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        泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例

        2018-12-20 11:29:59遠(yuǎn)巧針三門峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部
        數(shù)碼世界 2018年12期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教師教學(xué)

        遠(yuǎn)巧針 三門峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部

        泰勒公式主要是指以函數(shù)的形式描述某點(diǎn)信息及其附近取值的數(shù)學(xué)公式,若函數(shù)足夠平滑,則在函數(shù)已知及其某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)各階數(shù)值已知情況下,運(yùn)用泰勒公式可以將各階數(shù)值作為系數(shù)建立多項(xiàng)式,在此多項(xiàng)式加持下得到某點(diǎn)近似函數(shù)鄰域值,除得出函數(shù)值外,運(yùn)用泰勒公式還能得出實(shí)際函數(shù)值與多項(xiàng)式之間的偏差。泰勒公式于1712年由布魯克 泰勒(英國(guó)數(shù)學(xué)家)提出,當(dāng)前該公式作為高等數(shù)學(xué)重要教學(xué)內(nèi)容之一,可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng),激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐能效,達(dá)到提高高等學(xué)校育人綜合質(zhì)量的目的?;诖?,為落實(shí)泰勒公式教學(xué)目標(biāo),教師應(yīng)立足新課改背景,采用應(yīng)用舉例教學(xué)法,探析泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的教學(xué)方略顯得尤為重要。

        1. 泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例教學(xué)要點(diǎn)

        1.1 學(xué)生。泰勒公式若想在應(yīng)用舉例教學(xué)法加持下得以被學(xué)生所理解,需教師從學(xué)生視角出發(fā),依據(jù)學(xué)生理解能力、社會(huì)閱歷、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)興趣等個(gè)性化學(xué)習(xí)因素,編設(shè)學(xué)生可以接受的應(yīng)用舉例教學(xué)方案,確保學(xué)生在相關(guān)案例指引下可以獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、分析運(yùn)算,將自己的思想與泰勒公式交織在一起,為學(xué)生深入理解該公式,有效落實(shí)高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)奠定基礎(chǔ)。

        1.2 教材。教材是教師教學(xué)實(shí)踐行為的出發(fā)點(diǎn)與歸屬點(diǎn),為此教師需深入分析教材,在充分掌握泰勒公式內(nèi)涵基礎(chǔ)上,將相關(guān)知識(shí)滲透在應(yīng)用舉例內(nèi)容中,以應(yīng)用舉例教學(xué)法為橋梁,拉近學(xué)生與泰勒公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的距離,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入高等數(shù)學(xué)知識(shí)的世界,削減高等數(shù)學(xué)教學(xué)阻力,提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量,達(dá)到有效落實(shí)泰勒公式教學(xué)目標(biāo)的目的。

        1.3 課標(biāo)。新時(shí)代課程標(biāo)準(zhǔn)隨之發(fā)生變化,依據(jù)教學(xué)大綱完成教學(xué)任務(wù)的單一化課程標(biāo)準(zhǔn)悄然推出歷史舞臺(tái),取而代之的是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程標(biāo)準(zhǔn),這就需要教師在利用應(yīng)用舉例教學(xué)法講述泰勒公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)同時(shí),還需培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng),如獨(dú)立思考能力、運(yùn)算能力、建模能力、邏輯推理能力、分析理解等能力,使學(xué)生在高等數(shù)學(xué)講堂上有更多收獲,繼而有效提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量,充分發(fā)揮應(yīng)用舉例教學(xué)法育人能效。

        2. 泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例教學(xué)原則

        2.1 以人為本。泰勒公式作為求解高階導(dǎo)數(shù)某點(diǎn)數(shù)值,針對(duì)某點(diǎn)數(shù)值判斷函數(shù)極限及相關(guān)運(yùn)算的數(shù)學(xué)知識(shí),對(duì)于學(xué)生群體來(lái)講有一定學(xué)習(xí)難度,既要求學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),如極限、函數(shù)等,還需學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng),如運(yùn)算、邏輯推理、判斷能力等,徒增學(xué)生泰勒公式學(xué)習(xí)及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)難度,為此教師在應(yīng)用舉例教學(xué)過程中需秉持以人為本理念,從學(xué)生數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)實(shí)況出發(fā),列舉學(xué)生可以通過自主思考與運(yùn)算有效解決的數(shù)學(xué)案例,避免出現(xiàn)“應(yīng)用舉例有余,教學(xué)引導(dǎo)不足”消極現(xiàn)象,旨在發(fā)揮應(yīng)用舉例引導(dǎo)教學(xué)能效,使學(xué)生得以積極參與到泰勒公式學(xué)習(xí)活動(dòng)中,在掌握該公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)同時(shí),達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育目的。

