蔣少華

摘要：散度、旋度是研究電磁場理論的基礎(chǔ)，由于其定義抽象難以理解，不利于后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。該文在實驗教學(xué)中利用Mathematica對各種矢量場散度、旋度空間分布進(jìn)行仿真，可以方便地畫出矢量場的分布圖，讓學(xué)生直觀地看到發(fā)散場、旋渦場的分布特點，更好地理解散度、旋度以及亥姆霍茲定理的意義。

關(guān)鍵詞：電磁場；散度；旋度；Mathematica

中圖分類號：TN011 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2018）25-0236-03

Research on Simulation Experiments of Field Distribution of Divergence and Curl in Electromagnetic Field based on Mathematica

JIANG Shao-hua

（College of Information Science and Engineering， Shaoguan University， Shaoguan 512005， China）

Abstract： Divergence and curl are the basis of the research on electromagnetic field theory. For abstract define， divergence and curl affect the follow-up content of learning. The software Mathematica is introduced for the experimental teaching of divergence and curl in electromagnetic field， which can easily draw the vector field distribution. Therefore， these help the students to see divergence field and vortex field distribution characteristics visually and better understand the meaning of divergence and curl and Helmholtz's theorem.

Key words： Electromagnetic field； Divergence； Curl； Mathematica

散度和旋度是描述矢量場的重要概念，是學(xué)習(xí)電磁場理論的基礎(chǔ)[1]。由于靜態(tài)電磁場、時變的電磁場等各種場的學(xué)習(xí)都圍繞場的旋度、散度進(jìn)行分析與研究，掌握散度和旋度的計算方法，理解這兩個概念的物理意義很重要。有關(guān)散度、旋度的研究，教學(xué)同行提供了有益的建議，但文獻(xiàn)大多從公式推導(dǎo)、理論講述去研究，直觀性仍不夠[2，3]。

因為散度、旋度的內(nèi)容安排在教材的前面章節(jié)，這部分內(nèi)容還沒有跟具體的應(yīng)用結(jié)合，學(xué)生一開始學(xué)習(xí)覺得比較抽象，對散度、旋度的物理意義認(rèn)識不足。因此，在電磁場理論實驗教學(xué)中，以靜電場與恒定磁場為例，讓學(xué)生認(rèn)識發(fā)散場、旋渦場的不同空間分布；另外，利用Mathematica軟件，畫出不同矢量場的分布圖，讓學(xué)生可以直觀地看到不同的二維或三維分布圖，改變參數(shù)圖形會隨著變化，通過這些方式，加深對兩種不同場的理解，最后列舉兩個例子來加深理解亥姆霍茲定理的含義。

Mathematica軟件是由沃爾夫勒姆研究公司（Wolfram Research Inc.）研發(fā)的一款計算軟件，可以解決各種領(lǐng)域復(fù)雜的符號計算和數(shù)值計算的問題，可以方便地畫出各類圖形，從而形象地看到函數(shù)的某些特性，是目前為止使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一[4～7]。

1 發(fā)散場和旋渦場的區(qū)別

1.1 散度的物理意義

根據(jù)矢量場A在點P處的散度

由式（1）可知，?·[A]的物理意義是從點P單位體積內(nèi)散發(fā)的通量，表征空間中通量源的密度，即發(fā)散源強度。?·[A≠0]表示有發(fā)散源，?·[A=0]表示無散源；矢量的散度是標(biāo)量，大小等于三個方向的偏導(dǎo)數(shù)之和。

1.2 旋度的物理意義

根據(jù)矢量場A在點P處的旋度

由式（2）可知，?×[ A]的物理意義是點P的環(huán)量面密度，即旋渦源強度。[?×A≠0]，表示有旋場，?×[A=0]，表示無旋場。當(dāng)矢量A旋渦面與l 圍成的面元矢量方向一致時，環(huán)量面密度最大。

?×[A]是矢量，其大小等于最大環(huán)量面密度的數(shù)值，方向為環(huán)量面密度最大時l 圍成的面元的方向。

1.3 兩種典型的發(fā)散場和旋渦場

為了更好區(qū)別發(fā)散場和旋渦場，以靜電荷產(chǎn)生的靜電場以及通過恒定電流直導(dǎo)線產(chǎn)生的恒定磁場為例。

靜電荷在空間周圍產(chǎn)生的靜電場，其電力線是一簇從點電荷出發(fā)向空間發(fā)散的徑向輻射線，是發(fā)散場，如圖1所示；長直通電導(dǎo)線周圍的恒定磁場的磁力線是同心圓，是連續(xù)的閉合曲線，是旋渦場，如圖2所示。

