王 偉 ，廖林清，張 君，陳榮中

（1.重慶理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400054；2.重慶理工大學(xué) 汽車零部件制造及檢測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400054；3.南方天合底盤系統(tǒng)有限公司，重慶 402760）

1 引言

理想阿克曼轉(zhuǎn)向原理是將輪胎視為剛體，忽略側(cè)偏力的影響，從最理想狀態(tài)分析汽車純滾動(dòng)轉(zhuǎn)向的條件，確定汽車的轉(zhuǎn)向中心。但實(shí)際中輪胎不是剛體，故汽車轉(zhuǎn)向行駛中受側(cè)向力的作用必定會(huì)產(chǎn)生側(cè)偏角。目前，國(guó)內(nèi)學(xué)者研究聚焦于輪胎的側(cè)偏特性[1-3]，而對(duì)于轉(zhuǎn)向特性的側(cè)偏影響研究多集中在基于多體動(dòng)力學(xué)軟件進(jìn)行的仿真與優(yōu)化[4-5]；國(guó)外學(xué)者則對(duì)多軸汽車轉(zhuǎn)向阿克曼轉(zhuǎn)向原理進(jìn)行了修正[6-8]，而對(duì)于考慮輪胎側(cè)偏剛度下汽車低速轉(zhuǎn)向行駛時(shí)的轉(zhuǎn)向理想條件基礎(chǔ)理論并沒(méi)有涉及。對(duì)汽車低速轉(zhuǎn)向行駛時(shí)的轉(zhuǎn)向理想條件以及已知任意前瞬心點(diǎn)時(shí)后驅(qū)汽車轉(zhuǎn)向中心進(jìn)行了研究。

2 阿克曼轉(zhuǎn)向原理的修正

2.1 阿克曼轉(zhuǎn)向原理

為了避免汽車轉(zhuǎn)向時(shí)路面產(chǎn)生附加阻力和輪胎磨損過(guò)快，要求轉(zhuǎn)向系統(tǒng)能保證汽車轉(zhuǎn)向時(shí)所有車輪均作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，車輪轉(zhuǎn)向角滿足阿克曼轉(zhuǎn)向原理，即在汽車前輪定位角都為零、車輪為剛性的前提下，所有車輪在整個(gè)轉(zhuǎn)向過(guò)程中圍繞同一瞬時(shí)中心轉(zhuǎn)動(dòng)[9]，此瞬時(shí)中心即為汽車轉(zhuǎn)向中心，其轉(zhuǎn)向角需滿足式（1）。

式中：α、β—汽車轉(zhuǎn)向時(shí)的外輪和內(nèi)輪轉(zhuǎn)角；l、b—汽車軸距和主銷間距。

2.2 阿克曼轉(zhuǎn)向原理的修正

理想阿克曼轉(zhuǎn)向原理在考慮輪胎側(cè)偏剛度后會(huì)出現(xiàn)偏離，以后驅(qū)汽車為例，據(jù)文獻(xiàn)[10-12]建立汽車轉(zhuǎn)向力學(xué)模型，對(duì)理想阿克曼轉(zhuǎn)向原理進(jìn)行修正。后驅(qū)汽車側(cè)偏示意圖，如圖1所示?？紤]輪胎側(cè)偏剛度后，汽車的前輪瞬心點(diǎn)將從A偏離到B。此時(shí)汽車轉(zhuǎn)向并不滿足理想阿克曼轉(zhuǎn)向關(guān)系，為使轉(zhuǎn)向汽車車輪作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，須預(yù)先給前輪一個(gè)預(yù)偏角來(lái)抵消其側(cè)偏角，使前輪瞬心點(diǎn)剛好落在后輪軸線上。

圖1 后驅(qū)汽車側(cè)偏示意圖Fig.1 The Side-Slip Drawing of Rear Drive Vehicle

由分析可得此時(shí)的轉(zhuǎn)向角關(guān)系應(yīng)滿足：

式（2）即為修正后的阿克曼轉(zhuǎn)向原理，式中：δ—前輪預(yù)偏角；因前驅(qū)汽車前輪瞬心點(diǎn)側(cè)偏后落在汽車后軸線下方，前輪預(yù)偏角的方向與后驅(qū)汽車剛好相反，故前輪預(yù)偏角δ前的符號(hào)可正可負(fù)，我們定義前驅(qū)汽車預(yù)偏角δ前的符號(hào)為正，后驅(qū)汽車預(yù)偏角δ前的符號(hào)為負(fù)。