        2.2 創(chuàng)新爭(zhēng)優(yōu)。為避免教師陷入“模式論”、“經(jīng)驗(yàn)論”教學(xué)誤區(qū),教師需秉持創(chuàng)新爭(zhēng)優(yōu)原則,在累積應(yīng)用舉例教學(xué)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上,積極整合新型教學(xué)手段,充分運(yùn)用現(xiàn)有教學(xué)資源,創(chuàng)新應(yīng)用舉例教學(xué)模式,為更好滲透泰勒公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)奠定基礎(chǔ),這就需要教師不斷學(xué)習(xí)創(chuàng)新型教學(xué)手段,依據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)實(shí)況及泰勒公式應(yīng)用情況,靈活調(diào)整教學(xué)手段,為數(shù)學(xué)講堂注入無(wú)盡動(dòng)力,繼而推動(dòng)高等數(shù)學(xué)教育事業(yè)良性發(fā)展。

        2.3 反思自省。為有效落實(shí)泰勒公式教育目標(biāo),發(fā)揮應(yīng)用舉例教學(xué)法育人能效,教師需秉持反思自省原則,不斷反觀自身泰勒公式教學(xué)歷程,通過分析學(xué)生泰勒公式相關(guān)應(yīng)用案例解析成效,明晰自身泰勒公式教學(xué)要點(diǎn)、弱點(diǎn)、難點(diǎn)及重點(diǎn),以此為由持續(xù)完善泰勒公式應(yīng)用舉例教學(xué)體系,在落實(shí)高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)同時(shí),達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的教育目的。

        3. 泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例教學(xué)方略

        3.1 明確應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)。教師需率先整合與泰勒公式教學(xué)相關(guān)教育資源,明確泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo),圍繞該目標(biāo)制定教案,確保教師可以順利完成數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)。

        3.2 規(guī)設(shè)泰勒公式應(yīng)用舉例層級(jí)。為突出學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)主體地位,滿足學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)訴求,引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí),教師需在因材施教教育理念加持下,規(guī)設(shè)泰勒公式應(yīng)用舉例層級(jí),為打造系統(tǒng)性、多元性、生本性數(shù)學(xué)教學(xué)體系奠定基礎(chǔ)。

        3.3 做好及時(shí)評(píng)價(jià)工作。雖然應(yīng)用舉例教學(xué)主體是學(xué)生,但教師仍需以“引導(dǎo)者”身份參與到高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐進(jìn)程中,幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)困難,助其深入掌握泰勒公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí),為此教師需在應(yīng)用案例教學(xué)過程中,用過程性評(píng)價(jià)代替結(jié)果性評(píng)價(jià),使學(xué)生明確自主學(xué)習(xí)方向,助其樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心,引導(dǎo)學(xué)生攻克泰勒公式學(xué)習(xí)難關(guān),使應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)得以有效落實(shí)。

        4. 分析幾例泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)例

        若在點(diǎn)x0上的函數(shù)f(x)某開區(qū)間有n+1階導(dǎo)數(shù),其中該 開 區(qū) 間 為(a,b),則 任 意 x ∈(a,b),f(x)=f(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!(x-x0)2+...+f(n)(x0)/n(x-x0)n+f(n+1)(ζ)/(n+1)?。▁+x0)n-1,在該公式中ζ屬于x0--x間某個(gè)值,此為泰勒公式,在明晰泰勒公式表現(xiàn)形式基礎(chǔ)上,運(yùn)用應(yīng)用舉例教學(xué)法,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí),旨在通過對(duì)幾例泰勒公式應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行分析,落實(shí)高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。

