遠(yuǎn)巧針 三門峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部

泰勒公式主要是指以函數(shù)的形式描述某點(diǎn)信息及其附近取值的數(shù)學(xué)公式，若函數(shù)足夠平滑，則在函數(shù)已知及其某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)各階數(shù)值已知情況下，運(yùn)用泰勒公式可以將各階數(shù)值作為系數(shù)建立多項(xiàng)式，在此多項(xiàng)式加持下得到某點(diǎn)近似函數(shù)鄰域值，除得出函數(shù)值外，運(yùn)用泰勒公式還能得出實(shí)際函數(shù)值與多項(xiàng)式之間的偏差。泰勒公式于1712年由布魯克 泰勒（英國(guó)數(shù)學(xué)家）提出，當(dāng)前該公式作為高等數(shù)學(xué)重要教學(xué)內(nèi)容之一，可以提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐能效，達(dá)到提高高等學(xué)校育人綜合質(zhì)量的目的?；诖?，為落實(shí)泰勒公式教學(xué)目標(biāo)，教師應(yīng)立足新課改背景，采用應(yīng)用舉例教學(xué)法，探析泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的教學(xué)方略顯得尤為重要。

1. 泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例教學(xué)要點(diǎn)

1.1 學(xué)生。泰勒公式若想在應(yīng)用舉例教學(xué)法加持下得以被學(xué)生所理解，需教師從學(xué)生視角出發(fā)，依據(jù)學(xué)生理解能力、社會(huì)閱歷、實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)興趣等個(gè)性化學(xué)習(xí)因素，編設(shè)學(xué)生可以接受的應(yīng)用舉例教學(xué)方案，確保學(xué)生在相關(guān)案例指引下可以獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、分析運(yùn)算，將自己的思想與泰勒公式交織在一起，為學(xué)生深入理解該公式，有效落實(shí)高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)奠定基礎(chǔ)。

1.2 教材。教材是教師教學(xué)實(shí)踐行為的出發(fā)點(diǎn)與歸屬點(diǎn)，為此教師需深入分析教材，在充分掌握泰勒公式內(nèi)涵基礎(chǔ)上，將相關(guān)知識(shí)滲透在應(yīng)用舉例內(nèi)容中，以應(yīng)用舉例教學(xué)法為橋梁，拉近學(xué)生與泰勒公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的距離，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入高等數(shù)學(xué)知識(shí)的世界，削減高等數(shù)學(xué)教學(xué)阻力，提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到有效落實(shí)泰勒公式教學(xué)目標(biāo)的目的。

1.3 課標(biāo)。新時(shí)代課程標(biāo)準(zhǔn)隨之發(fā)生變化，依據(jù)教學(xué)大綱完成教學(xué)任務(wù)的單一化課程標(biāo)準(zhǔn)悄然推出歷史舞臺(tái)，取而代之的是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程標(biāo)準(zhǔn)，這就需要教師在利用應(yīng)用舉例教學(xué)法講述泰勒公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)同時(shí)，還需培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，如獨(dú)立思考能力、運(yùn)算能力、建模能力、邏輯推理能力、分析理解等能力，使學(xué)生在高等數(shù)學(xué)講堂上有更多收獲，繼而有效提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，充分發(fā)揮應(yīng)用舉例教學(xué)法育人能效。

2. 泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例教學(xué)原則

2.1 以人為本。泰勒公式作為求解高階導(dǎo)數(shù)某點(diǎn)數(shù)值，針對(duì)某點(diǎn)數(shù)值判斷函數(shù)極限及相關(guān)運(yùn)算的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于學(xué)生群體來(lái)講有一定學(xué)習(xí)難度，既要求學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，如極限、函數(shù)等，還需學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，如運(yùn)算、邏輯推理、判斷能力等，徒增學(xué)生泰勒公式學(xué)習(xí)及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)難度，為此教師在應(yīng)用舉例教學(xué)過程中需秉持以人為本理念，從學(xué)生數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)實(shí)況出發(fā)，列舉學(xué)生可以通過自主思考與運(yùn)算有效解決的數(shù)學(xué)案例，避免出現(xiàn)“應(yīng)用舉例有余，教學(xué)引導(dǎo)不足”消極現(xiàn)象，旨在發(fā)揮應(yīng)用舉例引導(dǎo)教學(xué)能效，使學(xué)生得以積極參與到泰勒公式學(xué)習(xí)活動(dòng)中，在掌握該公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)同時(shí)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育目的。