3 后驅(qū)汽車轉(zhuǎn)向理想線的定義及求解

3.1 汽車轉(zhuǎn)向理想線的定義

汽車轉(zhuǎn)向行駛時(shí)前輪發(fā)生了側(cè)偏，而后輪沒(méi)有側(cè)偏，此時(shí)不是所有車輪都作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)。為使汽車轉(zhuǎn)向時(shí)為所有車輪均作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，需使汽車前輪側(cè)偏后前輪瞬心點(diǎn)剛好落在后輪軸線上。因此預(yù)先給前輪一個(gè)預(yù)偏角使側(cè)偏后前輪瞬心點(diǎn)剛好落在后輪軸線上。不同的兩前輪轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)著不同的預(yù)偏角即對(duì)應(yīng)著不同的前輪瞬心點(diǎn)，將這樣一系列給定預(yù)偏角后所對(duì)應(yīng)的前輪瞬心點(diǎn)的連線稱為汽車轉(zhuǎn)向理想線。

3.2 后驅(qū)汽車轉(zhuǎn)向理想線的求解

建立后驅(qū)汽車力學(xué)模型，如圖2所示。其中圖示參數(shù)，如表1所示?？傻茫?/p>

式中：F—滾動(dòng)阻力，F(xiàn)=FA1＝FA2。

圖2 后驅(qū)汽車力學(xué)模型Fig.2 The Driving Force Model of Rear Drive Vehicle

表1 后驅(qū)汽車受力模型參數(shù)Tab.1 The Stressed Parameters of Rear Drive Vehicle

由汽車轉(zhuǎn)向受力平衡方程解出的汽車驅(qū)動(dòng)力、軸向力的大小只與汽車兩前轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)角的大小相關(guān)，與汽車的坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。因此為求得汽車前瞬心線，將橫坐標(biāo)定義在汽車的后軸線上，向右為正；縱坐標(biāo)與汽車左右對(duì)稱線重合，向上為正。將汽車側(cè)偏后的前瞬心線作汽車后軸線的對(duì)稱線?？梢缘玫角八残膶?duì)稱后的坐標(biāo)為：

帶入某車型參數(shù)有：

后驅(qū)汽車預(yù)偏后的前輪瞬心線偏離中可以看出，無(wú)論是大轉(zhuǎn)角還是小轉(zhuǎn)角，前輪瞬心線與后輪軸線的偏離比較小，趨于0，如圖3所示。

圖3 預(yù)偏后后驅(qū)汽車的前瞬心線偏離Fig.3 The Deflection of the Rear Drive Vehicle’s Front Instantaneous Center Line After Given the Bias Angle

實(shí)線表示后驅(qū)汽車預(yù)偏角與預(yù)偏后的側(cè)偏角的關(guān)系，虛線為與水平軸成45°的直線，由圖可看出后驅(qū)汽車的預(yù)偏角和預(yù)偏后的側(cè)偏角成線性關(guān)系，且與虛線相重合，由此說(shuō)明后驅(qū)汽車給定預(yù)偏角后發(fā)生的側(cè)偏角和給定的預(yù)偏角相等，如圖4所示。綜合圖3和圖4，以及汽車轉(zhuǎn)向理想線的定義可知，此種方法求出的后驅(qū)汽車轉(zhuǎn)向理想線是可行的。

圖4 后驅(qū)汽車預(yù)偏角與預(yù)偏后新的側(cè)偏角的關(guān)系Fig.4 The Relationship of the Rear Drive Vehicle’s Bias Angle and New Sideslip Angle After Given the Bias Angle

4 給定前點(diǎn)時(shí)后驅(qū)汽車轉(zhuǎn)向中心算例

4.1 后驅(qū)等效三輪模型的建立與分析

由前面轉(zhuǎn)向理想線分析可知，汽車若按照理想阿克曼轉(zhuǎn)向，前輪必定存在側(cè)偏。而目前現(xiàn)有的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)只有一個(gè)點(diǎn)滿足轉(zhuǎn)向理想線條件，而其它點(diǎn)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)向中心在哪里我們并不知道。后驅(qū)汽車行駛中前輪的軸向力（側(cè)向力）、后輪的驅(qū)動(dòng)力與軸向力都是可以改變的，而切向力（滾動(dòng)阻力）是不能改變，因此可建立一個(gè)新的汽車力平衡關(guān)系，使汽車前輪速度瞬心點(diǎn)和后輪速度瞬心點(diǎn)交于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為汽車轉(zhuǎn)向中心點(diǎn)。

汽車低速轉(zhuǎn)向行駛時(shí)，忽略離心力，將汽車兩后輪等效為過(guò)汽車左右對(duì)稱線的一個(gè)輪胎，以后驅(qū)汽車左轉(zhuǎn)向?yàn)槔?，如圖5所示（點(diǎn)劃線）等效三輪轉(zhuǎn)向中心力學(xué)模型，其中y軸為汽車左右對(duì)稱線并規(guī)定向上為正方向，x軸在汽車后軸線上，規(guī)定向右為正方向，圖中的參數(shù)，如表2所示。

