廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 藍(lán)云波

遞推數(shù)列是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的高頻考點(diǎn),題型多,方法靈活多樣,對(duì)學(xué)生的代數(shù)變形能力具有較高的要求.為了幫助同學(xué)們更好地備戰(zhàn)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,本文通過(guò)對(duì)近幾年的遞推數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)例析,以提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)效率.

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

除了課本的基礎(chǔ)知識(shí)外,還應(yīng)掌握以下的知識(shí)點(diǎn).

1.特征根法

對(duì)an+2=pan+1+qan類(lèi)型的遞推式,令α,β是方程x2-px-q=0的兩根,此方程又稱(chēng)為特征方程,則當(dāng)時(shí),an=Aαn+Bβn,其中A,B由初始條件a1,a2所得的方程組唯一確定;當(dāng)α=β時(shí),an=(A+Bn)αn-1.其中A,B由初始條件a1,a2所得的方程組唯一確定.

2.不動(dòng)點(diǎn)法

二、命題規(guī)律揭示

題型一、周期數(shù)列

點(diǎn)評(píng)通過(guò)對(duì)遞推式的觀察,發(fā)現(xiàn)本題的遞推式的結(jié)構(gòu)暗合兩角和的正切公式,故可借助代換的思想,可得出該數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列.當(dāng)然,此題也可以通過(guò)求出前幾項(xiàng),得出數(shù)列的周期,但對(duì)此題而言,運(yùn)算量較大.

題型二、利用an與Sn的關(guān)系

例2(2013年廣州市高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且an是Sn和2的等差中項(xiàng),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析因?yàn)閍n是Sn和2的等差中項(xiàng),所以Sn+2=2an①,當(dāng)n=1時(shí),S1+2=2a1=a1+2,解得a1=2.當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1+2=2an-1②.①-②得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1.所以an=2an-1(n≥2).所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an=2·2n-1=2n,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n(n∈N+).

點(diǎn)評(píng)對(duì)含有an與Sn的關(guān)系式的數(shù)列問(wèn)題,可利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解.

題型三、特征根法

例3(2012年貴州預(yù)賽)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,a2=8,an+2=2an+1+2an,n∈N+,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

點(diǎn)評(píng)本題是特征根求數(shù)列通項(xiàng)公式的典型問(wèn)題,對(duì)運(yùn)算能力要求較高.

題型四、不動(dòng)點(diǎn)法

例4(2013年新疆預(yù)賽)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,anan+1=1+an,試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

點(diǎn)評(píng)本題適合不動(dòng)點(diǎn)法,有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),故可構(gòu)造等比數(shù)列實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解,由于此題數(shù)據(jù)較為復(fù)雜,對(duì)考生的運(yùn)算能力要求相當(dāng)高.

題型五、配方法

點(diǎn)評(píng)通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),此題可通過(guò)左右兩邊同加上1,可進(jìn)行配方.通過(guò)開(kāi)方后可得到一個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題,從而化為熟悉的問(wèn)題.

題型六、倒數(shù)法

點(diǎn)評(píng)本題的關(guān)鍵是通過(guò)倒數(shù)變換,然后通過(guò)拆項(xiàng)后,利用累加法實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解,對(duì)代數(shù)變形能力要求較高,較為隱蔽.

題型七、取對(duì)數(shù)法

點(diǎn)評(píng)本題也使用了倒數(shù)變換,然后再利用取對(duì)數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列的問(wèn)題,遞推數(shù)列的求解,有時(shí)候要綜合使用多種解題技巧.

變式練習(xí)

1.(2014年甘肅預(yù)賽)在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,且an+2=|an+1-an|(n∈N+),則a2014=___.

解析因?yàn)閍1=1,a2=3,a3=|a2-a1|=2,a4=|a3-a2|=1,a5=|a4-a3|=1,同理,a6=0,a7=a8=1,a9=0.所以自第四項(xiàng)起,每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期性地取1,1,0.故a2014=a4=1.

2.(2015年河北預(yù)賽)已知數(shù)列{an}滿足:a1=2,.求證:數(shù)列{lg(an+1)}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析因?yàn)?所以an+1+1=,兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg(an+1+1)=lg(an+1)2=2lg(an+1),又因?yàn)閘g(a1+1)=lg3,所以數(shù)列{lg(an+1)}是首項(xiàng)為lg3,公比為2的等比數(shù)列.所以,所以,所以.