廣東省惠州市第一中學(xué)(516007) 郭煜輝

從2017年起,全國I卷的選做題變成了二選一.基于對知識點(diǎn)的熟練程度,當(dāng)年的廣東有超過70%的考生選做了第22題“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”.但是“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”真的這么好得分嗎?經(jīng)過閱卷統(tǒng)計(jì),在2018屆惠州二調(diào)中,第22題獲得8分以上的人數(shù)為21.05%,其中(2)問中獲得3分以上的人數(shù)百分比僅為23.01%.此題的實(shí)際得分與期望值有一段差距.同時從數(shù)據(jù)中也可以看出,(2)問是拿取該題分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵.本文結(jié)合考生答題情況,對第22題第(2)問進(jìn)行了分析,望對高考備考、教學(xué)有所啟發(fā).

一、題目及解法

原題(惠州市2018屆第二次調(diào)研考文理第22題)已知曲線(α為參數(shù))和定點(diǎn)F2是此曲線的左、右焦點(diǎn),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求直線AF2的極坐標(biāo)方程;

(2)經(jīng)過點(diǎn)F1且與直線AF2垂直的直線交此圓錐曲線于M、N兩點(diǎn),求||MF1|-|NF1||的值.

解(1)略;曲線可化為.

(2)由(1)知,直線AF2的斜率為因?yàn)閘⊥AF2,所以l的斜率為,傾斜角為30°,所以l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入橢圓C的方程中,得.因?yàn)镸,N在點(diǎn)F1的兩側(cè),所以

二、學(xué)生的典型錯誤與分析

經(jīng)過統(tǒng)計(jì),學(xué)生主要出現(xiàn)以下錯誤:

1.無法根據(jù)直線l的普通方程,轉(zhuǎn)換寫出直線的參數(shù)方程,即不會轉(zhuǎn)化為又或發(fā)生知識性錯誤:找錯定點(diǎn)(-1,0),求錯傾斜角的正弦、余弦值;

2.無法正確用“t”去表示||MF1|-|NF1||,如||MF1|-;

分析對于第1種錯誤的出現(xiàn),是學(xué)生模糊概念,對直線參數(shù)方程中的錯誤理解或記憶,只需在講評試卷中對概念進(jìn)行糾正及加強(qiáng)記憶即可.而第2種錯誤,來自于對“t”含義的混淆或理解錯誤所致.同時,“t”的含義也是直線與參數(shù)方程教學(xué)的難點(diǎn).

下面通過厘清“t”的含義,糾正學(xué)生第2種錯誤.

三、對試題的探究

1.溯本追源,“t”的含義

人教版高中數(shù)學(xué)選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》第二講參數(shù)方程,第三節(jié)直線方程中,詳細(xì)敘述了“t”的由來和含義:“因?yàn)閑=(cosα,sinα),所以|e|=1.由,得到.因此,直線上的動點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離,等于(t為參數(shù))中參數(shù)t的絕對值.當(dāng)0＜α＜π時,sinα＞0,所以,直線l的單位方向向量e的方向總是向上.此時,若t＞0,則的方向向上;若t＜0,則的方向向下;若t=0,則點(diǎn)M與M0重合.”

2.教材的解讀

根據(jù)教材的敘述,可得到對“t”的含義理解:雖然“t”是標(biāo)量,但這里“t”不僅表示距離,還表示了方向直線的方向(用正負(fù)表示).得到以下結(jié)論:

(1)|t|:表示動點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離.

(2)若M1、M2是直線l上的兩點(diǎn),對應(yīng)參數(shù)分別為t1、t2,M0為定點(diǎn) (x0,y0),因此有|M1M2|=|t1-t2|,|M0M1|·|M0M2|=|t1·t2|.