圖5 后驅(qū)汽車等效三輪模型及四輪模型Fig.5 The Equivalent Three Wheel Model and Four Wheel Model of the Rear Drive Vehicle

假設(shè)兩前輪側(cè)偏后的側(cè)偏線交于E1點(diǎn)，延長(zhǎng)兩前輪中心點(diǎn)A、B與E1點(diǎn)的連線交后輪軸線分別于H1、G1兩點(diǎn)。由力平衡關(guān)系可得，汽車所受力必定匯交于一點(diǎn)。由于兩前輪軸向力方向已知，因此等效三輪模型中后輪所受力必定相交于前輪瞬心點(diǎn)。又由側(cè)偏力和側(cè)偏角的關(guān)系，前輪瞬心點(diǎn)會(huì)變到F點(diǎn)，那么后輪瞬心點(diǎn)必定也只能相交于F點(diǎn)，因此汽車的轉(zhuǎn)向中心即整車瞬心必定落在三角形H1E1G1之內(nèi)。

表2 后驅(qū)汽車等效三輪受力力學(xué)模型參數(shù)Tab.2 The Stressed Parameters of Rear Drive Vehicle’s Equivalent Three Wheel Model

由力和力矩的平衡、側(cè)偏角和轉(zhuǎn)向角以及汽車速度垂線的關(guān)系有：

以某后驅(qū)汽車為例，車型具體參數(shù)值代入式（4）中，并用MATLAB編程對(duì)其分析求解，得到圖6的各力隨內(nèi)輪轉(zhuǎn)角關(guān)系與圖7的轉(zhuǎn)向中心位置關(guān)系，如表3所示。

表3 某后驅(qū)車型參數(shù)表Tab.3 A Rear Drive Vehicle’s Model Parameter Table

圖6 后驅(qū)汽車等效三輪模型各力隨內(nèi)輪轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.6 The Relationship of Rear Drive Vehicle’s Forces and Inner Wheel Angel in Equivalent Three Wheel Model

后驅(qū)汽車等效三輪模型左轉(zhuǎn)時(shí)，左右前輪及等效后輪的側(cè)向力都隨內(nèi)輪轉(zhuǎn)角（左輪轉(zhuǎn)角β）的增大而增大，且左前輪側(cè)向力的變化幅度大于右前輪側(cè)向力，這是由于后驅(qū)汽車左轉(zhuǎn)向時(shí)，內(nèi)輪轉(zhuǎn)角大于外輪轉(zhuǎn)角導(dǎo)致的。由前面分析可知，當(dāng)內(nèi)輪轉(zhuǎn)角增大時(shí)，兩前輪所受的側(cè)向力增大，即前輪側(cè)偏角增大，故前瞬心點(diǎn)E1和前輪中點(diǎn)A、B連線的延長(zhǎng)線交后輪軸線所連的三角形H1E1G1也增大，新側(cè)偏后的前輪瞬心點(diǎn)與后輪瞬心點(diǎn)相交時(shí)也必須側(cè)偏得更多，即新平衡受力中各力也隨著內(nèi)輪轉(zhuǎn)角的增大而增大，如圖6所示。

在小轉(zhuǎn)角時(shí)汽車的轉(zhuǎn)向中心位置關(guān)系變化不怎么明顯，幾乎是和汽車后軸平行的一條水平直線。汽車在大轉(zhuǎn)向角時(shí)，曲線變化較明顯，但汽車轉(zhuǎn)向中心離汽車后軸線也小于0.3×10-3m，這說(shuō)明前輪添加預(yù)偏角δ后汽車在整個(gè)轉(zhuǎn)向過(guò)程中轉(zhuǎn)向中心都能落在汽車后軸線附近，使汽車車輪均作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，如圖7所示。

圖7 后驅(qū)汽車等效三輪模型轉(zhuǎn)向中心位置關(guān)系Fig.7 The Steering Center’s Position in Equivalent Three Wheel Model of Rear Drive Vehicle

同時(shí)由方程解得θ值為0，即等效后輪受力Fa的方向與后軸線時(shí)重合的。將方程組的解帶入原方程組，其水平方向的合力均滿足力學(xué)分析；且兩前輪受力的縱向分力的合力也等于0，也說(shuō)明等效后輪受力的方向θ等于0。

4.2 后驅(qū)四輪模型的建立與分析

同樣以后驅(qū)汽車左轉(zhuǎn)為例，建立后驅(qū)汽車四輪模型受力圖，如圖5（虛線）所示。圖中參數(shù)，如表4所示。其中y軸為汽車左右對(duì)稱線并規(guī)定向上為正方向，x軸在汽車后軸線上并規(guī)定向右為正方向。

