廣東省佛山市第一中學(528000) 陳 豪

解析幾何的最值問題是一類綜合性強,變量多,涉及知識面廣的題目,也是解析幾何教材[1]一大難點,同時也是近幾年高考的熱點問題,如全國卷2008年、2011年、2014年、2016年試卷的第20題都涉及到距離、面積的最值問題.最值問題求解主要方法分別有:數(shù)形結(jié)合思想求最值,函數(shù)思想求最值,不等式求最值.如果在數(shù)形結(jié)合找不到突破口,而函數(shù)思想又難以實現(xiàn)的情況下,靈活運用不等式求最值會帶給你意想不到的效果.不等式在高考數(shù)學中應(yīng)用廣泛,既可以求一元最值問題,還可以求二元或多元函數(shù)的最值問題,本文通過實例系統(tǒng)講解各種不等式類型在解析幾何求最值問題中的巧妙應(yīng)用.

類型一利用絕對值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|或三角不等式a-b＜c＜a+b(其中a,b,c為△ABC的三邊)求距離最值問題.

例1在拋物線y2=4x上找一點M,使|MA|+|MF|最小,其中A(3,2),F(1,0),求M點的坐標及此時的最小值.

解析如圖1,點A在拋物線y2=4x的內(nèi)部,由定義可知,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|≥|AB|=4,當且僅當點M在M1的位置時等號成立.此時點M1的坐標為(1,2).

例2已知F是橢圓5x2+9y2=45的左焦點,P是此橢圓上的動點,A(1,1)是一定點.求|PA|+|PF|的最大值和最小值

圖2

解析如圖2所示,設(shè)橢圓右焦點為F1,則|PF|+|PF1|=6,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,利用-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(當P,A,F1共線時等號成立),|PA|+|PF|≤,故|PA|+|PF|的最大值為,最小值為

評述例1、例2中均是利用圓錐曲線定義,結(jié)合絕對值不等式求得最大值與最小值.在解析幾何中,到曲線的距離問題往往都可以經(jīng)過三角不等式轉(zhuǎn)化為到圓心或者到焦點的距離,充分體現(xiàn)了利用不等式的轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

類型二利用線性規(guī)劃求距離最值

例3(2004年高考廣東卷改編題)變量x,y滿足下列條件:則使z=x2+y的最小值為____.

解析z=x2+y可以變形為y=-x2+z,z可以看作是在y軸上的截距.當拋物線與直線2x+y=12相切時,如圖3,截距最小,即k=-2=-2x,x=1,y=10,zmin=12+10=11.

圖3

評述由z=x2+y聯(lián)想到拋物線的截距,然后尋找截距最小時的相切臨界情況,即拋物線切線的斜率與直線斜率相同,利用線性規(guī)劃方法可以求取圓錐曲線型的距離最值問題.

類型三、利用均值不等式求面積最值問題

例4(2014年高考全國卷)已知點,橢圓的離心率為,F是橢圓的焦點,直線AF的斜率為為坐標原點.

(1)求E的方程;(2)設(shè)過點A的直線l與E相交于P,Q兩點,當△OPQ的面積最大時,求l的方程.

解析(1)橢圓的方程為.(2)當l⊥x軸時不合題意,故可設(shè)l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),將l:y=kx-2代入方程得.當,即時.又點O到直線PQ的距離,所以.設(shè),則.因為,當且僅當t=2,即時等號成立,且滿足Δ＞0.所以,當△OPQ的面積最大時,l的方程為

評述這一題是典型的利用基本不等式求面積的最值問題,一般出現(xiàn)在圓錐曲線大題的第二問,最后基本都是求關(guān)于k的函數(shù)最值,往往換元后轉(zhuǎn)化為基本不等式或者二次函數(shù).一般地對于橢圓中心三角形的面積,都可以聯(lián)立直線AB:y=kx+m與橢圓得到

類似此類問題都可以化歸到基本不等式求最值的問題中去.

類型四利用不等式鏈求面積最值

例5(2018年佛山市調(diào)研考試試題)已知橢圓C1:的焦點與拋物線的焦點F重合,且橢圓右頂點P到F的距離為.

(1)求橢圓C1的方程;

(2)設(shè)直線l與C1交于A,B兩點,且滿足PA⊥PB,求△PAB面積的最大值.

解析(1)橢圓C1的方程為:

評述類型三中的最值問題都可以轉(zhuǎn)化到基本不等式中去,也符合基本不等式成立的條件“一正二定三相等”,然而對于最后結(jié)果表示為或等都是分離常數(shù),換元后轉(zhuǎn)化為基本不等式或者二次函數(shù),運算量龐大,然后很多的時候只要觀察式子特征,可以直接使用不等式鏈的結(jié)構(gòu)直接取得最值,文[3]對此給出若干實例.

類型五利用柯西不等式求面積最值

文[2]對求面積的問題進行了不同方法的分類,其中的方案三利用柯西不等式巧妙求得最值,該方法可以很好地求2008年全國卷21題(2)的最大值.

例6已知橢圓,點A,B分別是橢圓的上頂點和右頂點,過原點的直線與線段AB交于點D,與橢圓交于E、F兩點,求四邊形ABEF面積的最大值.

類型六利用外森比克不等式求面積最值

外森比克不等式在三角形的邊長分別為a,b,c,其面積為S,則,當且僅當a=b=c時等號成立.

證明由海倫公式有

評述外森比克不等式的應(yīng)用主要是適用于能夠表示出三角形三邊,然后直接得到最大值,這個較傳統(tǒng)的解析幾何求法的優(yōu)勢在于,往往能夠直接利用韋達定理去表示出最值,不需要化簡出弦長與面積,可以說思路更簡單,運算更直接,學生只需要運用簡單的套路可以巧妙得到最值,當然不可避免的是它的求解運算量也很大.