廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

1.題目呈現(xiàn)與分析

題目(2018年全國卷III理科第16題)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點,若 ∠AMB=90°,則k=____.

試題分析題目結(jié)構(gòu)非常簡單,題干簡潔.知識方面主要考查拋物線的相關(guān)概念,直線與拋物線相交,角的轉(zhuǎn)化及其相關(guān)運算;思想方面主要考查轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合等思想.綜合考查考生邏輯思維、轉(zhuǎn)化、推理論證及運算求解等方面的能力,試題的思維過程和運算過程體現(xiàn)了能力立意的思想,較好地體現(xiàn)了對解析幾何的核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.

2.多視角思考,解法研究

(1)視角一:以直線為參數(shù)

解法一因為直線AB經(jīng)過點F,且斜率為k,顯然,并易得拋物線的焦點為F(1,0),可設(shè)直線AB的方程為x=ty+1;并設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立消去x可得y2-4ty-4=0,由韋達(dá)定理,有y1+y2=4t,y1y2=-4,因為 ∠AMB=90°,所以.而,,故

評注本解法是利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換,這是解析幾何大題中最常用的方法之一.直線方程有多種設(shè)法,依題目的計算方便而定,對于∠AMB=90°,可用向量的數(shù)量積,也可以用斜率之積來轉(zhuǎn)化計算.

(2)視角二:以點為參數(shù)

解法二易得拋物線的焦點為F(1,0),設(shè)A(a2,2a),,由于A,F,B三點共線,所以有2a(b2-1)=2b(a2-1),即(a-b)(ab+1)=0,故ab=-1.同時有k=,因為 ∠AMB=90°,所以.而,故

評注在處理拋物線有關(guān)問題時,直接用點的坐標(biāo)作為變量也是一種較為常用的方法,這是由拋物線的特點決定的:用其中一個坐標(biāo)能比較容易表示另一個坐標(biāo).

(3)視角三:以角為參數(shù)

解法三如圖1,設(shè)直線AB的傾斜角為θ,A(x1,y1),B(x2,y2).

圖1

圖2

評注在處理圓錐曲線的焦點弦相關(guān)問題時,用焦點弦所在直線的傾斜角作為變量,可以較容易表示出弦長或弦端點的坐標(biāo),本解法還蘊含了極坐標(biāo)的思想.

(4)視角四:平面幾何法

解法四如圖2,設(shè)AB的中點為E,過點A,B,E分別作準(zhǔn)線l:x=-1的垂線,垂足分別為A1,B1,H.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),E(xE,yE).

圖3

圖4

評注①解法四與解法五基于拋物線中的一個常見的結(jié)論:如圖4,設(shè)AB是過拋物線C的焦點F的弦,則以線段AB為直徑的圓必與拋物線C的準(zhǔn)線相切.

②解析幾何問題本質(zhì)是幾何問題,它們本身就包含一些重要的幾何性質(zhì),如果我們可以充分利用這些幾何性質(zhì),往往可以避開繁瑣的代數(shù)運算,使解決問題的過程得到簡化,而且解法簡潔優(yōu)美,更好地揭示這些問題的幾何本質(zhì).因此對于解析幾何問題,要緊扣其中關(guān)鍵幾何要素,將解析法與平面幾何方法相結(jié)合,從而得到解決問題的最優(yōu)解法.

3.解后啟發(fā)

以上的幾種解法,從不同的角度出發(fā)思考問題,各顯神通.這充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)高考題的不拘一格,一道試題往往考查多種能力、多種思想方法;同時,高考試題在命制時充分考慮到考生數(shù)學(xué)能力的個體差異,多數(shù)試題的解答方法、思維方式不是唯一,一題多解,給考生提供了較大的發(fā)揮空間.這樣通過方法的選擇、解題時間的長短,甄別出考生能力的差異,達(dá)到精確區(qū)分考生的目的.另外也說明高考要突出考查知識主干,貼切教學(xué)實際,扎實基礎(chǔ),重視數(shù)學(xué)的基本能力與思想方法,所以我們要在平時的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練中重視知識的儲備和方法的積累,才有可能縮短思維的長度,達(dá)到事半功倍的效果.

孫維剛先生主張“一題多解,達(dá)到熟悉;多解同一,尋求共性;多題歸一,開在規(guī)律.”所以精學(xué)一題,妙解一類,固化于型,內(nèi)化于心,進(jìn)而形成一個條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的高效的認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而提煉出數(shù)學(xué)思想與方法,這是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心.所以教師要重視高考題,并認(rèn)真研究,充分挖掘和發(fā)揮試題的作用及價值,從而實現(xiàn)教學(xué)功能的最大化、最優(yōu)化,這樣對于開拓解題思路,提高課堂教學(xué)效益,全方位培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有著深遠(yuǎn)的意義,也是教師專業(yè)成長的必經(jīng)之路.

4.追本溯源

5.深化思維,拓展推廣

限于篇幅,上述幾個性質(zhì)的證明留給感興趣的讀者.

6.高考鏈接與變式練習(xí)

1.(2018年全國II卷理科第19題)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

答案:(1)x-y-1=0;(2)(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

2.已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點的直線l與C交于A,B兩點.證明:MF的斜率是直線MA,MB斜率的等差中項.

答案:略.

3.已知拋物線C:y2=4x焦點為F,點P(x,y)是拋物線上的動點,且點A(-1,0).則的最小值是____.