李瑞奇，楊志軍

（廣東工業(yè)大學 機電工程學院，廣東 廣州 510006）

1 引言

目前最常用于微動平臺設計的柔性鉸鏈主要為缺口型柔性鉸鏈和彈片式柔性鉸鏈。切口型柔性鉸鏈通常成對設計，中間用剛性桿連接，并通過缺口處彎曲變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動來進行運動傳遞。彈片式柔性鉸鏈則通過整體變形來傳遞運動，適合于較大行程的導向機構(gòu)，且設計公式簡潔。早在1965年，文獻[1]便巧妙的推導出了圓弧形切口柔性鉸鏈的完整柔度計算公式，并給出了切口半徑遠大于柔性鉸鏈最小厚度時的簡化公式。文獻[2]推導了雙曲線和拋物線切口柔性鉸鏈的柔度公式，并在幾何等價的條件下對其轉(zhuǎn)動精度，應力情況進行了比較。文獻[3]以切口曲線的曲率半徑與柔性鉸鏈最小厚度的比值作為擬合參數(shù)，給出了計算切口柔性鉸鏈應力集中系數(shù)的經(jīng)驗公式。文獻[4]推導了典型柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)角柔度公式。

大量關于柔性鉸鏈的研究，都集中于不同切口形狀柔性鉸鏈柔度公式推導，轉(zhuǎn)動精度，轉(zhuǎn)角范圍及應力水平，并且為方便設計及優(yōu)化，建立了不同切口柔性鉸鏈的統(tǒng)一模型以及柔度公式，這些研究都是根據(jù)柔性鉸鏈的懸臂梁模型進行展開的。切口柔性鉸鏈在微動平臺中主要用于位移放大機構(gòu)，以及具有自導向功能的位移放大機構(gòu)[5-8]，彈片式柔性鉸鏈則主要用于位移導向機構(gòu)[9-10]。作為導向機構(gòu)時，彈片式柔性鉸鏈有更好的柔度，但與剛體連接的部位通常為直角，會發(fā)生嚴重的應力集中現(xiàn)象。切口型柔性鉸鏈雖然可以通過對切口形狀進行優(yōu)化減小應力集中，但主要通過局部變形來傳遞位移，同樣會產(chǎn)生較大的應力。高頻工作的微動平臺對疲勞壽命較為敏感，而柔性鉸鏈是微動平臺中最脆弱，是最容易發(fā)生疲勞失效的部分。因此，目前常用的兩種常用的柔性鉸鏈在作為導向機構(gòu)時，不能有效地滿足高頻工作對高疲勞壽命的需求。

針對以上問題，提出一種以圓倒角彈片式柔性鉸鏈為主要結(jié)構(gòu)的微動平臺導向機構(gòu)，在降低應力集中的同時保持較好的導向剛度。導向剛度是導向機構(gòu)最主要的性能體現(xiàn)，而應力集中系數(shù)可用于計算柔性鉸鏈的實際最大應力。如何選擇合適的圓角滿足導向剛度以及疲勞壽命的設計需求是需要解決的問題。

2 導向剛度

為消除寄生位移，導向機構(gòu)中的柔性鉸鏈多采用對稱設計，導向機構(gòu)模型，如圖1所示。柔性鉸鏈一端固定，一端沿著導向塊進行平移。本節(jié)運用結(jié)構(gòu)力學的相關原理，以及卡氏第二定理對圓倒角彈簧片式柔性鉸鏈的導向剛度公式進行推導。理論公式的推導主要基于以下幾個假設：

（1）柔性鉸鏈的材料具有各向同性。

（2）柔性鉸鏈截面變化不影響彎矩的分布。

（3）柔性鉸鏈的變形為小變形，在線彈性變形范圍內(nèi)。

（4）柔性鉸鏈的梁模型為歐拉-伯努利梁，忽略了剪切因素的影響。

圖1 導向機構(gòu)模型Fig.1 Model of Guiding Mechanism

圓倒角彈簧片式柔性鉸鏈的幾何參數(shù)模型，如圖2所示。

圖2 圓倒角彈簧片柔性鉸鏈幾何模型Fig.2 Geometric Model of Round Fillet Leaf Spring Type Flexure Hinge

