付傅文

數(shù)學(xué)思想方法是基于實(shí)踐數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)而總結(jié)提煉出的關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)涵與本質(zhì)，可以指導(dǎo)人類科學(xué)的思考與解決問題.分類討論思想與函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想并稱為高中數(shù)學(xué)階段的四大思想方法，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是將數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想融合的過程.其中分類討論思想更是貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，因此探究如何靈活運(yùn)用分類討論思想具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義.

一、分類討論思想概述

分類討論思想是指在解決復(fù)雜的綜合性問題過程中，因下一環(huán)節(jié)存在諸多可能性，因此難以利用統(tǒng)一的方法、公式等進(jìn)行求解，需要按照一定的分類標(biāo)準(zhǔn)，自頂而下的將問題進(jìn)行分割，從而將復(fù)雜的綜合性問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)基礎(chǔ)性問題，以期將大問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)小問題，然后針對(duì)每個(gè)小問題“分割包圍，各個(gè)擊破”，最后“積零為整”，再結(jié)合實(shí)際情況將各種小問題的答案有機(jī)整合，即開始先“分”，分類解決問題后再“合”，這便是分類討論思想的內(nèi)涵與精髓.

1.引起進(jìn)行分類討論的原因.

根據(jù)引起分類的原因確定分類標(biāo)準(zhǔn)才能有的放矢，引起分類的原因主要有：

（1）由于數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等所引起的分類討論，例如絕對(duì)式|a|>0，此時(shí)就需要討論a>0或者a<0的情況；

（2）由于性質(zhì)、定理等的限制所引起的分類討論，例如一元二次方程的求根公式，等比數(shù)列的求和公式等，這些公式、定理的使用都有限制條件；

（3）由于參數(shù)取值范圍不定所引起的分類討論，在函數(shù)、不等式等題目中最為常見；

（4）由于數(shù)學(xué)運(yùn)算所引起的分類討論，例如三角函數(shù)的定義域問題，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)與底數(shù)；

（5）由于圖形的不確定性（例如點(diǎn)、面、線等相對(duì)位置不定）所引起的分類討論，此類情況主要出現(xiàn)在函數(shù)題目中，尤其部分關(guān)于函數(shù)圖像的題目中；

2.分類的基本原則.

分類是分類討論的第一步，直接決定了后續(xù)計(jì)算的成敗，因此分類必須要按照一定的原則進(jìn)行，做到不重復(fù)、不遺漏，具體原則如下：

（1）標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一：在涉及多次分類討論的情況下，分類的標(biāo)準(zhǔn)務(wù)必要前后統(tǒng)一，避免自相矛盾.

（2）不重不漏：遺漏與重復(fù)是運(yùn)用分類討論思想最常見的問題，遺漏就意味著最終的求解結(jié)果是不完善的；重復(fù)就會(huì)導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算過程中自相矛盾.

（3）多層分類：部分問題只需要一次分類討論即可迎刃而解，但是復(fù)雜程度高的問題就需要多層分類，層層肢解，在這個(gè)過程中也需要遵循前后統(tǒng)一與不重不漏的原則；

（4）把握分類時(shí)機(jī)：分類實(shí)際需要準(zhǔn)確拿捏，分類過早則會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量增加；推遲分類則意味著上一步計(jì)算已出現(xiàn)嚴(yán)重錯(cuò)誤.

3.應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題的步驟.

第一步：首先對(duì)題目進(jìn)行正常求解，當(dāng)分析出需要分類討論的時(shí)候，需要明確討論對(duì)象與動(dòng)機(jī)，確定討論變量；該步要注重“水到渠成”，切忌“無病呻吟”.

第二步：按照分類原則確定分類標(biāo)準(zhǔn)，最重要的原則就是“不重不漏”.

第三步：按照分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，需要注意的是，為了保證分類的正確性，分類結(jié)束之后必須要及時(shí)復(fù)核是否出現(xiàn)遺漏或者重復(fù)的情況.

第四步：針對(duì)每種分類情況逐一求解.

第五步：將各種情況下的求解結(jié)果進(jìn)行合并.

總之，分類討論思想是高中階段重要的思想方法，分類討論思想適用于函數(shù)、圓錐曲線、數(shù)列等題型，在解題過程中往往與求導(dǎo)、函數(shù)單調(diào)性（還有周期性等）、數(shù)形結(jié)合思想等數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法等緊密相連，共同使用，在解題過程中往往能夠起到事半功倍的效果.學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中需要有意識(shí)的學(xué)習(xí)并利用分類討論思想，提升學(xué)習(xí)效果.