學(xué)的啟示

學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn),是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.

(1)把握“四步”,力求正確規(guī)范

遇到幾何壓軸題,不要急于下筆,要做到“逐字讀題,仔細(xì)審題,規(guī)范答題,細(xì)心檢查”四步.在平時(shí)的教學(xué)和作業(yè)要求中,應(yīng)該重視培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,準(zhǔn)確、快速地畫(huà)出合理的圖形,嚴(yán)格執(zhí)行解題規(guī)范,才能在解題中做到有條不紊,發(fā)揮正常水平.

(2)重視“四基”,提升思維品質(zhì)

平時(shí)教學(xué)中要善于歸納總結(jié)教學(xué)中常用的思想方法,如:分類討論,數(shù)形結(jié)合,方程,轉(zhuǎn)化,三角函數(shù)、待定系數(shù)法、類比等數(shù)學(xué)思想.要體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,從學(xué)生的角度去設(shè)計(jì)一些貼近生活,利于操作,讓學(xué)生感興趣的活動(dòng),并讓學(xué)生在活動(dòng)中獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流,使學(xué)生能夠通過(guò)活動(dòng),理解和掌握基本的知識(shí)和技能,提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì),獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

(3)培養(yǎng)“四能”,善于反思創(chuàng)新

課堂教學(xué)中要給學(xué)生留有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的空間,教師不可包辦,代辦,要引導(dǎo)學(xué)生自主思考,合作探究,增強(qiáng)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)意識(shí),從歷年各地中考試題的立意來(lái)看,“四能”不僅要求學(xué)生會(huì)根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問(wèn)題,更是要求學(xué)生有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力,要求學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)遷移,提高創(chuàng)新能力,這些都需要我們?cè)诮窈蠼虒W(xué)中加以重視和培養(yǎng).