仝宗凱，趙保平，陳強(qiáng)

（1.北京機(jī)電工程研究所，北京 100074；2.東南大學(xué) 空天機(jī)械動力學(xué)研究所，南京 210096）

高速飛行器在服役過程中面臨著嚴(yán)酷的氣動熱環(huán)境和寬頻段的噪聲激勵。氣動加熱將改變結(jié)構(gòu)的溫度分布，從而引起結(jié)構(gòu)剛度特性和阻尼特性的變化[1]，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性。因此在服役過程中，飛行器的結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析屬于時變動力學(xué)的范疇，而目前針對結(jié)構(gòu)高頻段響應(yīng)預(yù)示的相關(guān)研究大多忽略了結(jié)構(gòu)的時變特性。為保證能夠準(zhǔn)確地預(yù)示結(jié)構(gòu)在高頻段的動力學(xué)特性，急需開展變溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)高頻段動響應(yīng)預(yù)示研究。

統(tǒng)計能量分析（Statistical Energy Analysis,SEA[2]）以統(tǒng)計物理學(xué)原理為基礎(chǔ)，將系統(tǒng)劃分為若干子系統(tǒng)，建立子系統(tǒng)間的能量傳遞方程，從而獲取系統(tǒng)的振動特性。統(tǒng)計能量分析可以很好地描述系統(tǒng)各組件的平均振動特性，是目前高頻激勵下結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析與環(huán)境預(yù)示的有力工具。對于高溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計能量分析而言，高溫使得材料性能參數(shù)發(fā)生變化同時改變結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布狀態(tài)[3-5]，從而影響結(jié)構(gòu)的振動特性。目前國內(nèi)外已開展高溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計能量分析研究，Han等[6]基于改進(jìn)的夾芯板理論，計算了熱環(huán)境下夾芯板的模態(tài)密度和模態(tài)數(shù)目；張鵬和費(fèi)慶國等[7]考慮與溫度相關(guān)的材料物性參數(shù)變化，研究了溫度對統(tǒng)計能量分析參數(shù)的影響；陳強(qiáng)和費(fèi)慶國等[8-9]結(jié)合有限元方法和功率輸入法給出了一種熱環(huán)境下適用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計能量分析方法，并研究了不同熱效應(yīng)、熱載荷參數(shù)和結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)對統(tǒng)計能量分析參數(shù)的影響。雖然 SEA已經(jīng)擴(kuò)展到預(yù)測熱環(huán)境下系統(tǒng)的振動，但目前高溫環(huán)境下的統(tǒng)計能量分析研究大多集中在定溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)的高頻段穩(wěn)態(tài)能量響應(yīng)。這主要是由于傳統(tǒng)的 SEA方法并未考慮結(jié)構(gòu)的時變結(jié)構(gòu)特性，難以應(yīng)用于變溫環(huán)境下時變結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析中。

文中基于統(tǒng)計能量分析方法，考慮時變參數(shù)對結(jié)構(gòu)能量的影響、熱效應(yīng)引起的材料力學(xué)性能變化和結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力對統(tǒng)計能量分析參數(shù)的影響，提出一種變溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)高頻瞬態(tài)能量響應(yīng)預(yù)示方法。分別以時變雙振子系統(tǒng)模型和變溫環(huán)境下的L型折板為例，驗證計算分析方法的準(zhǔn)確性和適用性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 時不變結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計能量分析

在統(tǒng)計能量分析中，對于劃分為N個子系統(tǒng)的時不變結(jié)構(gòu)，其統(tǒng)計能量分析模型中子系統(tǒng)i的能量控制方程為：

式中：ηi為子系統(tǒng)i的內(nèi)損耗因子；ηji為子系統(tǒng)j到子系統(tǒng)i的耦合損耗因子；ω為角頻率，ω=2πf；Ei為子系統(tǒng)i在空間內(nèi)和頻域內(nèi)的平均能量；Pi為子系統(tǒng)i在空間內(nèi)和頻域內(nèi)的平均輸入功率。