表4 后驅(qū)汽車四輪受力力學(xué)模型參數(shù)Tab.4 The Stressed Parameters of Rear Drive Vehicle Four Wheel Model

由力平衡、力矩平衡關(guān)系以及側(cè)偏角和轉(zhuǎn)向角以及汽車速度垂線的關(guān)系有：

將表3中車型具體參數(shù)值代入式（5）中，并用MATLAB編程對(duì)其分析求解，得到四輪模型中各力隨內(nèi)輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系，如圖8所示。

圖8 各受力與內(nèi)輪轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.8 The Relationship of FL、FR、Fhl、Flq、Fhr、Frq and Inner Wheel Angel

由圖8可以看到各力都有一些突變點(diǎn)。為了驗(yàn)證Matlab計(jì)算的準(zhǔn)確性，將計(jì)算出的各力分別帶入式（5）進(jìn)行驗(yàn)證。經(jīng)過(guò)驗(yàn)算，圖8中突變點(diǎn)的解不滿足非線性方程組，刪除突變數(shù)據(jù)點(diǎn)后各力隨內(nèi)輪轉(zhuǎn)角關(guān)系，如圖9所示。

圖9 后驅(qū)汽車四輪模型中各力隨內(nèi)輪轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.9 The Relationship of Rear Drive Vehicle‘s Forces and Inner Wheel Angel in Four Wheel Model

由圖9可知，在后驅(qū)汽車四輪模型中，左右前輪側(cè)向力、左右后輪軸向力都隨內(nèi)輪轉(zhuǎn)角（左輪轉(zhuǎn)角β）的增大而增大，且左前輪側(cè)向力和左后輪軸向力的變化幅度大于右前輪側(cè)向力和右后輪軸向力，同樣這也是由于后驅(qū)汽車左轉(zhuǎn)向時(shí)，內(nèi)輪轉(zhuǎn)角大于外輪轉(zhuǎn)角導(dǎo)致的；從圖9中還看出，左右后輪縱向力不受內(nèi)輪轉(zhuǎn)角變化而變化。

4.3 等效三輪模型與四輪模型的對(duì)比

將四輪模型與等效三輪模型中各力與內(nèi)輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)四輪模型和等效三輪模型中各力的趨勢(shì)和大小幾乎是一樣的。進(jìn)一步分析得到兩種模型中后驅(qū)汽車轉(zhuǎn)向中心位置關(guān)系，如圖10所示。

圖10 后驅(qū)汽車轉(zhuǎn)向中心位置關(guān)系Fig.10 The Rear Drive Vehicle Steering Center’s Position

圖中10實(shí)線為后驅(qū)汽車四輪模型轉(zhuǎn)向中心位置關(guān)系，虛線為等效三輪模型轉(zhuǎn)向中心位關(guān)系，轉(zhuǎn)向中心橫坐標(biāo)遠(yuǎn)離零點(diǎn)時(shí)轉(zhuǎn)向角較小，反之轉(zhuǎn)向角大。從圖中可以看出，轉(zhuǎn)向角較小時(shí)，等效三輪模型和四輪模型是等價(jià)的；同時(shí)，兩種模型的前輪瞬心點(diǎn)位置縱坐標(biāo)值都不大，不超過(guò)±0.3×10-3m，同樣說(shuō)明前輪添加預(yù)偏角δ后汽車在整個(gè)轉(zhuǎn)向過(guò)程中轉(zhuǎn)向中心都能落在汽車后軸線附近，使汽車車輪均作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)。

5 總結(jié)

（1）修正了在考慮輪胎側(cè)偏剛度下的理想阿克曼轉(zhuǎn)向原理，使前輪瞬心點(diǎn)剛好落在后輪軸線上，所有車輪均作純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)。

（2）提出了一種求汽車轉(zhuǎn)向理想線的方法并求解了后驅(qū)汽車的轉(zhuǎn)向理想線，分別用前輪瞬心離汽車后軸距離、給定前輪預(yù)偏角和給定此預(yù)偏角下前輪側(cè)偏角的對(duì)比兩種方法驗(yàn)證了此方法的正確性。

（3）建立了后驅(qū)汽車等效三輪模型以及四輪模型，分析了影響等效三輪模型、四輪模型各力的關(guān)系，對(duì)比了兩種模型下的轉(zhuǎn)向中心位置，證明了兩種模型在小轉(zhuǎn)向角時(shí)是等價(jià)的。

為研究考慮汽車離心力時(shí)汽車的轉(zhuǎn)向中心提供了一種思路，同時(shí)也為將來(lái)研究汽車甩尾、翻車等的條件奠定了基礎(chǔ)。