        4.1 極限應(yīng)用舉例。在高等數(shù)學(xué)知識(shí)中,極限知識(shí)既常見又很重要,作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要工具,若其在求解過程中選擇的運(yùn)算方式不佳,將徒增求解難度,增加其運(yùn)算量,影響運(yùn)算精準(zhǔn)度,為此教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用泰勒公式解答極限問題。如題: ex2-1-x2cosx/sinx4求解其極限?;谠撍闶欠帜笧閟inx4-x4(x→0),教師在引導(dǎo)學(xué)生解答該問題時(shí),只需將x2cosx與ex2帶入麥克勞林公式(四階)中,表示為ex2=1+x2+x4/2+0(x4),經(jīng)計(jì)算求得 ex2-1-x2cosx/sinx4= x4+0(x4)/x4=1,此類函數(shù)極限問題運(yùn)用泰勒公式予以解答,可以有效簡(jiǎn)化解答步驟,降低解題難度,相較于洛必達(dá)法,此種計(jì)算方法簡(jiǎn)單程度可見一斑。學(xué)生在解答該問題時(shí),容易在公式套用時(shí)產(chǎn)生疑惑,為此教師需在應(yīng)用舉例教學(xué)前,采用概念圖教學(xué)法,引導(dǎo)學(xué)生以極限為核心,建立數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò),將與極限相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)納入其中,為將極限知識(shí)與泰勒公式關(guān)聯(lián)在一起奠定基礎(chǔ),繼而引導(dǎo)學(xué)生自主完成實(shí)例論證學(xué)習(xí)任務(wù)。

        4.2 求近似值。在許多專業(yè)中均涉及到近似計(jì)算知識(shí),掌握近似計(jì)算技能,可以幫助學(xué)生更好開展學(xué)習(xí)與生活實(shí)踐活動(dòng),為此教師可以將“求近似值”設(shè)為應(yīng)用舉例核心,以此為由設(shè)計(jì)如下問題:ex=1+x2/2!+...xn/n!+eθx/(n+1)!xn+1(0 <θ< 1),在 x=1 情況下,e=1+1+1/2!+...+1/n!+eθ/(n+1)!,Rn(x)=eθ/(n+1)! < 3/(n+1)?。?.001。在n=6時(shí)此算式成立,繼而得出運(yùn)算結(jié)果,若學(xué)生遇到存在連續(xù)性的導(dǎo)數(shù)函數(shù),則可以運(yùn)用泰勒公式予以解答,提高學(xué)生運(yùn)算效率及精準(zhǔn)度。

        4.3 證明不等式。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中,不等式證明相關(guān)知識(shí)的講解與滲透,可以有效培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力,使學(xué)生數(shù)學(xué)思維更為嚴(yán)謹(jǐn),思考及解決問題的能力得以有效提高,同時(shí)證明多階性導(dǎo)函數(shù)亦可以運(yùn)用泰勒公式予以解答。這就需要學(xué)生需率先掌握證明方法,可以有效分析不等式,為有效運(yùn)用泰勒公式解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題奠定基礎(chǔ)。如題:在[0,1]上設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),該導(dǎo)數(shù)為 f(1)=0,在 x∈(0,1)時(shí),則有 |f''(x)|≤2,嘗試證明|f'(x)|≤1。證明過程如下:基于 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(θ)/2!(x-x0)2,且θ在x與x0范圍內(nèi),在x取值為0,x0取值為x時(shí),則所得泰勒 公 式 為:f(0)=f(x)+f'(x)(0-X)+f''(θ1)/2!(0-x)2(1)。當(dāng)θ1在0與x范圍內(nèi),且x取值為1,x0取值為x時(shí),運(yùn)用泰勒公式可得到如下算式:f(1)=f(x)+f'(x)(1-X)+f''(θ2)/2!(1-x)2(2),在該算式中θ2處于x到1之間,基于(1)、(2)可知,f'(x)=f(1)-f(0)+1/2![f''(θ1)x2-f(θ2)(1-x)2]=1/2 ![f''(θ1)x2-f''(θ2)(1-x)2],|f'(x)|≤|f''(x)|/2![x2+(1-x)2]=2x2-2x+1,基于 0≤x≤1情況下,2x2-2x+1≤1,則|f'(x)|≤1,至此證明完成。通過對(duì)該應(yīng)用舉例進(jìn)行解析可知,在不等式解答過程中運(yùn)用泰勒公式,可以降低解答難度,提高證明效率,簡(jiǎn)化證明過程,為提高學(xué)生證明過程中泰勒公式應(yīng)用能力,教師可以將證明問題編設(shè)主導(dǎo)權(quán)交給學(xué)生,繼而激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維,賦予學(xué)生反推、論證、創(chuàng)新及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維等數(shù)學(xué)能力,同時(shí)凸顯學(xué)生高等數(shù)學(xué)教學(xué)主體地位,在落實(shí)應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)同時(shí),達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育目的。

        結(jié)束語(yǔ):綜上所述,為提高泰勒公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)講解質(zhì)量,教師在新課改背景下,積極采用應(yīng)用舉例教學(xué)法,旨在有效落實(shí)高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo),引導(dǎo)學(xué)生有效應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題,并在完成高等數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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