對于時不變結(jié)構(gòu)，其統(tǒng)計能量分析的動力學(xué)方程為：

式中：η 為總損耗因子矩陣； E = [E1, E2,… ,EN]T為能量向量，為輸入功率向量。

對于時不變結(jié)構(gòu)的總損耗因子矩陣η，其矩陣元素為：

1.2 時變結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計能量分析

對于時變結(jié)構(gòu)的能量控制方程，主要有以下假設(shè)[10]：

式中：e+(s,t)和e-(s,t)分別為波向左和向右傳播的響應(yīng)能量密度；I+(s,t)和I-(s,t)分別為入射和反射的功率流；c為結(jié)構(gòu)中傳播波的群速度。

對于無外載荷作用下，結(jié)構(gòu)的能量平衡方程為[10]：

時變結(jié)構(gòu)的能量耗散項表達(dá)式為：

式中：η(t)為時變內(nèi)損耗因子。

將式（4）、（5）、（6）、（8）帶入式（7）可得：

將式（7）分別對時間和空間求微分，然后相減可得：

將式（7）中 ?I ( s, t)/?s 的帶入式(10)可得：

對于由N個子系統(tǒng)組成的時變結(jié)構(gòu)，由式(11)積分可得子系統(tǒng)的能量控制方程為：

式中：Ei(t)為子系統(tǒng) i的時變能量， Ei( t)=∫Vei( s, t)；Pi(t)是子系統(tǒng)i的時變輸入能量；

ηji(t)為子系統(tǒng)j到子系統(tǒng)i的時變耦合損耗因子。

則子系統(tǒng)i的能量密度控制方程為：

將式（11）中的能量密度對體積積分，得到子系統(tǒng)i的能量密度控制方程為：

在統(tǒng)計能量分析中，時變結(jié)構(gòu)中子系統(tǒng)i的能量控制方程為：

對于時變結(jié)構(gòu)而言，其統(tǒng)計能量分析的動力學(xué)方程為：

對于時變總損耗因子矩陣，其矩陣元素為：

2 算例驗證

2.1 研究對象

由于欠缺復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)瞬態(tài)能量響應(yīng)的理論表達(dá)式，因此以脈沖載荷作用下的時變雙振子系統(tǒng)為例，驗證該分析方法的準(zhǔn)確性。在如圖1所示的時變雙振子系統(tǒng)中[11]，m1(0)=m2(0)=2 kg，k1(0)=k2(0)=1 717 000 N/m，k(0)=280 000 N/m，c1(0)=c2(0)=200 N/s，分析頻率設(shè)置為1000 rad/s。假定在初始時刻對m1施加脈沖激勵，使其具有初速度x˙1(0)=1，則振子1的初始能量為E1(0)=0.5m1。

圖1 雙振子系統(tǒng)

在統(tǒng)計能量分析中，時變雙振子系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為由兩個子系統(tǒng)組成的統(tǒng)計能量分析模型，如圖2所示。

圖2 雙子系統(tǒng)的統(tǒng)計能量分析模型

子系統(tǒng)1的時變內(nèi)損耗因子和子系統(tǒng)1到子系統(tǒng)2的時變耦合損耗因子可表示為：

在Newmark-beta法中，對于如圖1所示的時變雙振子系統(tǒng)模型而言，振子i的能量可表達(dá)為勢能和動能的能量之和[10]：

2.2 時變雙振子系統(tǒng)的瞬態(tài)能量響應(yīng)預(yù)示

在仿真分析中，假定雙振子系統(tǒng)具有時變阻尼特性，系統(tǒng)在 0.2 s內(nèi)具有線性時變阻尼 c1(t)=c2(t)=(200-500t) N/s，系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度不變。由式（16）計算得到子系統(tǒng)2的瞬態(tài)能量響應(yīng)，由式（19）計算得到振子2的瞬態(tài)能量響應(yīng)。將文中提出的針對時變系統(tǒng)的SEA方法和Newmark-beta方法的結(jié)果比較進(jìn)行對比，如圖3所示。由圖3可知，SEA方法計算結(jié)果與Newmark-beta方法的結(jié)果基本一致，能夠較好地捕捉振子2的時變能量特性。峰值時間和峰值能量是結(jié)構(gòu)瞬態(tài)能量響應(yīng)的主要分析指標(biāo)，采用Newmark-beta法預(yù)示得到的峰值時間和峰值能量分別為12.9 ms和0.177 J，采用文中方法分別為13.8 ms和0.174 J，預(yù)示誤差分別為6.8%和1.7%。這表明文中的計算方法具有較高的計算精度，能夠較好地預(yù)示時變結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)能量響應(yīng)。