2.2 創(chuàng)新爭(zhēng)優(yōu)。為避免教師陷入“模式論”、“經(jīng)驗(yàn)論”教學(xué)誤區(qū)，教師需秉持創(chuàng)新爭(zhēng)優(yōu)原則，在累積應(yīng)用舉例教學(xué)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，積極整合新型教學(xué)手段，充分運(yùn)用現(xiàn)有教學(xué)資源，創(chuàng)新應(yīng)用舉例教學(xué)模式，為更好滲透泰勒公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)奠定基礎(chǔ)，這就需要教師不斷學(xué)習(xí)創(chuàng)新型教學(xué)手段，依據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)實(shí)況及泰勒公式應(yīng)用情況，靈活調(diào)整教學(xué)手段，為數(shù)學(xué)講堂注入無(wú)盡動(dòng)力，繼而推動(dòng)高等數(shù)學(xué)教育事業(yè)良性發(fā)展。

2.3 反思自省。為有效落實(shí)泰勒公式教育目標(biāo)，發(fā)揮應(yīng)用舉例教學(xué)法育人能效，教師需秉持反思自省原則，不斷反觀自身泰勒公式教學(xué)歷程，通過分析學(xué)生泰勒公式相關(guān)應(yīng)用案例解析成效，明晰自身泰勒公式教學(xué)要點(diǎn)、弱點(diǎn)、難點(diǎn)及重點(diǎn)，以此為由持續(xù)完善泰勒公式應(yīng)用舉例教學(xué)體系，在落實(shí)高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)同時(shí)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的教育目的。

3. 泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例教學(xué)方略

3.1 明確應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)。教師需率先整合與泰勒公式教學(xué)相關(guān)教育資源，明確泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)，圍繞該目標(biāo)制定教案，確保教師可以順利完成數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)。

3.2 規(guī)設(shè)泰勒公式應(yīng)用舉例層級(jí)。為突出學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)主體地位，滿足學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)訴求，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，教師需在因材施教教育理念加持下，規(guī)設(shè)泰勒公式應(yīng)用舉例層級(jí)，為打造系統(tǒng)性、多元性、生本性數(shù)學(xué)教學(xué)體系奠定基礎(chǔ)。

3.3 做好及時(shí)評(píng)價(jià)工作。雖然應(yīng)用舉例教學(xué)主體是學(xué)生，但教師仍需以“引導(dǎo)者”身份參與到高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐進(jìn)程中，幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)困難，助其深入掌握泰勒公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，為此教師需在應(yīng)用案例教學(xué)過程中，用過程性評(píng)價(jià)代替結(jié)果性評(píng)價(jià)，使學(xué)生明確自主學(xué)習(xí)方向，助其樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心，引導(dǎo)學(xué)生攻克泰勒公式學(xué)習(xí)難關(guān)，使應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)得以有效落實(shí)。

4. 分析幾例泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用實(shí)例

若在點(diǎn)x0上的函數(shù)f（x）某開區(qū)間有n+1階導(dǎo)數(shù)，其中該 開 區(qū) 間 為（a，b），則 任 意 x ∈（a，b），f（x）=f（x0）（x-x0）+f''(x0)/2！(x-x0)2+...+f(n)(x0)/n(x-x0)n+f(n+1)(ζ）/（n+1）?。▁+x0）n-1,在該公式中ζ屬于x0--x間某個(gè)值，此為泰勒公式，在明晰泰勒公式表現(xiàn)形式基礎(chǔ)上，運(yùn)用應(yīng)用舉例教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，旨在通過對(duì)幾例泰勒公式應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行分析，落實(shí)高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。

4.1 極限應(yīng)用舉例。在高等數(shù)學(xué)知識(shí)中，極限知識(shí)既常見又很重要，作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要工具，若其在求解過程中選擇的運(yùn)算方式不佳，將徒增求解難度，增加其運(yùn)算量，影響運(yùn)算精準(zhǔn)度，為此教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用泰勒公式解答極限問題。如題： ex2-1-x2cosx/sinx4求解其極限?；谠撍闶欠帜笧閟inx4-x4（x→0），教師在引導(dǎo)學(xué)生解答該問題時(shí)，只需將x2cosx與ex2帶入麥克勞林公式（四階）中，表示為ex2=1+x2+x4/2+0(x4),經(jīng)計(jì)算求得 ex2-1-x2cosx/sinx4= x4+0(x4)/x4=1，此類函數(shù)極限問題運(yùn)用泰勒公式予以解答，可以有效簡(jiǎn)化解答步驟，降低解題難度，相較于洛必達(dá)法，此種計(jì)算方法簡(jiǎn)單程度可見一斑。學(xué)生在解答該問題時(shí)，容易在公式套用時(shí)產(chǎn)生疑惑，為此教師需在應(yīng)用舉例教學(xué)前，采用概念圖教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生以極限為核心，建立數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，將與極限相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)納入其中，為將極限知識(shí)與泰勒公式關(guān)聯(lián)在一起奠定基礎(chǔ)，繼而引導(dǎo)學(xué)生自主完成實(shí)例論證學(xué)習(xí)任務(wù)。

