廣東省惠州市惠州市第一中學(xué)(516001) 劉宏英

圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題是高考的熱點(diǎn)問題之一,對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求較高,是區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科思維水平的有力載體,例如2017年高考全國I和全國II都考查了該問題.縱觀高考試題,直線過定點(diǎn)問題主要分為兩種,一種是給出定點(diǎn)證明動直線過該點(diǎn);另一種是不給出定點(diǎn),需探究出動直線所過的定點(diǎn).本文就舉例說明這兩種類型的解題方法:

考題呈現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點(diǎn).

題目2(2017年高考全國II卷理科)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)M在橢圓上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.

例談解法

1.直線所過定點(diǎn)已給出

例1已知拋物線y=x2和三個定點(diǎn),過點(diǎn)M的一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),AP、BP的延長線分別交拋物線C于E、F.證明:直線EF過定點(diǎn)N.

證明設(shè),則直線AB的方程:,即:y=(x1+x2)x-x1x2,因M(x0,y0)在AB上,所以

點(diǎn)評因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線,如果直線所過定點(diǎn)已給出,可以先根據(jù)兩個點(diǎn)運(yùn)用點(diǎn)斜式寫出直線方程,再將定點(diǎn)坐標(biāo)代入,再證明定點(diǎn)坐標(biāo)滿足此方程即可.

1.2.2 發(fā)熱護(hù)理急性白血病患者經(jīng)常容易感染發(fā)熱,化療后這種病狀更加明顯,因此護(hù)理人員應(yīng)當(dāng)首先對發(fā)生高熱的原因查明,感染灶的部位明確,早期發(fā)熱的急性白血病患者給予抗生素對炎癥進(jìn)行控制。對發(fā)熱的患者可以使用溫水擦浴,在患者的頸部、兩側(cè)腋窩、頭部、腹股溝等部位將冰袋放置其上給予降溫。退熱期的患者出汗量比較多,護(hù)理人員應(yīng)當(dāng)及時擦凈其汗液,為患者更換內(nèi)衣褲避免其受涼,患者體溫降低后0.5h后進(jìn)行一次體溫測量,也可以遵照醫(yī)囑給予患者口服吲哚美辛片或是注射地塞米松[2]。

圖1

圖2

例2設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)在直線1)上,過點(diǎn)P作雙曲線x2-y2=1的兩條切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B,定點(diǎn).求證:直線AB過點(diǎn)M.

證明設(shè),由已知得到,且,設(shè)切線PA的方程為:y-y1=k(x-x1),由得,從而,解得,因此PA的方程為:,同理PB的方程為:在PA、PB上,所以,即點(diǎn)都在直線上,又也在直線y0y=mx-1上,所以直線AB過點(diǎn)M.

點(diǎn)評點(diǎn)斜式方程是圓錐曲線背景下直線方程常用的形式,但是如果直線上的點(diǎn)具有特殊性,就可不必拘泥于點(diǎn)斜式.例如如果兩個不重合的點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)滿足方程Ax1+By1+C=0,Ax2+By2+C=0,則直線AB的方程為Ax+By+C=0.本題中直線上的兩個點(diǎn)恰好是切點(diǎn),而圓錐曲線與直線相切時,切點(diǎn)所在方程形式具有一致性,利用這一特性可以迅速得到切點(diǎn)所在直線的方程,再將定點(diǎn)坐標(biāo)代入,證明定點(diǎn)坐標(biāo)滿足該直線方程即可.

例3如圖,橢圓的離心率為,F為右焦點(diǎn),點(diǎn)A、B分別為左右頂點(diǎn),橢圓E上的點(diǎn)到F的最短距離為1.

圖3

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)t∈R且,過點(diǎn)M(4,t)的直線MA,MB與橢圓E分別交于點(diǎn)P,Q,求證:直線PQ過點(diǎn)F.

解(1),解題過程略.

點(diǎn)評當(dāng)直線所過定點(diǎn)已給出,問題可以轉(zhuǎn)化為證明三點(diǎn)共線,此時可借助向量法.由于直線與圓錐曲線相交問題通常涉及多個變量,用向量法要特別注意選擇恰當(dāng)?shù)淖兞勘硎军c(diǎn)的坐標(biāo).一定要認(rèn)真推敲哪個是核心變量,通過設(shè)而不求,借助韋達(dá)定理搭建非核心變量與核心變量之間的轉(zhuǎn)化通道,化繁為簡.

2.所過定點(diǎn)未給出

例4已知動圓過定點(diǎn),且與直線相切,其中p＞0.

(1)求動圓圓心C的軌跡方程;

(2)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個不同點(diǎn),直線OA和OB的傾斜角分別為α和β,當(dāng)α,β變化且α+β為定值θ(0＜θ＜π)時,證明直線AB恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

解(1)軌跡方程為y2=2px(p＞0),解題過程略.

圖4

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(diǎn)(1,0)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′.試問:當(dāng)m變化時,直線A′B是否過定點(diǎn)?若是,請寫出定點(diǎn)的坐標(biāo),并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由.

解(1)依題意可得解得a=2,b=1.所以橢圓C的方程是.

(2)設(shè)直線AB的方程為,由得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0.

記A(x1,y1),B(x2,y2),則A′(x1,-y1),且y1+y2=.由橢圓的對稱性可知,若直線A′B過定點(diǎn),則定點(diǎn)必然在x軸上.特別地,令x1=0,y1=-1,則.此時,直線A′B的方程為x+4y-4=0,與x軸的交點(diǎn)為S(4,0).所以,若直線A′B與x軸交于一個定點(diǎn),則定點(diǎn)只能為S(4,0).

以下證明對于任意m,直線A′B與x軸交于定點(diǎn)S(4,0).經(jīng)過點(diǎn)A′(x1,-y1),B(x2,y2)的直線方程為,令y=0,得,故只需證明,即證my1-3=0,即證2my1y2-3(y1+y2)=0.因?yàn)?所以2my1y2-3(y1+y2)=0成立.這說明,當(dāng)m變化時,直線A′B與x軸交于定點(diǎn)S(4,0).

點(diǎn)評如果直線所過定點(diǎn)未給出,可根據(jù)圓錐曲線的圖像特征運(yùn)用特殊位置、特殊點(diǎn)進(jìn)行探究,變中抓不變,進(jìn)而證明猜想具有一般性.

運(yùn)用代數(shù)計算探索幾何圖形的運(yùn)動不變性是解析幾何的典型問題,圓錐曲線中直線過定點(diǎn)問題就是其中之一.抓住圖形特征、認(rèn)清問題要點(diǎn)、靈活運(yùn)用解題方法和直線方程的形式,此類問題便可迎刃而解.