圖3 振子/子系統(tǒng)1和振子/子系統(tǒng)2的瞬態(tài)能量響應(yīng)

3 算例研究

3.1 研究對象

為研究薄壁構(gòu)件在變溫環(huán)境下的瞬態(tài)能量響應(yīng)變化規(guī)律，以夾角為90°的L型對稱折板為研究對象，幾何模型如圖4所示。兩板尺寸均為L1×L2×t=0.3 m×0.3 m×0.0018 m。板材料為TA7鈦合金，材料屬性見表1。采用殼單元建立有限元模型，單元尺寸為5 mm。兩板除耦合邊外各邊簡支。在分析過程中考慮了2%的結(jié)構(gòu)阻尼。

圖4 L型對稱折板

表1 TA7合金材料屬性[12]

3.2 變溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)能量響應(yīng)預(yù)示

假定結(jié)構(gòu)的初始溫度為20 ℃，在0.05 s內(nèi)線性升溫至220 ℃。同時考慮熱效應(yīng)對材料參數(shù)特性的影響和熱應(yīng)力引起的附加剛度，采用有限元-功率注入法計算得到結(jié)構(gòu)的時變內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子，分別如圖4和圖5所示。

圖5 子系統(tǒng)1的時變內(nèi)損耗因子

圖6 子系統(tǒng)1到子系統(tǒng)2的時變耦合損耗因子

對板1施加1 J的瞬態(tài)沖擊載荷，將時變內(nèi)損耗因子和時變耦合損耗因子帶入式（16）中，進(jìn)而計算得到子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的瞬態(tài)能量響應(yīng)，如圖6所示。從圖6可知，子系統(tǒng)2的能量在較短時間內(nèi)達(dá)到峰值，隨后子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的能量以較快的速率耗散。子系統(tǒng)2瞬態(tài)能量響應(yīng)的峰值時間為4.3 ms，峰值能量為0.093 J。子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2之間的能量交換遠(yuǎn)小于兩子系統(tǒng)中因阻尼引起的能量消耗，這主要是由于子系統(tǒng)之間的耦合強(qiáng)度較弱。

圖7 子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的瞬態(tài)能量響應(yīng)

4 結(jié)論

文中針對變溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)的高頻瞬態(tài)能量響應(yīng)預(yù)示問題，基于統(tǒng)計能量分析方法，考慮時變參數(shù)對結(jié)構(gòu)能量的影響、熱效應(yīng)引起的材料力學(xué)性能變化和熱應(yīng)力對統(tǒng)計能量分析參數(shù)的影響，提出了一種變溫環(huán)境下結(jié)構(gòu)高頻瞬態(tài)能量響應(yīng)預(yù)示方法。以具有理論解的時變雙振子系統(tǒng)模型為例，驗證了計算該方法的準(zhǔn)確性；以變溫環(huán)境下的折板系統(tǒng)為例，驗證了該計算方法的適用性。結(jié)果表明，對于雙振子模型，采用該方法預(yù)示得到的峰值時間和峰值能量的預(yù)示誤差分別為6.8%和1.7%。這說明方法具有較高的計算精度和計算效率，能夠較好地適用于結(jié)構(gòu)的高頻瞬態(tài)能量響應(yīng)預(yù)示。

該方法目前處于研究階段，對變溫環(huán)境下飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計具有一定的指導(dǎo)意義，但該方法在復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)中的適用性還需要相關(guān)試驗研究進(jìn)行驗證。