圖中：l—柔性鉸鏈的長度；r—圓角半徑；t—柔性鉸鏈寬度；w—柔性鉸鏈厚度。

圖3 圓倒角彈簧片式柔性鉸鏈的理論模型Fig.3 Mechanical Model of Round Fillet Leaf Spring Type Flexure Hinge

圖4 等效模型Fig.4 Equivalent Model

圓倒角彈簧片式柔性鉸鏈進行導向時的力學模型，如圖3所示。由于待求解模型為二次超靜定梁，需要先通過力法去除約束，將超靜定問題轉(zhuǎn)化為靜定問題，再通過幾何邊界條件和力與力矩的平衡條件求得在受載荷F作用時，彎矩沿柔性鉸鏈軸向的分布公式。去約束后的等效模型，如圖4所示。

根據(jù)約束條件可知，位移邊界條件為柔性鉸鏈在B端的橫向位移為0，繞z軸的角位移為0，即式（1）：

根據(jù)受力平衡以及位移邊界條件，可求得MB，并得到力矩沿x軸方向的表達式為：

由卡氏第二定理可知，彈性體的應變能U對某一載荷F的偏導數(shù)等于該載荷的相應位移Δk為：

圓倒角彈簧片式柔性鉸鏈在進行導向時，受到沿著y軸方向的常載荷作用，因此列出變截面梁在受y軸方向上的載荷F作用時的應變能表達式，并對F求偏導即可求得鉸鏈在F作用下的位移表達式，最后獲得剛度的表達式。柔性鉸鏈在F的作用下只考慮彎曲變形時產(chǎn)生的應變能為：

式中：M—彎矩；E—彈性模量；I—慣性矩。

橫截面為矩形的梁的對Z軸的慣性矩的計算公式為：Iz=，柔性鉸鏈的截面寬度為常量而截面的高度沿著x軸方向發(fā)生變化，其表達式如下：

對得到的應變能計算公式求關于F的偏導數(shù)，可以求出在F的作用下導向端產(chǎn)生的位移：

由于積分很復雜，引入無量綱參數(shù)a，b對積分公式進行化簡（其中，a=r/t，b=l/t），積分結(jié)果如下：

3 應力集中系數(shù)

應力集中是應力在固體局部區(qū)域內(nèi)顯著增高的現(xiàn)象，多出現(xiàn)于尖角、孔洞、缺口、溝槽以及有剛性約束處及其鄰域。應力集中會材料產(chǎn)生疲勞裂紋或疲勞斷裂，在應力集中區(qū)域，應力的最大值與物體的幾何形狀和加載方式等因素有關。柔性鉸鏈區(qū)域面積的減少，會引起局部應力增大，使得柔性鉸鏈的實際最大應力遠大于材料力學公式計算得出的應力。應力集中的程度可以用應力集中系數(shù)來表示，而應力集中系數(shù)的定義為名義應力與實際最大應力的比值，名義應力可以根據(jù)材料力學的相關理論進行計算。在設計柔性鉸鏈時，可以用應力集中系數(shù)計算柔性鉸鏈的實際最大應力，進行剛度校核以及疲勞壽命的相關計算。

本節(jié)將對柔性鉸鏈y軸上作用導向載荷F時的彎曲應力的應力集中系數(shù)進行研究。鉸鏈在一端固定一端導向，導向端受導向載荷作用時的導向應力集中系數(shù)為：