點電荷的電場以及長直通電導(dǎo)線周圍的恒定磁場的矢量分布仿真圖如圖3、圖4所示。從圖中可以看出，發(fā)散場與旋渦場的分布是不同的。

2 亥姆霍茲定理的散度和旋度

根據(jù)亥姆霍茲定理（Helmholtz's theorem），矢量場A的散度代表著形成矢量場的一種源——標(biāo)量源ρv，而矢量場A的旋度代表著形成矢量場的另一種源——矢量源J。 一般來說， 當(dāng)一個矢量場的兩類源（ρv， J） 在空間的分布確定時，該矢量場就唯一地確定了。

亥姆霍茲定理給出了電磁場研究的思路：研究任意一個矢量場（如電場、磁場等）都應(yīng)該從散度和旋度兩個方面去進(jìn)行，其中▽·A=ρv ，▽×A=J，稱此為矢量場基本方程的微分形式；或者研究任意一個矢量場（如電場、磁場等）都應(yīng)該從矢量場的通量和環(huán)量兩個方面去研究， 即[SA?dS=VρvdV]，[lA?dl=SJ?dS]，稱此為矢量場基本方程的積分形式。

下面列舉兩個例子，從矢量的散度、旋度仿真分析結(jié)果來更好理解亥姆霍茲定理的含義。

例1：[A=ax（x-z）+ay（y+x）+azz]

首先，將A分成分解為一個無旋場分量A1和一個無散場分量A2之和，

即A=A1+A2

其中：[A1=axx+ayy+azz]， [A2=ax（-z）+ayx]

由于?×[A1=0]，?·[A2=0]，

則

?×[A=][?×A1][=3]

在本例中，ρv =?×[A][=3]， J=?×[A][=-ay+az]。矢量場A由兩類源（ρv， J） 確定了在空間的分布。

矢量場A與A1 、A2的矢量場分布仿真圖如圖5～圖7所示，從矢量分布圖可以看出：矢量場A既有散度也有旋度，無旋有散場分量A1矢量分布是發(fā)散場，無散有旋場分量A2矢量分布是旋渦場，矢量場A的空間場分布是發(fā)散源與旋渦源共同作用的結(jié)果。

矢量場A與A1 、A2的矢量場仿真圖如圖8～圖10所示，從矢量分布圖可以看出：矢量場A既有散度也有旋度，無旋有散場分量A1矢量分布是發(fā)散場，無散有旋場分量A2矢量分布是旋渦場，矢量場A的空間場分布是發(fā)散源與旋渦源共同作用的結(jié)果。

在例2中，[??A]不是恒定值，A1是個通量值變化的發(fā)散場，而例1[?·A]是恒定值，A1是個通量值恒定的發(fā)散場，兩個都是發(fā)散場，分布圖都是發(fā)散的，但兩者分布不一致；例1、例2的A2矢量分布是旋渦場，分布圖都是有旋的，兩者旋渦分布有差別。由此可見，不同的矢量場，其散度、旋度在空間的分布不同。

3 結(jié)語

利用Mathematica強大的計算功能以及圖形可視化仿真環(huán)境，對不同的發(fā)散場、旋渦場分布進(jìn)行了動態(tài)仿真，可以輔助電磁場理論的實驗教學(xué)，增加了學(xué)生的感性認(rèn)識，幫助學(xué)生理解散度、旋度的概念，彌補了電磁場理論實驗的不足。

參考文獻(xiàn)：

[1] 郭輝萍.電磁場與電磁波[M].西安電子科技大學(xué)出版社，2010.

[2] 杜曉燕，張秀鋼，陸杰青.關(guān)于散度和旋度教學(xué)的幾點思考[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報，2016，38（5）：81-83.

[3] 劉德國.“電磁場”課程中梯度、散度、旋度教學(xué)方法探討[J].科技信息，2014（15）：51，89.

[4] 杜建明.Mathematica在電磁場理論中的應(yīng)用[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2004.

[5] 王艷，胡仕剛.Mathematica在電磁場與波可視化教學(xué)中的應(yīng)用[J].信息通信，2017（6）：124-126.

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[7] 董恒平，宗波，楊小偉.基于Mathematica的半導(dǎo)體物理與器件實驗仿真平臺開發(fā)[J].實驗技術(shù)與管理，2017，34（3）：108-110+114.

[8] 楊濤，趙妍卉，張穎松，等.Mathematica在電磁場理論鏡像法中的應(yīng)用[J].科教導(dǎo)刊，2015（7）：31-32，61.

【通聯(lián)編輯：梁書】