展開對“|M1M2|=|t1-t2|”的理解:

(1)如圖1,|M1M2|=|M0M1|+|M0M2|=|t1|+|t2|,因?yàn)镸1,M2在M0兩側(cè),因此t1·t2＜0,所以|M1M2|=|t1|+|t2|=|t1-t2|;

圖1

圖2

(2)如圖2,|M1M2|=||M0M1|-|M0M2||=||t1|-|t2||,因?yàn)镸1、M2在M0同側(cè),因此t1·t2＞0,所以|M1M2|=||t1|-|t2||=|t1-t2|;

總結(jié)不管t1,t2是否同向,|M1M2|=|t1-t2|.

由上述分析,可以得到一個重要結(jié)論:若要判斷M1,M2與M0的位置關(guān)系,則需要判斷t1,t2是否同向,此時可用“t1·t2”的正負(fù)值進(jìn)行判斷.從而得到判斷位置的方法:聯(lián)立曲線與直線參數(shù)方程,消掉“x,y”后得到關(guān)于“t”的一元二次方程,即可利用韋達(dá)定理,判斷“t1·t2”的正負(fù)值.

3.探究與拓展

針對考試中常出現(xiàn)關(guān)于“t”含義的混淆,作出如下例題,進(jìn)行對比:

例1已知直線l:與圓C:x2+y2=4x的兩個交點(diǎn)分別為A和B,P為定點(diǎn)(-1,2),求|PA|+|PB|.

解析把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得:,所以

點(diǎn)評t1t2=9＞0判斷A、B在P同側(cè),因此|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|.

例2已知直線l:與圓C:x2+y2=4x的兩個交點(diǎn)分別為A和B,P為定點(diǎn)(2,1),求|PA|+|PB|.

解析把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得:,所以

點(diǎn)評與例1形成對比,由t1t2=-3＜0可判斷出A、B分別在P兩側(cè),此時應(yīng)有|PA|+|PB|=|t1-t2|.

例3已知直線與曲線交于A,B兩點(diǎn),求|AB|.

解析把直線l的參數(shù)方程代入曲線方程可得:,所以.

點(diǎn)評但凡求動點(diǎn)兩距離的,不用對動點(diǎn)與定點(diǎn)位置進(jìn)行研判,直接使用結(jié)論(2),求出距離.

例4直線與圓C:x2+y2=4x交于P1,P2兩點(diǎn).已知Q(3,0),求||P1Q|-|P2Q||的值.

解把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得:,所以.

點(diǎn)評本例與二調(diào)22(2)問一樣,問題設(shè)置較為復(fù)雜,但不難通過韋達(dá)定理的t1t2=-3＜0,從而判斷出P1,P2分別在Q兩側(cè),得到||P1Q|-|P2Q||=|t1+t2|.

小結(jié)在關(guān)于“t”的一元二次方程中,通過韋達(dá)定理判斷“t1·t2”的正負(fù)值,可客觀判斷出動點(diǎn)與定點(diǎn)間同異側(cè)關(guān)系,從而清晰的表述有關(guān)“t”含義的|PA|+|PB|、|AB|、||P1Q|-|P2Q||等距離問題.

同時,亦可對22(2)問的答案完善如下:

四、教學(xué)啟發(fā)

相對于“不等式選講”,“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”是學(xué)生知識點(diǎn)較為熟悉的題型,其原因在于常?？梢詫⑦@部分問題,轉(zhuǎn)化為解析幾何的常規(guī)問題,從而進(jìn)行解答.但“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”在知識點(diǎn)上本身來源于圓錐曲線,因此可涉及解析幾何的若干知識點(diǎn),出題形式靈活多樣.尤其?？肌皌”含義:如|PA|+|PB|、|AB|、||P1Q|-|P2Q||等距離問題,會讓學(xué)生不知所措.這在教學(xué)上對教師提出了更高要求,在教學(xué)過程中深挖概念本質(zhì),理解教材對概念的闡述,通過不同例題的對比,讓學(xué)生把握好“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”解題方向,才能靈活應(yīng)對不同題型.