應力集中系數(shù)的影響因數(shù)較多，通過理論推導的方式很難獲得其精確的表達式，通過實驗的方式來測量實際最大應力又太過昂貴，因此應用多物理場仿真軟件COMSOL作為分析工具來獲得柔性鉸鏈在受載荷作用時的實際最大應力。本章節(jié)主要討論無量綱參數(shù)a，b對于應力集中系數(shù)的影響。在建立模型時，t=2mm，彈性模量E=70GPa，泊松比μ=0.3，柔性鉸鏈厚度為w=10mm。由于影響應力集中的參數(shù)有兩個，要研究兩個參數(shù)分別對應力集中系數(shù)的影響，需要先取其中一個為定值，因此在研究長寬比b對應力集中系數(shù)的影響時，取圓角半徑與寬度比a為定值0.5，2，5，對于三個取值的a，柔性鉸鏈需要滿足條件b＞2a，且建立的理論模型為歐拉-伯努利梁，所以建立模型時，b的取值為［15，100］且間隔為5，通過改變b的取值來觀察應力集中系數(shù)的變化。由圖5可知，柔性鉸鏈的導向應力集中系數(shù)會受到參數(shù)a，b的綜合影響，但是當b足夠大時，它對應力集中系數(shù)的影響將會變得非常小，因此對于圓倒角彈簧片式柔性鉸鏈這樣大l/t的梁，參數(shù)b對應力集中系數(shù)的影響很小。

圓倒角彈簧片式柔性鉸鏈在作為導向機構(gòu)時通常具有較大的l/t值，在研究參數(shù)a對應力集中系數(shù)的影響時，取b為定值40和100，參數(shù)a為變化參數(shù)，取值范圍為［0.2，5］，取值間隔為0.1。

由圖6可以看出，當b取定值時，隨著參數(shù)a值的增加，柔性鉸鏈的彎曲應力集中系數(shù)會逐漸減小，且當a＞2時，應力集中系數(shù)將趨近于1，不再隨著a的增加繼續(xù)減小。根據(jù)有限元的仿真結(jié)果，可以得到圓倒角彈簧片式柔性鉸鏈一端固定一端導向時的彎曲應力集中系數(shù)kb的經(jīng)驗公式為：

圖5 b對kb的影響Fig.5 Influence on kb of b

圖6 a對kb的影響Fig.6 Influence on kb of a

4 剛度公式及應力集中系數(shù)公式驗證

在進行公式驗證時，材料的楊氏模量E=70GPa，泊松比為μ=0.3，有限元模型的幾何參數(shù)，如表1所示。建模時直接通過COMSOL中的3維圖形工具進行建模，在劃分網(wǎng)格時，選其中一個側(cè)面劃分為三角形網(wǎng)格再以與該側(cè)面平行的另一個側(cè)面作為目標面進行掃掠，并根據(jù)模型的幾何參數(shù)調(diào)整網(wǎng)格的分布，提高網(wǎng)格的單元質(zhì)量，保證分析的準確性。導向剛度式（8），以及導向應力集中系數(shù)式（11）與有限元的分析的對比結(jié)果顯示，導向剛度公式的最大誤差為2.57%，導向應力集中系數(shù)的最大誤差為1.7%。結(jié)果表明，給出的計算公式具有很高的計算精度。

5 結(jié)論

針對高頻運動工作場合下，常用微定位平臺導向機構(gòu)的柔性鉸鏈由于應力集中和局部變形導致應力太大的情況，基于圓倒角彈片式柔性鉸鏈提出了一種新的導向機構(gòu)。針對設計的需要，運用力法及卡氏第二定理對導向機構(gòu)的柔性鉸鏈導向剛度公式進行了推導。針對應力集中的問題，運用有限元軟件對柔性鉸鏈的導向應力集中系數(shù)進行了研究，確定了影響應力集中系數(shù)的主要參數(shù)并獲得了應力集中系數(shù)的經(jīng)驗計算公式。通過與有限元分析結(jié)果的對比，導向剛度公式計算結(jié)果的最大誤差為2.57%，導向應力集中系數(shù)的計算結(jié)果最大誤差為1.7%。對比結(jié)果表明，給出的計算公式具有很高的計算精度，可以滿足導向機構(gòu)的設計優(yōu)化需求。

表1 分析結(jié)果與有限元結(jié)果對比Tab.1 Comparison of Analytical Results with FEA Results