4.2 求近似值。在許多專業(yè)中均涉及到近似計(jì)算知識(shí)，掌握近似計(jì)算技能，可以幫助學(xué)生更好開展學(xué)習(xí)與生活實(shí)踐活動(dòng)，為此教師可以將“求近似值”設(shè)為應(yīng)用舉例核心，以此為由設(shè)計(jì)如下問題：ex=1+x2/2！+...xn/n！+eθx/(n+1)！xn+1(0 ＜θ＜ 1)，在 x=1 情況下，e=1+1+1/2！+...+1/n！+eθ/(n+1)！，Rn(x)=eθ/(n+1)！ ＜ 3/(n+1)?。?.001。在n=6時(shí)此算式成立,繼而得出運(yùn)算結(jié)果，若學(xué)生遇到存在連續(xù)性的導(dǎo)數(shù)函數(shù)，則可以運(yùn)用泰勒公式予以解答，提高學(xué)生運(yùn)算效率及精準(zhǔn)度。

4.3 證明不等式。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，不等式證明相關(guān)知識(shí)的講解與滲透，可以有效培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力，使學(xué)生數(shù)學(xué)思維更為嚴(yán)謹(jǐn)，思考及解決問題的能力得以有效提高，同時(shí)證明多階性導(dǎo)函數(shù)亦可以運(yùn)用泰勒公式予以解答。這就需要學(xué)生需率先掌握證明方法，可以有效分析不等式，為有效運(yùn)用泰勒公式解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題奠定基礎(chǔ)。如題：在[0,1]上設(shè)f(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，該導(dǎo)數(shù)為 f(1)=0，在 x∈（0,1）時(shí)，則有 |f''（x）|≤2，嘗試證明|f'（x）|≤1。證明過程如下：基于 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(θ)/2！(x-x0)2,且θ在x與x0范圍內(nèi)，在x取值為0，x0取值為x時(shí)，則所得泰勒 公 式 為：f(0)=f(x)+f'(x)(0-X)+f''(θ1）/2！(0-x)2（1）。當(dāng)θ1在0與x范圍內(nèi)，且x取值為1，x0取值為x時(shí)，運(yùn)用泰勒公式可得到如下算式：f(1)=f(x)+f'(x)(1-X)+f''(θ2）/2！(1-x)2（2），在該算式中θ2處于x到1之間，基于（1）、（2）可知，f'(x)=f(1)-f(0)+1/2！[f''(θ1)x2-f(θ2）（1-x）2]=1/2 ！[f''(θ1）x2-f''(θ2)(1-x)2]，|f'(x)|≤|f''(x)|/2！[x2+(1-x)2]=2x2-2x+1，基于 0≤x≤1情況下，2x2-2x+1≤1，則|f'(x)|≤1，至此證明完成。通過對(duì)該應(yīng)用舉例進(jìn)行解析可知，在不等式解答過程中運(yùn)用泰勒公式，可以降低解答難度，提高證明效率，簡(jiǎn)化證明過程，為提高學(xué)生證明過程中泰勒公式應(yīng)用能力，教師可以將證明問題編設(shè)主導(dǎo)權(quán)交給學(xué)生，繼而激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維，賦予學(xué)生反推、論證、創(chuàng)新及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維等數(shù)學(xué)能力，同時(shí)凸顯學(xué)生高等數(shù)學(xué)教學(xué)主體地位，在落實(shí)應(yīng)用舉例教學(xué)目標(biāo)同時(shí)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育目的。

結(jié)束語(yǔ)：綜上所述，為提高泰勒公式及相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)講解質(zhì)量，教師在新課改背景下，積極采用應(yīng)用舉例教學(xué)法，旨在有效落實(shí)高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生有效應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題，并在完成高等數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。