廣東省湛江一中培才學校(524037) 魏 欣

圓錐曲線中定值定點問題,可以用多種常規(guī)方法來處理,但運算量都較大.在斜率表達式為常數(shù)的相關(guān)定點問題的探究過程中,本文通過坐標系的平移,過任意點的直線斜率問題均可轉(zhuǎn)化為過原點的斜率問題,齊次聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程,進而由根與系數(shù)的關(guān)系來求解.本文通過構(gòu)造齊次方程來簡化運算量,方便地獲得了相應的探究結(jié)論,并通過近兩年的高考題為例加以闡述.

坐標軸的方向和單位長度都不改變,只改變原點的位置,這種坐標系的變換叫作坐標的平移.如下圖,設(shè)O′在原坐標系中的坐標為(h,k),平移原坐標系,得到以O(shè)′為原點的新的坐標系x′O′y′.設(shè)M在原坐標系中的坐標為(x,y),在新坐標系中的坐標為(x′,y′),則坐標平移公式為

圖1

據(jù)此,我們得到一類圓錐曲線問題的一般解法是:若直線l:ax+by+c=0與圓錐曲線C:f(x,y)=0相交于兩點,聯(lián)立方程將直線方程適當變形,代入圓錐曲線方程式,總可以消去一次項及常數(shù)項,得關(guān)于x,y的齊次方程:

設(shè)P(x0,y0)為平面上一定點,若不重合兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的坐標滿足方程①,則將方程①變形為:

P1(x1,y1),P2(x2,y2)的坐標滿足方程②,即有

而

所以kPP1,kPP2是方程②的兩根.由韋達定理可以得到以下結(jié)論:

(1)若直線PP1與直線PP2的傾斜角互補,則由kPP1+kPP2=0?B=0.

(2)若直線PP1與直線PP2相互垂直,則由kPP1·kPP2=-1?A+C=0.

(3)若直線PP1與直線PP2的斜率之和為m,則由kPP1+kPP2=m?Am+B=0.

(4)若直線PP1與直線PP2的斜率之積為n,則由kPP1·kPP2=n?An-C=0.

下面通過近兩年的高考題為例加以闡述.

例1(2017年高考全國III卷理科第20題)已知拋物線C:y2=2x,過點(2,0)的直線l交C于A,B兩點,圓M是以線段AB為直徑的圓.

(1)證明:坐標原點O在圓M上.(2)略.

分析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則要證明坐標原點O在圓M上等價于證明,由此式的特征構(gòu)造關(guān)于的一元二次方程,用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

解由題意可知直線AB的斜率不為0,設(shè)其方程為x=my+2.齊次聯(lián)立得y2=x(x-my),即y2+mxy-x2=0,所以,且Δ＞0.則,所以O(shè)A⊥OB,即坐標原點O在圓M上.

例2(2018年高考全國I卷文科第20題)如圖所示,設(shè)拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點.

圖2

(1)略;(2)證明:∠ABM=∠ABN.

(2)證明(i)當l與x軸垂直時,AB為MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN.

(ii)當l與x軸不垂直時,將原來坐標系平移成以點B(-2,0)為原點的心坐標系,記新原點B′,設(shè)直線l對應l′,M,N分別對應.則即則直線l′的方程為:x′=my′+4,拋物線y2=2x變?yōu)閥′2=2(x′-2),齊次聯(lián)立得,即,把代入上式,整理化簡得,即.可知直線BM,BN的傾斜角互補,所以∠ABM=∠ABN.綜上所述,∠ABM=∠ABN.

例3(2018年高考全國I卷理科第20題)設(shè)橢圓y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).

圖3

(1)略;(2)設(shè)O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.

(2)證明(i)當l與x軸重合時,∠OMA= ∠OMB=0°.

(ii)當l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB.當l與x軸不重合也不垂直時.將原來坐標系平移成以點M(2,0)為原點的心坐標系,記新原點M′,設(shè)直線l對應l′,A,B分別對應,,則即則直線l′的方程為:,橢圓變?yōu)?齊次聯(lián)立得,把代入上式,得,再把代入上式,整理化簡得,即.所以.從而故MA,MB的傾斜角互補.所以∠OMA=∠OMB.綜上,∠OMA= ∠OMB.

例4(2017年高考全國I卷文科第20題)設(shè)A,B為曲線上的兩點,A與B的橫坐標之和為4.

(1)求直線AB的斜率;

(2)設(shè)M為曲線C上一點,曲線C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.

解(1)易得kAB=1.

(2)曲線C在M處的切線的斜率為,因此M(2,1).作坐標平移,令則坐標原點平移到點M.此時曲線C的方程變?yōu)榧?設(shè)直線AB對應的直線變?yōu)锳′B′,其方程為,聯(lián)立得,整理得·.所以由韋達定理知,,解得.所以直線A′B′方程為x′-y′+8=0,則在原坐標系下,直線AB的方程為x-y+7=0.

例5(2017年高考全國I卷理科第20題)已知橢圓,四點P(1,1)、P(0,1)、12中恰好有三點在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點P2且與橢圓C相交于A,B兩點.若直線P2A與P2B直線的斜率和為-1,證明:直線l過定點.

分析(1)略;(2)將原坐標系平移成以點P2(0,1)為原點的新坐標系,記新原點為,設(shè)直線l對應l′,A,B分別對應.則問題等價于在條件下證明直線l′恒過定點,最后將該點坐標還原到原坐標系下即可.

解(1)略解,橢圓C的方程為;

(2)將原坐標系平移成以點P2(0,1)為原點的新坐標系,記新原點為,設(shè)直線l對應l′,A,B分別對應.則則橢圓C的方程變?yōu)?即. 設(shè)直線A′B′所在直線l′的方程為mx′+ny′=1.齊次聯(lián)立得,即,且Δ =4m2-(2n+1)＞0.所以,即2m-2n=1.此時直線l′過定點(2,-2),在原坐標系中,直線l過定點(2,-1).

這樣,通過齊次平移巧解一類圓錐曲線問題,并得到以下三個的一般結(jié)論:

圓錐曲線中定值定點問題,是高考熱點問題之一.這類問題重點考查方程思想、函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應用,其求解過程往往需要學生具備較強的知識綜合性、較高的思維能力和計算能力等.圓錐曲線的定點問題較多,在學習時要學會探索、歸納、總結(jié),把同類型的問題歸納于一類,以不變應萬變.數(shù)學知識的學習就是一個發(fā)現(xiàn)、探索、論證、應用的過程,這個方法還可應用于其他數(shù)學知識的學習,通過探索、歸納、結(jié)可以把書由厚讀薄,真正做到厚積薄發(fā)、觸類旁通.